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27.2.3 相似三角形的性质
基础篇
一、单选题：
1．若 ，其相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【详解】解： 且相似比为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键．
2．如图， ∽ ， ： ： ，其中 ， 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解： ： ： ，
： ： ，
∽ ，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
3．如图，在 中，E为CD的中点，AE交BD于点O， ＝12 ，则 等于（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质得出 ， ，进而得出 ，再利用相似三角
形的性质得出答案．
【详解】∵在 中，E为 中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 是解题关
键．
4．如图，在 中， 是 上一点，且 ，连接 交 于点 ，已知 ，则
的值是( )A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】证明 ，可证得，得 ，即可得结论．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
则 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是掌握相似三角
形的性质与判定．
5．如图， 中， ， ，以BC边上一点O为圆心作 ，分别与AB，AC相切于
点D，E，则AD的长为（ ）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【分析】连接 ，根据切线性质可得 ，证明 ，再证明
相似即可解得．
【详解】连接
∵AB，AC相切于点D，E，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵
∴ ，
根据勾股定理得
∵
∴
∴∴
故选：A．
【点睛】此题考查了切线性质、三角形全等和相似、勾股定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．
6．如图，在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，则
的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等边三角形的性质，证明 ，即可得解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选C．【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角
形相似，是解题的关键．本题考查一线三等角相似模型，平时多归纳总结，可以快速进行解题．
7．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为 ，阴影部分三角形
的面积为 若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明 ，再由相似三角形的性质求得 ，进而求得 ．
【详解】解：如图，
、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
．
故选：B．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形
的判定与性质等知识点．
二、填空题：
8．已知 与 相似，且 与 的相似比为 ，如果 的面积为18，那么 的面
积等于______．
【答案】8
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可找到 和 的面积之比从而解决此题．
【详解】 且相似比为
和 的面积比为
故答案为：8
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题关键．
9．如图，在 中，D，E两点分别在 边上， ，如果 ，则 与 的
面积之比为______．
【答案】
【分析】由 ，根据相似三角形的判定方法得到 ，然后根据相似三角形面积的比等
于相似比的平方求解．
【详解】】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三
角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
10．如图，在 中， ， ， ，则 ______cm．
【答案】4
【分析】证明 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
11．如图，在平行四边形 中， ： ： ，则 ： ______．
【答案】
【分析】根据四边形 是平行四边形，可得 ， ，所以 ，再根据相似三角形判定可知 ，从而可求 ．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
∴
∵
∴
，
故答案是 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是注意先求出 的
值．
12．如图，矩形 的面积为36，对角线 与双曲线 相交于点 ，且 ，则 的值为
__________．
【答案】
【分析】由矩形的性质求出 的面积，由平行线分线段成比例可求 ，可求 的面积，
由反比例函数的性质可求解．
【详解】如图，连接 ，过点D作 于E，
∵矩形 的面积为36，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵双曲线 图象过点D，
∴ ，
又∵双曲线 图象在第二象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似
三角形的判定与性质等知识，求出 的面积是解题的关键．
13．如图，在 中， ， 上的高 ，矩形 的顶点E、F在边 上，G、H分别在
边 、 上， ，则该矩形的面积为________．【答案】 ##
【分析】如图，证明 ，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，则 ；
由题意得：
， ；
∴ ，而 ， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ， ．
∴该矩形的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】该题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判
断、推理或解答．
14．如图，在 中，E是线段 上一点， ，过点C作 ，交BE的延长线于点
D．若 的面积等于16，则 的面积等于______．
【答案】12
【分析】先根据 得出 ，根据相似三角形的性质得出 ，从而求出 ，再根据 求出 ，最后求出 的面积
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的面积等于16，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相
似的判定和性质．
三、解答题：
15．如图，在正方形 中， 为边 的中点，点 在边 上，且 ，延长 交 的延
长线于点 ．
(1)求证： ∽ ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】 由正方形的性质与已知得出 ，证出 ，即可得出结论；
由 ， 为 的中点，得出 ，由勾股定理得出 ，由 ，
得出 ，可求得 的长度，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明： 四边形 为正方形，且 ，
，
， ，
，
∴ ；
（2）解： ， 为 的中点，
．
在 中， ，
由 知， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的
判定得出比例式是解题的关键．
16．如图， 中，点D是边 的中点， 交 于G，且 ．(1)分别求出 和 的值；
(2)若 的面积为 ，求出四边形 的面积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据 可得 ，根据 ，可得 ， ，根据相
