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23.2&23.3中心对称及图案设计
中心对称和中心对称图形
中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个
图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对
称点．
中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相互
区 称．
位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形看
如果把中心对称图形对称的部
联 成一个整体（一个图形），那
分看成是两个图形，那么它们
系 么这个图形就是中心对称图
又关于中心对称．
形．
题型1：中心对称和中心对称图形
1.1．下列由箭头组成的图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】【解答】解： 不是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就
叫做中心对称图形，根据定义可判断D选项图形不是中心对称图形.
【变式1-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不满足题意；
B、属于轴对称图形，也属于中心对称图形，满足题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不满足题意；
D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不满足题意.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
【变式1-2】对于下列图形：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．其
中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．（填写图形的相应编号）
【答案】②④⑤⑥
【解析】【解答】解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：②④⑤⑥
【分析】利用中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要
沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，对六个图形逐一判断可得答案。
题型2：中心对称的性质-求角度
2.如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC绕点O旋转角是【答案】180°
【解析】【解答】根据两个图形成中心对称的含义知，旋转的角度是180°
故答案为：180°
【分析】根据中心对称的图形的性质可得旋转角为180°。
【变式2-1】如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若 AB=6，
∠BAC=40°，则CD的长度为 ，∠ACD的度数为 °。
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出答案．
【解答】解：∵点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=6，AB∥DC，
∴∠BAC=∠ACD=40°．
故答案为：6，40．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．
【变式2-2】如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图
形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（ ）
A.30° B.36° C.72° D.90°
【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为36°．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
题型3：中心对称的性质-求边长
3.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是
．【答案】√13
【解析】【解答】 ∵ΔDEC 与 ΔABC 关于点C成中心对称
∴ΔABC≅ΔDEC
∴CD=AC=1，DE=AB=3
∴AD=CD+AC=2
∵∠D=90°
∴AE=√DE2+AD2=√32+22=√13
故答案为： √13 .
【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可得到答案。
【变式 3-1】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，将△BOC 绕着点 C 旋转 180°得到
△B'O'C，若AC=2，AB′=5，则菱形ABCD的边长是（ ）
A.3 B.4 C.√15 D.√17
【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O'C=1、OB⊥OC、O'B'⊥O'C、BC=B′C，根据
AB′=5，利用勾股定理计算O'B'，再次利用勾股定理计算B'C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC=2，
∴OA=OC=O'C=1，OB⊥OC，BC=B′C，
∴O'B'⊥O'C，O'A=AC+O'C=2+1=3，
∵AB′=5，
【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活
运用勾股定理是解题的关键．
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，
BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）A.3+√3 B.2+2√3 C.2+√3 D.1+2√3
【分析】证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出
EH，GF，FG即可．
【解答】解：如图，连接BD，AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠DAO=60°，BD⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=30°，
1
∴OA= AB=1，OB=√3OA=√3
2
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
在△BEO和△BFO中，
∴△BEO≌△BFO（AAS），
∴OE=OF，BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
√3
∴EF=BE=√3×
2
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
故选：A．
【点评】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．题型4：确定对称中心及中心对称作图
4.如图，两个任意四边形中心对称，请找出它们的对称中心．
【答案】解：如图，点O为对称中心．
【解析】【分析】连接任意两对对应点，交点即为对称中心.
【变式4-1】如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规
作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：如图，点O和△A′B′C′为所作．
【解析】【分析】连接AA′，作AA′的垂直平分线得到它的中点O，则点O为对称中心，延长BO到
B′，使OB′=OB，延长CO到C′，使OC′=OC，则△A′B′C′满足条件．
【变式4-2】如图， △ABC 和 △≝¿ 关于点 O 成中心对称.
（1）作出它们的对称中心 O ，并简要说明作法；
（2）若 AB=6 ， AC=5 ， BC=4 ，求 △≝¿ 的周长；（3）连接 AF ， CD ，试判断四边形 ACDF 的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，点O为所作；
（2）解：∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴△ABC≌△DEF，∴DF=AC=5，DE=AB=6，
EF=BC=3，∴△DEF的周长=3+5+6=14
（3）解：四边形ACDF为平行四边形．理由如下：
∵△ABC和△DEF关于点O成心对称，∴OA=OD，OC=OF，∴四边形ACDF为平行四边形
【解析】【分析】（1）根据成中心对称的两个图形的性质：关于成中心对称的两个图形对称点的连线
必过对称中心，因此连接AD，EC，两线段的交点就是点O.
