文档内容
期末复习学案（3）平行四边形2（矩形及菱形）（解析版）
考点1:矩形的性质
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【思路引领】根据菱形和矩形的性质即可判断．
【解答】解：因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等；
菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直．
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：C．
【总结提升】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形和矩形的性质．
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4 B．4 C．3 D．5
【思路引领】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝
AB，即可得解．
【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝ ＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
【总结提升】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，得出△OAB为等边三角形是解题关键．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．
已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（ ）A．2 B． C． D．3
【思路引领】连接CE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得AE＝CE，S△BOE ＝S△COE ＝5，
由三角形的面积则可求得DE的长，得出AE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：如图，连接CE，
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，S△AOE ＝S△COE ＝5，
∴S△ACE ＝2S△COE ＝10．
∴ AE•CD＝10，
∵CD＝4，
∴AE＝EC＝5，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE＝ ＝3．
故选：D．
【总结提升】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题
难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
考点1:矩形的判定
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若要使平行四边形ABCD成为矩形，需
要添加的条件是（ ）A．AC⊥BD B．OA＝OB C．AB＝BC D．∠ABD＝∠DBC
【思路引领】根据矩形的判定方法逐项判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDC＝∠DBC，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
【总结提升】本题考查矩形的判定，涉及到平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，
熟知矩形的判定是解答的关键．
5．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
【思路引领】由AD∥BC，AD＝BC可得四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD可得平行四边形
ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
由AD∥BC，AD＝BC推出四边形ABCD是平行四边形，进而推出∠A＝∠B＝90°，可证得平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
由AD∥BC推出∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，进而推出∠B＝∠D，得到四边形ABCD是平行四边形，推
出AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
由AD∥BC，AB∥CD推出四边形ABCD是平行四边形，再由AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故选项
D不符合题意
【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握对角线相等的平行四
边形是矩形和有一个直角的平行四边形是矩形是解题的关键．
6．木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是
（ ）A．测量两组对边是否相等
B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等
D．测量对角线是否互相垂直
【思路引领】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边
形是矩形，进行判断即可．
【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故选：C．
【总结提升】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．
7．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°．
（1）求证：△ABF≌△DEC；
（2）求证：四边形BCEF是矩形．
【思路引领】（1）首先根据AB∥DE得到∠A＝∠D，然后利用SAS定理判定全等即可；
（2）首先判定四边形BCEF为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即
可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝FD，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
即AF＝CD，
在△ABF与△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DEC，∴EC＝BF，∠ECD＝∠BFA，
∴∠ECF＝∠BFC，
∴EC∥BF，
∵∠CEF＝90°，
∴四边形BCEF是矩形．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定及矩形的判定，解题的关键是牢记相关的判定定理，难度不
大．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，若四边形AEBO是菱形，
求证：四边形ABCD是矩形．
【思路引领】先证四边形ABCD是平行四边形，得OA＝ AC，OB＝ BD，再由菱形的性质得OA＝
OB，则AC＝BD，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ AC，OB＝ BD，
∵四边形AEBO是菱形，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【总结提升】本题考查了矩形的判定、菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定
和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
考点3:直角三角形斜边的中线
