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23.2&23.3中心对称及图案设计
中心对称和中心对称图形
中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对
称点．
中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相互
区 称．
位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形看
如果把中心对称图形对称的部
联 成一个整体（一个图形），那
分看成是两个图形，那么它们
系 么这个图形就是中心对称图
又关于中心对称．
形．
题型1：中心对称和中心对称图形
1.1．下列由箭头组成的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】【解答】解： 不是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就
叫做中心对称图形，根据定义可判断D选项图形不是中心对称图形.
【变式1-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不满足题意；
B、属于轴对称图形，也属于中心对称图形，满足题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不满足题意；
D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不满足题意.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
【变式1-2】对于下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．其
中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．（填写图形的相应编号）
【答案】②④⑤⑥
【解析】【解答】解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：②④⑤⑥
【分析】利用中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要
沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，对六个图形逐一判断可得答案。
题型2：中心对称的性质-求角度
2.如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC绕点O旋转角是【答案】180°
【解析】【解答】根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180°
故答案为：180°
【分析】根据中心对称的图形的性质可得旋转角为180°。
【变式2-1】如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若 AB=6，
∠BAC=40°，则CD的长度为 ，∠ACD的度数为 °。
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出答案．
【解答】解：∵点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=6，AB∥DC，
∴∠BAC=∠ACD=40°．
故答案为：6，40．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．
【变式2-2】如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图
形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（ ）
A.30° B.36° C.72° D.90°
【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为36°．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
题型3：中心对称的性质-求边长
3.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是
．【答案】√13
【解析】【解答】 ∵ΔDEC 与 ΔABC 关于点C成中心对称
∴ΔABC≅ΔDEC
∴CD=AC=1，DE=AB=3
∴AD=CD+AC=2
∵∠D=90°
∴AE=√DE2+AD2=√32+22=√13
故答案为： √13 .
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可得到答案。
【变式 3-1】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到
△B'O'C，若AC=2，AB′=5，则菱形ABCD的边长是（ ）
A.3 B.4 C.√15 D.√17
【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O'C=1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC=B′C，根据
AB′=5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC=2，
∴OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，BC=B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A=AC+O'C=2+1=3，
∵AB′=5，
【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活
运用勾股定理是解题的关键．
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，
BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）A.3+√3 B.2+2√3 C.2+√3 D.1+2√3
【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出
EH，GF，FG即可．
【解答】解：如图，连接BD，AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠DAO=60°，BD⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=30°，
1
∴OA= AB=1，OB=√3OA=√3
2
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
在△BEO和△BFO中，
∴△BEO≌△BFO（AAS），
∴OE=OF，BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
√3
∴EF=BE=√3×
2
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．题型4：确定对称中心及中心对称作图
4.如图，两个任意四边形中心对称，请找出它们的对称中心．
【答案】解：如图，点O为对称中心．
【解析】【分析】连接任意两对对应点，交点即为对称中心.
【变式4-1】如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规
作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：如图，点O和△A′B′C′为所作．
【解析】【分析】连接AA′，作AA′的垂直平分线得到它的中点O，则点O为对称中心，延长BO到
B′，使OB′=OB，延长CO到C′，使OC′=OC，则△A′B′C′满足条件．
【变式4-2】如图， △ABC 和 △≝¿ 关于点 O 成中心对称.
（1）作出它们的对称中心 O ，并简要说明作法；
（2）若 AB=6 ， AC=5 ， BC=4 ，求 △≝¿ 的周长；（3）连接 AF ， CD ，试判断四边形 ACDF 的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，点O为所作；
（2）解：∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴△ABC≌△DEF，∴DF=AC=5，DE=AB=6，
EF=BC=3，∴△DEF的周长=3+5+6=14
（3）解：四边形ACDF为平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴OA=OD，OC=OF，∴四边形ACDF为平行四边形
【解析】【分析】（1）根据成中心对称的两个图形的性质：关于成中心对称的两个图形对称点的连线
必过对称中心，因此连接AD，EC，两线段的交点就是点O.
（2）根据成中心对称的两个图形的是全等形，可证得 △ABC≌△DEF ，利用全等三角形的性质，可
求出△DEF的三边长，再求出此三角形的周长。
（3）根据成中心对称的两个图形的的对称点的连线被对称中心平分，可证得 OA=OD，OC=OF ，再
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论。
关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 坐标为
，反之也成立.
题型5：关于原点对称的点的坐标特征
5.平面直角坐标系内与点P(−2，3)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(3，−2) B．(2，3) C．(2，−3) D．(−2，−3)
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得
点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3），
故答案为：C．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得答案。
【变式5-1】已知点A(-1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，故答案为：A．
【分析】根据题意先求出a＝﹣2，b＝1，再代入计算求解即可。
【变式5-2】已知P (a，−2)和P (3，b)关于原点对称，则(a+b) 2021的值为（ ）
1 2
A．−1 B．1 C．−52021 D．52021
【答案】A
【解析】【解答】解：∵P (a，−2)和P (3，b)关于原点对称，
1 2
∴a=−3，b=2，
∴(a+b) 2021=(−3+2) 2021=(−1) 2021=−1．
故答案为：A．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征可得a=−3，b=2，再将a、b的值代入计算即可。
题型6：关于原点对称的点的坐标特征及应用
6.在平面直角坐标系xOy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限
内，则x的取值范围是（ ）
1 1 1
A．x< B．−3 D．x＞－3
2 2 2
【答案】B
【解析】【解答】解：点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）
∵对称点在第四象限
{－2x+1>0
∴
－x－3<0
1
解得−3