（2）根据成中心对称的两个图形的是全等形，可证得 △ABC≌△DEF ，利用全等三角形的性质，可
求出△DEF的三边长，再求出此三角形的周长。
（3）根据成中心对称的两个图形的的对称点的连线被对称中心平分，可证得 OA=OD，OC=OF ，再
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论。
关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 坐标为
，反之也成立.
题型5：关于原点对称的点的坐标特征
5.平面直角坐标系内与点P(−2，3)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．(3，−2) B．(2，3) C．(2，−3) D．(−2，−3)
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，得
点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3），
故答案为：C．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数可得答案。
【变式5-1】已知点A(-1，a)，点B(b，2)关于原点对称，则a＋b的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（﹣1，a），点B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，故答案为：A．
【分析】根据题意先求出a＝﹣2，b＝1，再代入计算求解即可。
【变式5-2】已知P (a，−2)和P (3，b)关于原点对称，则(a+b) 2021的值为（ ）
1 2
A．−1 B．1 C．−52021 D．52021
【答案】A
【解析】【解答】解：∵P (a，−2)和P (3，b)关于原点对称，
1 2
∴a=−3，b=2，
∴(a+b) 2021=(−3+2) 2021=(−1) 2021=−1．
故答案为：A．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征可得a=−3，b=2，再将a、b的值代入计算即可。
题型6：关于原点对称的点的坐标特征及应用
6.在平面直角坐标系xOy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限
内，则x的取值范围是（ ）
1 1 1
A．x< B．−3<x< C．x> D．x＞－3
2 2 2
【答案】B
【解析】【解答】解：点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）
∵对称点在第四象限
{－2x+1>0
∴
－x－3<0
1
解得−3<x< .
2
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点：横纵坐标均互为相反数，可得点P关于原点成中心对称的点的坐标
为（-2x+1，-x-3），然后结合第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负列出关于x的不等式组，求解
即可.
【变式6-1】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的
坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）⑴画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△ABC；
1 1 1
⑵画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△ABO；
2 2
⑶在x轴上存在一点P，满足点P到A 与点A 距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
1 2
【答案】解：（1）如图所示，△ABC 为所求做的三角形（2）如图所示，△ABO为所求做的三角
1 1 1 2 2
形；
（3）∵A 坐标为（3，1），A 坐标为（4，﹣4），
2 3
∴AA 所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
2 3
16
令y=0，则x= ，
5
16
∴P点的坐标（ ，0）．
5
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可；
（3）先求出 AA 所在直线的解析式为：y=﹣5x+16， 再求点的坐标即可。
2 3
【变式6-2】在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶
点均在格点上，点C的坐标为（0，1），请按要求画图与作答：⑴请画出△ABC关于原点成中心对称的△ABC；
1 1 1
⑵请画出△ABC绕着点C顺时针旋转90°后的△ABC；
2 2 2
⑶求△ABC 的面积．
2 2 2
【答案】解：⑴如图所示：△ABC，即为所求；
1 1 1
；
⑵如图所示：△ABC，即为所求；
2 2 2
1 1 1
⑶△ABC 的面积为：2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝2.5．
2 2 2 2 2 2
【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用割补法求出三角形的面积即可。
中心对称、轴对称、旋转对称
1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：
注意：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.
题型7：综合利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
7.风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬
纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平
稳旋转的风车．正确的粘合方法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，
A、是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；故选A．
【分析】抓住一点：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可．
【变式7-1】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在
图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形.（用阴影表示）
（1）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；
（2）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图；
（3）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
【答案】解：本题是图案设计问题，用轴对称和中心对称知识画图，设计图案，要按照题目要求，展
开丰富的想象力，答案不唯一.
【解析】【分析】（1）可以设计为“T”型，属于轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）可以将第一行的第二个正方形移至第二行最右面的小正方形的下方，此时满足该图形为中心对
称图形，而不是轴对称图形；
（3）可以设计为“+”，既属于轴对称图形，也属于中心对称图形.