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（ ）A．5 B．6 C．8 D．10
【思路引领】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，
则OB＝ AC＝5，
故选：A．
【总结提升】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边
的一半．
10．如图，在矩形ABCD中，O，E分别为AC，BC的中点．若OE＝3，OD＝5，则BC的长为 8 ．
【思路引领】根据矩形的性质和三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理即可
得到结论．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，
∵O，E分别为AC，BC的中点，
∴AC＝2OD，AB＝2OE，
∵OE＝3，OD＝5，
∴AB＝6，AC＝10，
∴BC＝ ＝8，
故答案为：8．
【总结提升】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定
理，熟练掌握三角形中位线定理和直角三角形的性质是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF＝4，BC＝6，则△EFM
的周长是（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【思路引领】根据垂直定义可得∠CFB＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得FM
＝ BC＝3，EM＝ BC＝3，从而利用三角形的周长公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵M为BC的中点，BC＝6，
∴FM＝ BC＝3，EM＝ BC＝3，
∵EF＝4，
∴△EFM的周长＝EF+FM+EM＝4+3+3＝10，
故选：B．
【总结提升】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关
键．
12．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝
6，BC＝8，则DF＝ 1 ．
【思路引领】根据直角三角形斜边上的中线求得 ED的长度，由三角形中位线定理求得 EF的长度，则
DF＝EF﹣ED．
【解答】解：如图，∵BD⊥AN，
∴∠ADB＝90°．
∵E是AB的中点，∴ED是斜边AB上的中线，
∵AB＝6，
∴ED＝ AB＝3．
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF＝ BC．
∵BC＝8，
∴EF＝4．
∴DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【总结提升】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一
半．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则
CP的长为 3 ．
【思路引领】由题意推出BD＝AD，然后在Rt△BCD中，CP＝ BD，即可推出CP的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴BD＝AD，
∵AD＝6，
∴BD＝6，
∵P点是BD的中点，
∴CP＝ BD＝3，
故答案为：3．【总结提升】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性
质，关键在于根据已知推出BD＝AD，求出BD的长度．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于
点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（ ）
A．65° B．70o C．75o D．80o
【思路引领】由直角三角形的性质可得CD＝AD，即可求解∠ACD＝25°，根据等腰三角形的性质及三
角形外角的性质可求得∠BEC＝50°，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝25°，
∵AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝25°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°，
∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°，
故选：C．
【总结提升】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求解
∠ACD，∠BEC的度数是解题的关键．
15．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之
在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离
是 3+ ．
【思路引领】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE＝ AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最
大．
【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，
∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，
∴AE＝BE＝3＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，
∴DE＝ ＝ ，
∵OD≤OE+DE，
∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．
∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+ ，
故答案为：3+ ．
【总结提升】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三
边关系，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝4，Q为BP
的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 3 ≤ m ≤ 7 ．
【思路引领】取AB的中点M，连接QM，CM，分析可知，点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q
在以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，且当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m
取得最小值3，当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值7，可得结论．【解答】解：如图，取AB的中点M，连接QM，CM，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则由勾股定理，得 AB＝ ＝ ＝
10，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝CM＝ AB＝5．
∵点Q是PB的中点，点M是AB的中点，
∴QM是△APB的中位线．
∵AP＝4，
∴QM＝ AP＝2，
在△CMQ中，CM﹣MQ＜CQ＜CM+MQ，
∴3＜m＜7，
∵点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值3，
当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值7，
综上，m的取值范围为：3≤m≤7．
故答案为：3≤m≤7．
