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期末教学质量监测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1.4的平方根是（ C ）
A.2 B.－2 C.±2 D.±4
2.若面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（ B ）
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
3.在平面直角坐标系中，若点P（x，x＋5）在第一象限，则x的取值范围是（ A
）
A.x＞0 B.x＜0
C.x＞－5 D.x＜－5
4.如图，已知AB∥CD，一副三角板按如图所示的方式放置，∠AEG＝45°，则
∠HFD为（ B ）
A.45° B.30° C.40° D.60°
5.下面说法中，正确的是（ D ）
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个不为零的数的立方根和这个数同号
{x=1，
6.若 是关于x，y的二元一次方程ax－3y＝1的解，则a的值为（ A ）
y=2
A.7 B.2 C.－1 D.－5
7.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了
100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少
匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ D ）
{x＋y=100， {x＋y=100，
A. B.
3x+3 y=100. x+3 y=100.
{
x＋y=100，
{x＋y=100，
C. D. 1
3x＋y=100. 3x＋ y=100.
38.某县教体局为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县500名学生参加的“经
典诗文诵读”大赛.为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩
进行统计分析.在这个问题中，有下列说法：
①这500名学生的“经典诗文诵读”大赛成绩的全体是总体；
②每个学生是个体；
③50名学生是总体的一个样本；
④样本容量是50名.
其中说法正确的有（ A ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
{(m+1)x－ny=8，①
9.在解关于x，y的方程组 时，可以用①×2＋②消去未知数x，
nx＋my=11②
也可以用①＋②×5消去未知数y，则m－n＝（ D ）
8 6 8
A.4 B.－ C.－ D.
3 7 7
10.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中
“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），…根
据这个规律，第2 025个点的坐标为（ B ）
A.（1，44） B.（45，0） C.（46，0） D.（1，45）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11.用“★”定义某种新运算：对于任意两个数a和b，规定a★b＝a2－b2，则❑√2★1
＝ 1 .
12.若√33x－5与√31－2x互为相反数，则1－❑√x的值为 － 1 .
13.在平面直角坐标系中，若y轴上一点A到x轴的距离为2，则点A的坐标为
（ 0 ， 2 ） 或 （ 0 ，－ 2 ） .
{2x+3>x+1，
14.若不等式组 有四个整数解，则k的取值范围是 1 ＜ k ≤ 2 .
x－k<1
15.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送
来米767石，验得其中夹有谷子.现从中抽取一把米，数得127粒中夹有谷子14粒，
则这批米内夹有谷子约 8 5 石.
16.春节前夕，某服装专卖店按标价打折销售.茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一
件打七折，第二件打五折，共计260元，付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元，则这两件衣服的原价分别是 10 0 元 ，
300 元 .
三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤.
√1
17.（6分）计算：－12－3 ＋｜❑√2－3｜.
8
1 3
解：原式＝－1－ ＋（3－❑√2）＝ －❑√2.
2 2
{4x－3 y＝－4，
18.（6分）解方程组： ①
2x+5 y=24.
解：②×2，得4x＋10y＝48. ③
③－①，得13y＝52，
y＝4.
把y＝4代入①，得4x－3×4＝－4，
x＝2.
{x＝2，
所以这个方程组的解是
y＝4.
{3x－5≥2（x－1),①
19.（6分）解不等式组 x－1 x+1 写出它的所有整数解，并将解集在数轴
＜ ，②
2 3
上表示出来.
解：解不等式①，得x≥3.
解不等式②，得x＜5.
所以不等式组的解集为3≤x＜5.
所以不等式组的所有整数解为3，4.
这个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示.
20.（8分）先化简，再求值： 2（－3x2y＋4xy2）－4
(1
x y2－
2
3 x2y+2 ) ，其中x＝－1，y＝❑√2.
2
解：原式＝（－6x2y＋8xy2）－（2xy2－6x2y＋8）＝6xy2－8.
当x＝－1，y＝❑√2时，
原式＝6×（－1）×（❑√2）2－8＝－12－8＝－20.
21.（10分）已知3a＋21的立方根是3，4a－b－1的算术平方根是2，c的平方根是
它本身.（1）求a，b，c的值；
解：根据题意，得3a＋21＝27，解得a＝2.
4a－b－1＝4，解得b＝3，c＝0.
即a的值为2，b的值为3，c的值为0.
（2）求3a＋10b＋c的平方根.
解：由（1），知a＝2，b＝3，c＝0.
∴3a＋10b＋c＝3×2＋10×3＋0＝36.
∵36的平方根为±6，
∴3a＋10b＋c的平方根为±6.
22.（10分）如图，DB⊥BC于点B，EF⊥BC于点F，∠1＝∠2，试说明AB∥DC.
请补充完整下面的说理过程.
解：AB∥DC.理由如下：
∵DB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠DBC＝∠EFB＝90°（ 垂直的定义 ）.
∴∠DBC＋∠EFB＝180°.
∴DB∥EF（ 同旁内角互补 ， 两直线平行 ）.
∴∠BDC＝∠2（ 两直线平行 ， 同位角相等 ）.
∵∠1＝∠2（已知），∴ ∠ BDC ＝∠ 1 （等量代换）.
∴AB∥DC（ 内错角相等 ， 两直线平行 ）.
四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤.
23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（－2，2），B（2，0），C（3，
3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得到三
角形DEF，点P的对应点为P'（a－2，b－4）.（1）写出D，E，F三点的坐标；
解：点D的坐标为（－4，－2），点E的坐标为（0，－4），点F的坐标为（1，
－1）.