【变式7-2】如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个
图案．
【答案】解：先以等边三角形的一边为基础画一个基本图形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转
60°后删除原等边三角形.
如图所示：【解析】【分析】利用旋转设计图案，此题答案不唯一，先以等边三角形的一边为基础画一个基本图
形，再绕等边三角形的两个顶点分别旋转60°后删除原等边三角形.
题型8：利用轴对称和中心对称设计方案
8.认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：
（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1： ；特征2：
（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．
【答案】（1）都是轴对称图形；都是中心对称图形
（2）解：如图所示，
【解析】【解答】解：（1）特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形．
故答案为：都是轴对称图形；都是中心对称图形；
【分析】（1）利用沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．绕一个
点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形，进而得出即可；（2）根据
题意画出图形即可．
【变式8-1】如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出ABC，
请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形；
（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形．【答案】解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示．
【解析】【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；
（2）利用中心对称图形的性质，画出一个平行四边形即可．
【变式8-2】在下列正方形网格中，点A是 ⊙O 上一点（点A和圆心O均为格点）.
（1）在图1中不过点A画 ⊙O 的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与 ⊙O 组成的
图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中不过点A画 ⊙O 的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与 ⊙O 组成
的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图3中不过点A画 ⊙O 的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与 ⊙O 组成
的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
【答案】（1）解：答案不唯一.
（2）解：答案不唯一.（3）解：答案不唯一.
【解析】【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图
形就是轴对称图形，根据定义即可设计得出答案；
（2）把一个平面图形，沿着某一点旋转 180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义
即可设计得出答案；
（3）利用轴对称图形的意义和中心对称图形的意义得出结果即可.
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【答案】D
【解析】【解答】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；
菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；
正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；
平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫
做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形。 根据中心对称图形和轴对称图形的定义求解即可。2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫
做轴对称图形 。 在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,
那么这个图形叫做中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断求解
即可。
3．下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意。
故选C．
4．已知，将点A（4，2）向左平移3个单位到达点A 的位置，再向上平移4个单位到达点A 的位置，
1 2 3
△AAA 绕点A 逆时针方向旋转90°，则旋转后A 的坐标为（ ）
1 2 3 2 3A．(−2,2) B．(−3,2) C．(−2,1) D．(−3,1)
【答案】B
【解析】【解答】解：点A（4，2）向左平移3个单位到达点A 的位置，则点A 的坐标为（1，
1 2 2
2），
再向上平移4个单位到达点A 的位置，点A 的坐标为（1，5），
3 3
△A AA 绕点A 逆时针方向旋转90°，
1 2 3 2
则旋转后A 的坐标为（-3，2），
3
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”即可由点A 的坐标得出点
1
A 的坐标，根据旋转变换的性质即可得出A 点旋转后的坐标。
3 3
5．用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分.图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给
出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】C
【解析】【解答】如图：图形2中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的
图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，
即甲做法正确；
图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面
积的一半-添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法
正确.
故答案为：C.
【分析】根据图形中所画出的虚线，可以利用图形中的长方形、梯形的面积比较得出直线两旁的面积
的大小关系.
6．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：从左数第一、四个是轴对称图形，也是中心对称图形．第二是轴对称图形，不
是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形不是轴对称图形．
故选B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
二、填空题
7．已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是 ．
【答案】a<−1
【解析】【解答】∵P（ a+1 ，1关于原点对称的点在第四象限，
∴P点在第二象限，
∴a+1<0,
解得：a<−1，
故答案为: a<−1.
【分析】由题意得P在第二象限，再利用第二象限点的坐标的性质解出a的取值范围。
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于
点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是
点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
故答案为：6．
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
9．如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm．如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA ，那
1
么点A 的位置可以用(2，30°)表示．如果将OA 再按逆时针方向继续旋转55°到OA ，那么点A 的位
1 1 2 2
置可以用 ( ， ) 表示．
【答案】2；85
【解析】【解答】解：根据旋转的定义，可得出A 的位置可表示为（2，85）
2
故答案为：2；85.