【总结提升】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线定理，三角形三边关
系等内容，分析清楚点Q的运动是本题解题的关键．
考点4:矩形的性质和判定综合
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速
度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个
动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；③当CD＝PM时，t＝4或5s；
④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引领】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝
BM，列出方程求解即可；当四边形 CDPM为平行四边形时，根据DP＝CM，列出方程求解即可；当
CD＝PM时，分两种情况：四边形CDPM是平行四边形时；四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求
解即可．
【解答】解：根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，
即10﹣t＝t，解得t＝5，故①不正确；
当四边形CDPM为平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，故②不正确；
当CD＝PM时，分两种情况：
当四边形CDPM是平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，
当四边形CDPM是等腰梯形时，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，
则∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵CD＝PM，GM＝HC，∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∴ ，
又BM＝t，∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD，
∴AG＝BM，
即 ，
解得t＝6，
综上可得，当CD＝PM时，
t＝6或t＝4，
故③错误，④正确，
∴正确的结论有1个．
故选：A．
【总结提升】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉
及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键．
18．如图，菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，CD＝10，OD＝6，过点C作CE∥DB，过点B作
BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）求OC的长．
（2）求四边形OBEC的面积．
【思路引领】（1）根据四边形ABCD为菱形，利用菱形的性质，得∠DOC＝90°，根据勾股定义即可求
得OC的长，
（2）根据四边形ABCD为菱形，利用菱形的性质，得到∠BOC＝90°，OB＝OD＝6，再根据CE∥DB，
BE∥AC，利用矩形的判定，得到四边形OBEC为矩形，根据矩形的面积＝长×宽，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DOC＝90°，
∴OC＝ ＝ ＝8，即OC的长为8，
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BOC＝90°，OB＝OD＝6，
又∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为矩形，
S四边形OBEC ＝OC•OB＝8×6＝48，
即四边形OBEC的面积为48．
【总结提升】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，正确掌握矩形和菱形的性质与判定定理是解
题的关键．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若CE＝2BE且AE＝BE，已知AB＝2，求AC的长．
【思路引领】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；
（2）由等腰直角三角形的性质求出AE的长，由勾股定理可求AC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE，AB＝2，
∴AE＝BE＝ ，
∴CE＝2BE＝2 ，∴AC＝ ＝ ＝ ．
【总结提升】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问
题是解题的关键．
20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交
CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CE＝3，求BF的长．
【思路引领】（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的
延长线上，得AD∥CE，则四边形ACED是平行四边形，即可由∠ACE＝90°，根据矩形的定义证明四边
形ACED是矩形；
（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3，因为∠ABC＝
60°，所以△ABC是等边三角形，则AB＝AE＝BE＝2CE＝6，∠AFB＝90°，所以AF＝ AE＝3，即可根
据勾股定理求得BF＝ ＝3 ．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×3＝6，
∴∠AFB＝90°，AF＝ AE＝ ×6＝3，
∴BF＝ ＝ ＝3 ，
∴BF的长是3 ．
【总结提升】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定
理等知识，证明AC∥DE及△ABC是等边三角形是解题的关键．
考点5：菱形的性质
21．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【思路引领】由菱形的性质和平行四边形的性质对边对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故D选项不符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题
的关键．
22．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）A．4 B．8 C．16 D．20
【思路引领】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边解答即可．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故选：C．
【总结提升】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟
记各性质是解题的关键．
23．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．24 C．20 D．16
【思路引领】证EF是△ABC的中位线，得BC＝2EF＝6，再由菱形的性质得AB＝AD＝CD＝BC＝6，
即可得出结论．
【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，
∴菱形ABCD是周长＝4BC＝4×6＝24，
故选：B．【总结提升】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，由三角形中位线定
理求出BC的长是解题的关键．
