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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标：1.经历求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
重点：运用公式法解一元二次方程.
难点：一元二次方程求根公式的推导.
自 主 学
习
一、知识链接
如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
合作探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？
问题1 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
解：移项，得ax2+bx=－c，
二次项系数化为1，得x2+ x=
配方，得x2+ x+( )2=( )2
即(x+ )2= ①
问题2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？
要点归纳：∵a ≠0，∴4a2>0.要注意式子b2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况.
探究点2：一元二次方程根的判别式
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2－4ac.
判别式的情况 根的情况
练一练 按要求完成下列表格.
第 1 页 共 6 页的值
根的情况
典例精析
例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1) 3x2+4x－3=0； (2) 4x2=12x－9； (3) 7y=5(y2+1).
方法总结：现将方程变形为一般形式ax2+bx+c=0，再根据根的判别式求解即可.
例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )
A. q≤4
B. q≥4
C. q<16
D. q>16
【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k>－1
B. k>－1且k≠0
C. k<1
D. k<1且k≠0
方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母
的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≥－1
B.k≥－1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
探究点3：用公式法解方程
由上可知，当 ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元
二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
典例精析
例4 (教材p11例2)用公式法解下列方程：
(1) x2－4x－7=0； (2) 2x2－ +1=0；
第 2 页 共 6 页(2) 5x2－3x=x+1； (4) x2+17=8x.
要点归纳：公式法解方程的步骤：
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2－4ac的值；
4.判断：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若b2－4ac<0，则方程没有实数根.
三、课堂小结
公式法 内容
根的判别式 b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式
求根公式
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
步骤 三求（Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
当堂检
测
1.不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1) 2x2+3x－4=0； (2) x2－x+ =0； (3) x2－x+1=0.
2.解方程：x2 +7x–18 = 0.
3.解方程：(x－2) (1－3x) = 6.
4.解方程：2x2－ x + 3 = 0.
第 3 页 共 6 页5.（1）关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 ；
（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.
6.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况.
能力提升：
在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求
△ABC 的周长.
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：方程整理得 配方，得 .直接开平方，得 ，∴ .
第 4 页 共 6 页课堂探究
二、要点探究
探究点1：求根公式的推导
问题1
问题2 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.
探究点2：一元二次方程根的判别式
两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
练一练 从上往下，从左到右依次为0， ，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实数根
典例精析
例1 B 解析：原方程变形为x2+x－1=0.∵b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，
故选B.
例2 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数
根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0，∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为：5y2－7y+5=0，∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．
例3 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，即82－4q>0.解得q＜16，故选
C.
【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次项系数不为0，可得k>
－1且k≠0，故选B.
【变式题】A 思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论.
探究点3：用公式法解方程
例4 解：(1)a=1，b=－4，c=－7，b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根
即 .
(2)a=2，b= ，c=1，b2－4ac=( )2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即
.
(3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实
数根 即 .
(4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.
当堂检测
1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.
(2)a=1，b=－1，c= ，b2－4ac=(－1)2－4×1× =0.方程有两个相等的实数根.
(3)a=1，b=－1，c=1，b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.
2.解：这里a=1，b=7，c=－18，b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0.
∴ .
3. 解：去括号，得x－2－3x2 + 6x = 6，化为一般式为3x2－7x + 8 = 0，这里a=3，b=－7，c=8，b2－4ac=
(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根.
第 5 页 共 6 页4.这里a=2，b= ，c=3，b2－4ac=( )2－4×2×3=3＞0.
∴ .
5.(1)m≤1
(2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m－1≠0，解得 且m≠1.
6.解： ，∵ ，∴ ，∴ ∴方程有两个实数根.
能力提升
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=(b－2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0.所以b=－10或b=2.
所以b=2（舍去b=-10）.
所以△ABC 的三边长为2，2，5或2，5，5，
因为2，2，5不满足三角形的三边关系，
所以△ABC 的三边长为2，5，5，
其周长为2+5+5=12.
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