似三角形的性质可得结果；
（2）连接 ，根据面积比等于相似比的平方可得 ，根据三角形中线等分三角形面积可得
，然后根据 得出 ，最后根据 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ，∵ ，相似比为 ，
∴ ，
∴ ，
∵点D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解本题的关键．
17．已知，如图，直线 交 于 ， 两点， 是直径， 平分 交 于 ，过 作
于 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据平行线的判定与性质可得 ，且 在 上，故 是
的切线．
（2）由直角三角形的特殊性质，可得 的长，又有 ，根据相似三角形的性质列出比例
式，代入数据即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接 ．
，
．
，
．
．
，
即 ．
在 上， 为 的半径，
是 的切线．
（2） ， ， ，
．
连接 ．
是 的直径，
．
，．
．
则 ．
的半径是 ．
【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，
在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．
18．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明过程见详解．
(2) 的面积为2．
【分析】（1）利用 先判定 ，得到 从而证明 ，
结合 ，证明 ，得到 即可．
（2）利用 及面积比值得到 ，通过 得到 ，最后利用
求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，能够熟练的根据条件判定三角形相似，并利用相
似的性质得到线段的比值是解题关键．
提升篇
1．如图，点 、 在反比例函数 的图象上，延长 交 轴于 点，若 的面积是 ，且
点 是 的中点，则 的值（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据 是 的中点，表示出 的面积，再利用 的几何意义表示出 和 的面
积，即可得出 和 的面积，易证 ∽ ，根据面积的比等于相似比的平方，列方程即
可求出 的值．
【详解】解：连接 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
是 的中点，
，
根据 的几何意义，
，
，
，
， ，
∽ ，
是 的中点，
相似比为 ： ，，
，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本题的
关键．
2．如图，在矩形 中， ．对角线 与 相交于点O，过点D作 的垂线，交 于点
E， ．则 的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】由矩形的性质可得 结合 可求得 ,再证 ，然后根据相似
三角形对应边成比例列式可得 即可解答．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得判断出相似三角形，并灵活运用相似三角形的性
质是解题关键．
3．如图，在矩形 中， 是 边的中点， 垂足为点F，连接 ，有下列四个结论：①
；② ；③ ④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①四边形 是矩形， ，则 ，又 ，于是
；
②由 ，又 ，所以 ，故可得 ；
③过D作 交 于N，得到四边形 是平行四边形，求出 ，得到 ，
根据线段的垂直平分线的性质可得结论；
④由 ，推出 ，设 ，推出 ， ， ，
，推出 ，故⑤正确．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴∵ 于点F，
∴
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
如图，过D作 交 于N，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点F， ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，故③正确；
，
，设 ，
， ， ， ，
故④正确；
正确的个数为4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综
合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
4．如图，正方形 的边长为 ，点 是 边的中点，连接 ．在线段 上有一点 ，若点P到正
方形一边的距离为 ，则 的长为___________．
【答案】 或 或
【分析】根据勾股定理求得 ，再分三种情况讨论， ，根据相似三
角形的性质与判定，即可求解．
【详解】解： 正方形 的边长为 ，点 是 边的中点，
，
如图1，作 于点 ，使 ，，
，
，
，
如图2，作 于点 ，使 ，
，
，
如图3，作 ⊥ 于点 ，使 ，
，
，综上所述： 的长为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
5．如图，矩形 中，对角线 、 交于点 ， 于点 ， ， ，
______cm．
【答案】12
【分析】先证明 ，即可证明 ，从而求出 ， ，最后根据勾股定理即可
求出 ．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明 是解
题的关键．
6．如图，在 中，中线 、 相交于点O，连接 ，下列结论：① ；② ；③
；④ ；其中正确的个数有____________（写序号）．
【答案】①③④
【分析】 、 是 的中线，即D、E是 和 的中点，即 是 的中位线，则 ，
，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．
【详解】∵ 、 是 的中线，即D、E是 和 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，即 ，①正确；
∵
∴ ，
∴ ，②错误；
∵ , ，
∴ ,③正确；
∵ ，
∴∴
又∵ 是 的中线
∴
∴ ，④正确
故①正确，②错误，③④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线分三角形为面积相
等的连个三角形证明 和 之间的关系是关键．
7．如图，在锐角三角形 中，点D在边 上， 于点E， 于点F， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先证 ，再证 ，即可解决问题；
（2）由（1）可知： ，推出 ，再证 ，可得答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
，，
；
（2）由（1）可知： ，
，
，
，
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的内角和，解题的关键是证明三角形相似．
8．綜合与探究
如图，在 中， ，点M从点A开始沿 边向点C以 的速度运动，点N从点C开始沿
边向点B以 的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若 ， 的长是
的两根（其中 ，单位： ）．
(1)求 ， 的长；
(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后， 的面积为 ？
(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发， 是否能和 相似？如果能，请求出运动的时间；如
果不能，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或者(3)能， 或
【分析】（1）根据一元二次方程的十字相乘法即可计算出两个根；
（2）利用 即可算出；
（3）利用三角形的相似比即可算出；
【详解】（1）解： ，
解得 ， ．
，
， ．
（2）当运动时间为 秒时， ， ，
依题意，得 ，
整理得 ，
解得 ， ，两者均符合要求．
答：点M，N分别从点A，C同时出发，那么1秒或5秒后， 的面积为 ．
（3）设运动 秒时， 和 相似， ， ，
，可以分2种情况，
①若 ，此时 ，即 ，
解得 ；
②若 ，此时 ，即 ，
解得 ．
答：运动 或 时， 和 相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学的知识．