24．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，E、F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的面积是
18 ．
【思路引领】过A作AM⊥BC，首先根据三角形中位线的性质可得EF＝ BC，进而可得BC＝6，再求
出∠BAM的度数，进而可得AM的长，然后可得菱形ABCD的面积．
【解答】解：过A作AM⊥BC，
∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ BC，
∵EF＝3，
∴BC＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠A＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝3，
∴AM＝ ＝ ＝3 ，
∴菱形ABCD的面积是6×3 ＝18 ，
故答案为：18 ．【总结提升】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形四边相等，掌握菱形的面积公式．
25．菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【思路引领】由菱形的性质可得AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3，BO＝DO＝ BD，由勾股定理
可求BO的长，即可求解．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO＝ AC＝3，BO＝DO＝ BD，
∴BO＝ ＝ ＝4，
∴BD＝8
故选：A．
【总结提升】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题
的关键．
26．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝5，BD＝6，则
DE的长是（ ）
A． B． C． D．
【思路引领】由菱形的性质得OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，再由勾股定理得OA＝4，则AC＝
2OA＝8，然后由菱形面积公式求出DE的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，BD＝6，
∴OB＝OD＝3，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA＝ ＝ ＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵DE⊥AB，
∴S菱形ABCD ＝AB•DE＝ AC•BD＝ ×8×6＝24，
∴5DE＝24，
∴DE＝ ，
故选：C．
【总结提升】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点B的坐标为（0，﹣3），
则点A的坐标为 （ ）
A． B．（3 ，0） C．（﹣6，0） D．（6，0）
【思路引领】由B点坐标求得OB，再解Rt△OAB，求得OA，于是得到结论．
【解答】解：∵点B的坐标为（0，﹣3），
∴OB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ABO＝ ABC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴OA＝OB•tan60°＝3 ，
∴A（﹣3 ，0），
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，解直角三角形，关键是解直角三角
形求得对角线的长度．
28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EH⊥AD交AD于点H，AC＝8，BD＝6，则DE+HE的最小值为 ．
【思路引领】作DF⊥AB于F，则EH＝EF，所以DE+HE＝DE+EF≥DF，即DE+HE的最小值为DF．
【解答】解：如图，作DF⊥AB于F，
∵EH⊥AD，
∴EH＝EF，
∴DE+HE＝DE+EF≥DF，
即DE+HE的最小值为DF．
∵AC＝8，BD＝6，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
∴DF＝ ＝ ．
∴DE+HE的最小值为： ．
故答案为： ．
【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用菱形的性质是解决本题的关键．
29．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于
F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（ ）A． B． C． D．
【思路引领】过P作PM⊥CD于M，由菱形的性质推出CD∥AB，AC⊥BD，OA＝ AC，OB＝ BD，
AC平分∠BCD，由角平分线的性质推出PF＝PM，由PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，得到P、E、M
共线，因此PE+PF＝ME，由勾股定理求出AB＝ ＝5，由菱形的面积公式得到AB•EM＝
AC•BD，即可求出EM＝ ，得到PE+PF的值．
【解答】解：过P作PM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝ AC，OB＝ BD，AC平分∠BCD，
∵PF⊥BC于F，
∴PF＝PM，
∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，
∴P、E、M共线，
∴PE+PF＝PE+PM＝ME，
∵AC＝8，BD＝6，
∴OA＝ ×8＝4，OB＝ ×6＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵菱形ABCD的面积＝AB•EM＝ AC•BD，
∴5EM＝ ×6×8，∴EM＝ ．
∴PE+PF的值为 ．
故选：C．
【总结提升】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过P作PM⊥CD于M，证明PE+PF＝ME，由菱
形的面积公式求出EM的长．
30．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝4，AC交BD于点O，E为OD上一动点（不与点O，D重合），
连接CE并延长，交AD于点F，点G为CF的中点，连接OG．若点E为OD的中点，则OG＝
．
【思路引领】由四边形 ABCD 是菱形，AC＝8，BD＝4，得出∠AOD＝90°， ＝2，
．由勾股定理，得AD的值．因为点G为CF的中点，则OG是△CAF的中位线．则OG
＝ ，OG∥AF，利用 AAS 证明△DEF≌△OEG．则 OG＝DF．因为 DF+AF＝ ，所以
OG+AF＝OG+2OG＝2 ，则 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝4，
∴∠AOD＝90°， ＝2， ．在Rt△AOD 中，由勾股定理，得 ．
∵点G为 CF的中点，
∴OG是△CAF的中位线．
∴OG＝ ，OG∥AF，
∴∠DFE＝∠OGE，∠FDE＝∠GOE．
∵点E为OD的中点，
∴DE＝OE．
在△DEF和△OEG中．
，
∴△DEF≌△OEG（AAS）．
∴OG＝DF．
∵DF+AF＝ ，
∴OG+AF＝OG+2OG＝2 ，
∴ ．
故答案为： ．
【总结提升】本题考查了菱形的性质，全等三角形，三角形的中位线．解题的关键是掌握相关知识的灵
活运用．
考点6:菱形的判定
31．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路引领】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是
菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该
平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