（2）画出三角形DEF；
解：如图所示，三角形DEF即为所求.
（3）求三角形DEF的面积.
1 1 1
解：S ＝5×3－ ×5×1－ ×4×2－ ×1×3＝7.
三角形DEF 2 2 2
24.（10分）《全唐诗》是清代康熙年间编校的一本唐诗合集，收录二千二百余名
诗人的诗作.“春”“夏”“秋”“冬”哪个字最入诗呢？以前有人熟读全书，但
却不能归类分析.现在我们用大数据分析《全唐诗》，发现这四个字出现的次数由多到少依次为：春、秋、夏、冬.其中“夏”、“冬”两字出现的次数大约占6.5％
和3％.
（1）《全唐诗》中“夏”字约出现了 2 60 0 次，“秋”字约出现了 1 5 20 0
次，并补全条形统计图；
解：补全条形统计图如图所示.（2）扇形统计图中“秋”字所在的圆心角是 13 6 . 8 度；
（3）《全宋词》荟萃了宋代三百年间的词作，若其中“春”“夏”“秋”“冬”
四字共出现了20 000次，依据唐朝诗人对四季的爱好，请你估计《全宋词》中
“春”字出现了多少次.21 000
解：20 000× ＝10 500（次）.
40 000
答：估计《全宋词》中“春”字出现了10 500次.
25.（10分）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC＋∠BEF＝180°.
（1）求证：EF∥BH；
证明：∵∠HCO＝∠EBC，
∴EB∥HC.∴∠EBH＝∠BHC.
∵∠BHC＋∠BEF＝180°，
∴∠EBH＋∠BEF＝180°.∴EF∥BH.
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于点F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数.
解：∵∠HCO＝∠EBC，∴∠EBC＝64°.
∵BH平分∠EBO，
1 1
∴∠EBH＝∠HBC＝ ∠EBC＝ ×64°＝32°.
2 2
∴∠BHC＝∠EBH＝32°.
∵EF⊥AO于点F，∴∠EFA＝90°.
由（1），知EF∥BH.∴∠BHA＝∠EFA ＝90°.
∴∠FHC＝∠BHA＋∠BHC＝90°＋32°＝122°.
∴∠CHO＝180°－∠FHC＝180°－122°＝58°.
26.（10分）地球上的淡水资源是有限的，为节约用水，某公司准备购进A型和B
型两种设备共10台，用于将雨水和生产用水再次收集与重复循环使用.已知购进A
型设备3台，B型设备1台，共需97万元；购进A型设备2台，B型设备3台，共
需116万元.
（1）购买A型设备和B型设备每台各需多少万元？
解：设购买A型设备每台需x万元，购买B型设备每台需y万元.
{3x＋y＝97， {x＝25，
根据题意，得 解这个方程组，得
2x＋3 y＝116. y＝22.
答：购买A型设备每台需25万元，购买B型设备每台需22万元.
（2）已知A型和B型设备每台每天处理的循环水量分别为35吨和30吨，若该公
司购买A型和B型两种设备的总费用不超过240万元，为确保这10台设备每天处
理的循环水量不少于320吨，则该公司有几种购买方案？哪种购买方案费用最少？解：设购买A型设备m台，则购买B型设备（10－m）台.
{25m＋22（10－m）≤240， 20
根据题意，得 解得4≤m≤ .
35m＋30（10－m）≥320. 3
∵m为正整数，∴m可取4或5或6.
∴该公司有三种购买方案.
∵A型设备的单价比B型设备的单价贵，
∴购买A型设备4台，B型设备6台费用最少.
27.（12分）在平面直角坐标系中，线段DC由线段AB平移得到，点A（－2，0）
的对应点为点D（0，－4），点B（0，m）的对应点为点C，且❑√m－4＋❑√4－m＝0.
（1）求点C的坐标；
解：∵❑√m－4＋❑√4－m＝0，且m－4≥0，4－m≥0，
∴m＝4.∴B（0，4）.
∵A（－2，0），D（0，－4），线段DC由线段AB平移得到，∴点C的坐标为
（2，0）.
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形BCP的面积是三角形ABO的面积的3倍？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
解：存在.设P（m，0）.
1 1
根据题意，得 ×｜m－2｜×4＝3× ×2×4，
2 2
解得m＝8或m＝－4.
∴P（8，0）或（－4，0）.
1 1
（3）①如图，当∠EAC＝ ∠BAC，∠BDE＝ ∠BDC时，求∠AED的度数；
2 2解：如图，过点E作EH∥AB.
∵AB∥CD，AB∥EH，∴EH∥CD.
∴∠AEH＝∠BAE，∠DEH＝∠CDE，∠BAC＝∠OCD.
∴∠AED＝∠AEH＋∠DEH＝∠BAE＋∠CDE.
1 1
∵∠EAC＝ ∠BAC，∠BDE＝ ∠BDC，
2 2
1 1 1
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ∠OCD，∠CDE＝ ∠CDO.
2 2 2
1 1 1
∴∠AED＝ ∠OCD＋ ∠CDO＝ （∠OCD＋∠CDO）＝45°.
2 2 2
1 1
②当∠EAC＝ ∠BAC，∠BDE＝ ∠BDC时，直接写出∠AED的度数.
n n
（提示：三角形的内角和为180°）
n－1
解：∠AED＝ ×90°.
n
