文档内容
2023-2024 学年八年级数学下学期第一次月考仿真模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥0 C．x＞1 D．x＞0
【答案】A
【解答】解：由题意，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：A．
2．现有长度为4cm，5cm，8cm，12cm，13cm的五根细木条，若选择其中的三根首尾顺次相接恰好能
摆成直角三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，8cm B．5cm，8cm，12cm
C．5cm，12cm，13cm D．8cm，12cm，13cm
【答案】C
【解答】解：∵52+122＝132，
∴木棒长度分别为5cm、12cm、13cm的三根木棒首尾顺次连接可搭成一个直角三角形，
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A． + ＝ B． ﹣ ＝ C． × ＝6 D． ÷ ＝4
【答案】B
【解答】解：A、 + 不能合并，故选项错误；B、 ﹣ ＝2 ﹣ ＝ ，故选项正确；
C、 × ＝ ＝ ，故选项错误；
D、 ÷ ＝ ＝ ＝2，故选项错误．
故选：B．
4．下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A． ，不能与 合并，故该选项不符合题意；
B． ，能与 合并，故该选项符合题意；
C． ，不能与 合并，故该选项不符合题意；
D． ，不能与 合并，故该选项不符合题意．
故选：B．
5．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【答案】C
【解答】解：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．
故选：C．
6．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4.8
【答案】D
【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，∴BC＝ ＝ ＝10，
又∵S△ABC ＝ AC•AB＝ BC•AD，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8．
故选：D．
7．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝ ＝10m．
故选：C．
8．若 ＝a﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5
【答案】C
【解答】解：∵ ＝a﹣5，
∴a﹣5≥0，
∴a≥5．
故选：C．
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商
高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详
细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理．
B、梯形的面积为： ＝ ；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为： ＝ ，
∴ ＝ ，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理．
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
10．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB走“捷径”，在花圃内走出
了一条“路”AB．他们踩伤草坪，仅仅少走了（ ）A．4m B．6m C．8m D．10m
【答案】A
【解答】解：在Rt△AOB中，AB＝ ＝10m，
∴AO+BO﹣AB＝6+8﹣10＝4m．
即少走了4m．
故选：A．
11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海
伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a、b、c，记P＝ ，则其面积
这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若P＝5，c＝4，则此三角形面
积的值可以是（ ）
A． B．6 C．2 D．5
【答案】C
【解答】解：∵P＝ ，P＝5，c＝4，
∴a+b＝6，
∴b＝a﹣6，
∴S＝
＝
＝
＝
＝ ，
又∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴1＜a＜5，
∴0≤（a﹣3）2＜4，
当a＝3时，S为最大值，S＝ ，
∴0＜S≤ ，
题目中符合S的取值范围的值只有 ，故选：C．
12．如图，Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那
么阴影部分的面积为（ ）
A．14 B．18 C．24 D．48
【答案】C
【解答】解：S阴影 ＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC ﹣直径为AB的半圆
的面积
＝ （ ）2+ （ ）2+ AC×BC﹣ （ ）2
π π π
＝ （AC）2+ （BC）2﹣ （AB）2+ AC×BC
π π π
＝ （AC2+BC2﹣AB2）+ AC×BC
π
＝ AC×BC
＝ ×6×8
＝24．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．计算 结果是 ．
【答案】 ．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
14．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应
范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1. 5 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝ ＝ ＝1.5（米）
故答案为：1.5．
15．已知 ，则b的立方根为 ﹣ 2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：由题意得：a﹣12≥0，12﹣a≥0，
解得：a＝12，
则b+8＝0，
解得：b＝﹣8，
∵﹣8的立方根为﹣2，
∴b的立方根为﹣2，
故答案为：﹣2．
16．已知 ， ，那么代数式x2y+xy2的值 2 ．
【答案】2 ．
【解答】解：∵x＝ +2，y＝ ﹣2，
∴x+y＝2 ，xy＝5﹣4＝1，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×2 ＝2 ．
故答案为：2 ．17．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角
形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
则小正方形的面积为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，
∴较长直角边长为 ＝8，