【总结提升】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，熟记菱形的判定定理及平行四边形的性质定
理是解题的关键．
32． ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以
是▱（ ） ▱
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
【思路引领】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可解答．
【解答】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴当AC⊥BD时， ABCD是菱形．
故选：C． ▱
【总结提升】本题综合考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：
①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等
的平行四边形是菱形菱形．
33．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并
测得∠B＝60°，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝20 ，则图（1）中菱形
的对角线BD长为（ ）A．20 B．30 C． D．
【思路引领】根据正方形的性质得∠B＝90°，AB＝CB，由勾股定理得AB2+CB2＝2AB2＝AC2＝（20
）2，则AB＝20，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝20，再利用含30度角的直角三角形求出
OB，于是得到问题的答案．
【解答】解：在正方形ABCD中，∠B＝90°，
∴AB2+CB2＝AC2，
∵AB＝CB，AC＝20 ，
∴2AB2＝（20 ）2，
∴AB＝20，
在菱形ABCD中，AB＝CB＝20，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝20，
如图（1），连接BD交AC于点O，
∴AC⊥BD，∠ABO＝30°，
∴OA＝ AB＝10，
∴OB＝ OA＝10 ，
∴BD＝2OB＝20 ，
故选：C．
【总结提升】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得AB＝20是解题的关键．
34．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且
DE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠EDF＝60°，AB＝6，则四边形ABCD的面积为 1 8 ．
【思路引领】（1）由AB∥CD，AD∥BC，证明四边形ABCD是平行四边形，再证明△ADE≌△CDF，
得AD＝CD，即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）由四边形ABCD是菱形．得AD＝AB＝6，∠A+∠B＝180°，再结合DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点
F，∠EDF＝60°，得出∠B＝120°，∠A＝60°，∠ADE＝30°，得出 ，根据S四边形ABCD ＝AB•DE
即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB 于点E，DF⊥BC 于点F，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，∠A+∠B＝180°，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠EDF＝60°，
∴∠B＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，∴∠A＝60°，∠ADE＝30°
∴AE＝ AD＝3，DE＝ ＝3 ，
∴S四边形ABCD ＝AB•DE＝6×3 ＝18 ．
故答案为：18 ．
【总结提升】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质，
直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDF是解题的关键．
35．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角
线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 3 0 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
【思路引领】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF∥CE；
（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝ ∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝ ∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AF∥CE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
由（1）得：AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
【总结提升】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、等腰三角
形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
考点7：菱形的性质和判定综合
36．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，
连接DE交AB于点G，EF与AC交于点H．以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD
＝4AG；④FH＝ BD．其中，正确的结论有 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【思路引领】连接CF，证明点E，点F在AC的垂直平分线上，即可判断①正确；根据等腰三角形的
性质可得DF⊥AB，所以AD＞DF，进而可以判断②错误；根据等边三角形的性质，证明四边形ADFE
是平行四边形，进而可以判断③正确；根据含30度角的直角三角形即可判断④正确．
【解答】解：①如图，连接CF，
∵∠ACB＝90°，F为AB中点，
∴CF＝ AB＝AF，∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，故①正确；
②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，
∴AD＞DF，
∴四边形ADFE不可能是菱形，故②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，
∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，
∴EF∥AD，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，
∴EF＝2AF＝AB，
∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AG＝ AF＝ AB＝ AD，
∴AD＝4AG，故③正确；
④∵∠BAC＝30°，
∴FH＝ AF＝ AB＝ BD，
∴FH＝ BD，故④正确；
正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．【总结提升】本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边
