文档内容
27.2 相似三角形（第9课时）
教学目标
1．通过探索测量河宽的学习过程，使学生了解数学建模的思想，从而能够将实际问题
转化为相似三角形的数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力．
2．会运用相似三角形的知识，求出不能到达的物体的两点之间的距离．
教学重点
利用相似三角形测量不能到达的物体的两点之间的距离．
教学难点
理解数学建模的思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型．
教学过程
新课导入
【问题】怎样测量河宽呢？
【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流讨论．
教师提问：河的两端可以直接测量吗？
学生回答：由于河的两端不能直接到达，所以不能直接测量．
教师追问：上节课我们学习了利用阳光下的影子测量顶端不能到达的物体的高度的方
法，那么不能直接到达的物体的两点之间的距离应该怎样测量呢？学生自由发言，教师引出新课．
【设计意图】通过问题串的形式，引出新课内容，激发学生的求知欲，调动学生学习
的积极性．
新知探究
一、探究学习
【探究】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取
点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上
选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS＝45 m，ST
＝90 m，QR＝60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ．
【师生活动】教师提示：结合学习过的相似三角形的知识，思考如何解决问题．
学生思考并回答：根据题干，可知△PQR∽△PST，进而可以利用相似三角形中的对
应线段之间的比值关系求出河宽PQ．
学生尝试独立作答，教师巡查纠错并板书讲解．
【答案】解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
∴△PQR∽△PST．
∴ ．
即 ， ，
PQ×90＝(PQ＋45)×60．
解得PQ＝90 m．
因此，河宽大约为90 m．【探究】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取
点B和C，使AB与河垂直，接着选择适当的点E，过点E作与河岸垂直的垂线，垂足为
C，确定BC和AE的交点D．已测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，请根据这些数
据，求河宽AB．
【师生活动】学生分小组交流讨论，并派代表回答，教师板书讲解．
【答案】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABD＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD．
∴ ，即 ．
解得AB＝100（m）．
因此，河宽大约为100 m．
【新知】利用相似三角形测量物体的宽度
测量原理：（1）要求线段AB的长度，可先测量线段BE，BC及CD的长度，再说明
△ADC∽△AEB，利用相似三角形的性质，得 ，即 ；
（2）要求线段AB的长度，可先测量线段BE，EC及CD的长度，再说明
△ECD∽△EBA，利用相似三角形的性质，得 ，即 ．特别提醒：
（1）测量不能到达的物体的两点之间的距离时，常构造“A”字型或“X”字型的相
似三角形，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出要求的两点之间的距离；
（2）测量不能到达的物体的两点之间的距离时，常根据公共角相等或对顶角相等构造
相似三角形求解．
【设计意图】通过探索河宽的学习过程，使学生了解数学建模的思想，并学会运用相
似三角形的知识，求出不能直接到达的物体的两点之间的距离．
二、典例精讲
【例1】如图，为了测量水塘边A，B两点之间的距离，在可以看到A，B的点E处，
取AE，BE延长线上的D，C两点，使得CD∥AB．若测得CD＝5 m，AD＝15 m，ED＝3
m，则A，B两点间的距离为_____m．
【答案】20
【解析】∵CD∥AB，
∴△ABE∽△DCE．
∴ ，即 ．
解得AB＝20 m．
【例2】某高中为高一新生设计的学生板凳从正面看到的平面图形如图所示，其中BA
＝CD，BC＝20 cm，BC与EF平行于AD，且到AD的距离分别为40 cm，8 cm．为使板凳
两腿底端A，D之间的距离为30 cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等忽略不
计）【师生活动】教师提出问题，学生思考并尝试独立作答，教师巡查纠错并讲解．
【答案】解：如图，过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于点N，M．作CP⊥AD，分
别交EF，AD于点Q，P．
∵BC∥AD，EN∥AD，
∴四边形ABCM、四边形AENM是平行四边形．
∴EN＝AM＝BC＝20 cm．
∴MD＝AD－AM＝30－20＝10（cm）．
由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，
∴CQ＝CP－PQ＝32 cm．
∵EF∥AD，
∴△CNF∽△CMD．
∴ ，即 ．
解得NF＝8 cm．
∴EF＝EN＋NF＝20＋8＝28（cm）．
答：横梁EF应为28 cm．
【设计意图】通过例1、例2的练习与讲解，巩固学生对所学知识的理解及应用．课堂小结
板书设计
利用相似三角形测量物体的宽度
课后任务
完成教材第57页复习题27第7题．
教学反思
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