∴小正方形的边长为8﹣6＝2，面积为2×2＝4．
故答案为：4．
18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线
AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ 2 0 ．
【答案】20．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
（1） ﹣3 +|2﹣ |； （2） ÷ ﹣ × + ．
【答案】（1）2；（2）4 ．
【解答】解：（1）原式＝2 ﹣ +2﹣
＝2；
（2）原式＝ ﹣ +3
＝ ﹣ +3
＝2 ﹣ +3
＝4 ．
20．（8分）已知 ， ，求下列各式的值．
（1）a+b和ab；
（2）a2+ab+b2．
【答案】（1） ；2；（2）18．
【解答】解：（1）a+b＝ + + ﹣ ＝2 ；
ab＝（ + ）（ ﹣ ）
＝（ ）2﹣（ ）2
＝5﹣3
＝2；
（2）a2+ab+b2
＝（a+b）2﹣ab
＝（2 ）2﹣2
＝20﹣2
＝18
21．（8分）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，
AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC＝ ＝ ＝15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC +S△ACD
＝ AB•BC+ AC•CD
＝ ×9×12+ ×15×8
＝54+60
＝114（cm2）．
22．（8分）如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，AB⊥l于点B，DC⊥l于点C，AB＝8千
米，BC＝16千米，CD＝12千米．现需要在BC上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村
庄距离相等，请求出此时E到B的距离．
【答案】此时E到B的距离为10.5千米．
【解答】解：设BE＝x千米，则CE＝（16﹣x）千米，
∵AB⊥l于点B，DC⊥l于点C，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
∴EA2＝AB2+BE2，ED2＝CD2+CE2，∵E到A，D两个村庄距离相等，
∴EA＝ED，
∴AB2+BE2＝CD2+CE2，
即82+x2＝122+（16﹣x）2，
解得：x＝10.5，
答：此时E到B的距离为10.5千米．
23．（10分）先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点P （x ，y ），P （x ，y ），这两点间的距离 ．
1 1 1 2 2 2
同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化
为|x ﹣x |或|y ﹣y |．
2 1 2 1
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的
纵坐标；
（3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC
的形状吗？说明理由．
【答案】（1）A，B两点间的距离为13；
（2）A的纵坐标为6或﹣2；
（3）△ABC为等腰直角三角形．
【解答】解：（1） ，
即A，B两点间的距离为13．
（2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，
∴A的纵坐标为2+4＝6或者2﹣4＝﹣2．即点A的纵坐标为6或﹣2．
（3）△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
∵ ，
，
，
∴AB＝BC，且AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
24．（10分） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法
称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）．
【答案】（1）见解析；
（2） ；
（3）25．
【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4× ，
整理得，c2＝a2+b2；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵ ，
∴CD＝ ；
（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，
∴2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
即（a+b）2的值为25．
25．（10分）先阅读下列解答过程：
形如 的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即
，那么便有
．例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即 ，
所以 ．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空： ＝ ；
（2）化简： （请写出计算过程）；
（3）化简： ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵3+1＝4，3×1＝3，即（ ）2+12＝4， ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）首先把 化为 ，这里m＝19，n＝60，
∵15+4＝19，15×4＝60，即（ ）2+（ ）＝19， ，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
（3）原式＝ + +
＝ + +2﹣
＝1．
26．（10分）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有
一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要
实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封
锁的公路长．
【答案】（1）240米；（2）有危险需要暂时封锁，需要封锁的公路长为200米．
【解答】解：（1）由题意可知，AC＝300米，BC＝400米，AB＝500米，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
如图1，过点C作CD⊥AB于点D，
∴S△ABC ＝ AB•CD＝ AC•BC，
∴CD＝ ＝ ＝240（米），
答：山地C距离公路的垂直距离为240米；
（2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，
CF，
则EC＝FC＝260米，DE＝DF，
由（1）可知，CD＝240米，
∵240米＜260米，
∴有危险需要暂时封锁，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝ ＝ ＝100（米），
∴EF＝2DE＝200（米），
即需要封锁的公路长为200米．