上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是
解题的关键．
37．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C
作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若 ，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
【思路引领】（1）先证CD＝AD＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝ ∠DAB＝30°，由直
角三角形的性质和勾股定理可求AC，BD的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°， ，
∴ ，AB＝2BO，∴ ，
∴AB2＝AO2+BO2，
∴4BO2﹣BO2＝12，
∴BO＝2（负值舍去），
∴BD＝4，
∴菱形ABCD的面积＝ ．
【总结提升】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
38．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积．
【思路引领】（1）由AB＝2AE，AB＝2CD，推导出AE＝CD，因为AB∥CD，所以四边形AECD是平
行四边形，再证明∠DAC＝∠DCA，得DA＝DC，则四边形AECD为菱形；
（2）由AE＝CE＝DC＝4，得AE＝BE＝CE＝4，因为∠CEB＝60°，所以△BCE是等边三角形，则
∠BCE＝60°，BC＝BE＝4，再证明∠ACE＝30°，则∠ACB＝90°，而 AB＝2AE＝8，则 AC＝
＝4 ，所以S△ABC ＝ BC•AC＝8 ．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE，
∵AB＝2CD，
∴2AE＝2CD，
∴AE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，
∴四边形AECD为菱形．
（2）解：∵AE＝CE＝DC＝4，
∴AE＝BE＝CE＝4，
∵∠CEB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，BC＝BE＝4，
∵∠ACE＝∠CAE，
∴∠CEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∵AB＝2AE＝8，
∴AC＝ ＝ ＝4 ，
∴S△ABC ＝ BC•AC＝ ×4×4 ＝8 ，
∴△ABC的面积为8 ．
【总结提升】此题重点考查等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定
理等知识，证明∠DAC＝∠DCA及△BCE是等边三角形是解题的关键．
39．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P为AD边上任意一点（不包括端点），连结AC，过
点P作PQ∥AC边CD点Q，点R线段AC上的一点．
（1）若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；
（2）当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；
（3）当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法
并写出PR+QR+PQ的最小值．
【思路引领】（1）由菱形的性质可得△ABC，△ACD均为等边三角形，点R为AC的中点，连接PR，QR，利用三角形中位线定理即可求解．
（2）由题可知△ABC，△ACD，△PDQ为等边三角形，由菱形性质可知，AB与AD关于AC对称，在
AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R＝PR，AP＝AP′，连接P′Q，交AC于点O，过点
O垂直于AB的直线交AB于P ，交CD于Q ，可得△AOP′≌△COQ（AAS），可得 ，
0 0
则点O为AC中点，利用含30°的直角三角形可得OP ＝ ，OQ ＝ ，由三角形三边关系及垂线段
0 0
最短可知PR+QR＝P′R+QR≤P′Q≤P Q ＝2 ，当P，R，Q三点在同一直线上，且P′与P 重合
0 0 0
时取等号，即当点R为AC中点，点P关于AC对称的点P′与点R坐在直线垂直于AB时，PR+QR有
最小值 ．
（3）同（2），AB 与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R＝PR，
连接P′Q，交AC于点O，由（2）可得点O为AC中点，作AD关于CD对称的线段A′D，取点P的
对应点P″，连接QP″，则QP＝QP″，由对称可知：∠P″OD＝∠PQD＝60°，则PR+QR+PQ＝
PR+QR+QP″，当P，R，Q，P′在同一条直线上时取等号，此时点R为AC中点，可知△CRQ，
△ARP为等边三角形，进而即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD＝4，
则△ABC，△ACD 均为等边三角形，
∴AD＝AC＝CD＝4，
∵点R为菱形ABCD对角线的交点，
∴点R为AC的中点，
连接PR，QR，
∵PQ为△ACD的中位线，
∴PR，QR也为△ACD的中位线，
则 ， ，∴PR+QR＝4；
（2）由（1）可知△ABC，△ACD均为等边三角形，
则∠BAC＝∠ACD＝∠CAD＝60°，AB＝BC＝CD＝AD＝AC＝4，
∵PQ∥AC，
∴∠DPQ＝∠CAD＝60°，
∴△PDQ为等边三角形，
∴PD＝QD，
∴AP＝CQ，
由菱形性质可知，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R＝
PR，AP＝AP′，连接P′Q，交AC于点O，过点O作垂直于AB的直线交AB于P ，交CD于Q ，
0 0
∵AP＝CQ，
∴AP＝AP'＝CO，
又∵∠AOP′＝∠COQ，
∴△AOP'≌△COQ（AAS），
∴ ，
∴点O为AC中点，
∵∠BAC＝∠ACD＝60°，∠AP O＝∠CQ O＝90°，
0 0
∴∠AOP ＝∠COQ ＝30°，
0 0
∴ ，
由勾股定理得，OP ＝ ，OQ ＝ ，
0 0
∴P Q ＝ ，
0 0
∵P′R＝PR，
∴PR+QR＝P′R+RQ≤P′Q≤P Q ＝ ，
0 0当P，R，Q三点在同一直线上，且P′与P 重合时取等号，
0
即当点R与点O重合（点R为AC中点），P′与P 重合时取等号，
0
综上，当点R为AC中点，点P关于AC对称的点P′与点R坐在直线垂直于AB时，PR+QR有最小值
．
（3）同（2），AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P对应点P′，连接P′R，则P′R＝PR，连
接P′Q 交AC于点O，由（2）可得点O为AC中点，
作AD关于CD对称的线段A′D，取点P的对应点P″，连接QP″，则QP＝QP″，
∵△PDQ为等边三角形，
∴∠PQD＝60°，
由对称可知：∠P″OD＝∠POD＝60°，
则PR+QR+PQ＝P′R+QR+QP″≥PP″，当P′，R，Q，P″在同一条直线上时取等号，此时点R为
AC中点，
∵∠P″QD＝∠PQD＝60°＝∠ADC，则QP″∥AD，
∴P'P″过点O（点R），且P′P″∥AD，
可知△CRQ，△ARP为等边三角形，
∴CQ＝RC＝QR＝2，QD＝PD＝PQ＝2，AP＝AR＝PR＝2，
即P，R，Q分别为AD，AC，CD的中点，
∴此时PR+QR+PQ＝6，
作图，如下：作法：取AD的中点为P，作PQ∥AC交CD于Q；
综上，PR+QR+PQ的最小值为6．
【总结提升】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含30°的直角三角
形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等
是解决问题的关键．