【分析】根据旋转的定义可求解。
10．“皮克定理”是用来计算顶点在格点（即图中虚线的交点，如图中的小黑点）上的多边形的面积
b
公式，公式为S = a + -1.小明只记得公式中的表示多边形的面积，a 和 b 中有一个表示多边形边
2
上（含多边形顶点）的格点个数，另一个表示多边形内部的格点个数，但记不清楚究竟是哪一个表示
多边形内部的格点个数，请你利用图 1 探究并运用探究的结果求图 2 中多边形的面积是 .
【答案】10
【解析】【解答】解：根据图1可得，
∵矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，10
即 6=2+ −1 ；
2
正方形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，
8
即 4=1+ −1 ；
2
∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是 a ；
表示多边形边上（含多边形顶点）的格点个数为 b ，
由图 2 得： a=8,b=6,
b 6
∴S=a+ −1=8+ −1=10.
2 2
故答案为：10
【分析】分别找出图1中图形内的格点数和图形上的格点数后与公式比较即可发现表示图上的字母，
再把图2中的相关数据代入计算即可求解.
11．如图，在平面直角坐标系中， RtΔABC 三个顶点都在格点上，点 A,B,C 的坐标分别为A
A(−4,1),B(−1,1),C(−1,3) 请解答下列问题：
①ΔABC 与 ΔA B C 关于原点 O 成中心对称，画出 ΔA B C 并直接写出点 C 的对应点
1 1 1 1 1 1
C 的坐标；
1
②画出 ΔABC 绕原点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到的 ΔA B C ，并求出点 A 旋转至 A 经过
2 2 2 2
的路径长.
【答案】解：如图， ΔA B C 、 ΔA B C 为所作：点 C 的坐标为 (1,−3)
1 1 1 2 2 2 1OA=√12+42=√17 ，
90·π·√17 √17
∴ 点 A 经过的路径长为 = π .
180 2
【解析】【分析】①根据关于原点对称的点的坐标特征写出 A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
②利用旋转的性质和格点的特征分别画出点 A、B、C 的对应点 A 、B 、C ，然后利用弧长公
2 2 2
式计算点 A 旋转至 A 经过的路径长.
2
四、解答题
12．如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△ABC 和
1 1 1
△ABC．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△ABC 重合到△ABC 上．
2 2 2 1 1 1 2 2 2
【答案】解：将△ABC 向上平移4个单位，再向右平移3个单位，然后绕点C 顺时针旋转90°即可
1 1 1 1
得出将△ABC 重合到△ABC 上
1 1 1 2 2 2
【解析】【分析】根据△ABC 和△ABC 的位置，结合各几何变换的类型进行判断即可．
1 1 1 2 2 2
13．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△ABC；
1 1 1
（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△ABC，请画出△ABC．
2 2 2 2 2 2
（3）若点O的坐标为(0， 0)，点B的坐标为(2， 3)；写出△ABC 与△ABC 的对称中心的坐标
1 1 1 2 2 2
【答案】解：（1）如图所示：△ABC，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△ABC，即为所求．
2 2 2
（3）（-3，0）
【解析】【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出
△ABC；
1 1 1
（2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△ABC．
2 2 2
（3）（-3，0）
14．如图，请你以y轴为对称轴画出所给图的另一半，若点A坐标为（﹣3，3），写出点A的对应点
的坐标，并说明完成后的图形可能代表的含义．【答案】解：如图所示：（3分）
点A的对应点A′的坐标为（3，3）；
所得图形为圣诞树．
【解析】【分析】利用轴对称图形的性质得出对应点坐标位置进而画出图象即可．
15．画图计算：（1）在8×8的方格纸中画出△ABC关于点O的对称图形△A′B′C′，并在所画图中标明字母．
（2）设小方格的边长为1，求△A′B′C′中B′C′边上的高h的值．
【答案】（1）解：所作图形如下所示：
（2）解：
由题意得：AB=√5，AC=√20=2√5，BC=5，
∴△ABC为直角三角形．
1 1
△ABC的面积= ×√5×2√5= ×5×h，
2 2
解得：h=2．
【解析】【分析】（1）连接三角形三点与O的连线，并延长相同单位，得到三点的对应点，顺次连
接即可．（2）根据三角形的边长，可以判定△ABC为直角三角形，继而求出B'C'边上的高h的值．
