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七年级下学期【2023 年新题速递 40 题专训】
一．解答题（共40小题）
1．（2023秋•太湖县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝
2∠BOD．
（1）求∠BOE的度数；
（2）求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据邻补角的和等于180°求出∠BOD的度数，然后根
据角平分线的定义解答；
（2）先求出∠COE的度数，再根据角平分线的定义求出∠EOF，然后根据角的和差关系即可得解．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝ ×180°＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝ ∠BOD＝ ×60°＝30°；
（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF＝ ∠COE＝ ×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝75°﹣30°＝45°．
2．（2023秋•南浔区期末）如图，已知直线 AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，射线OF在∠BOD内
部．
（1）若∠AOC＝56°，求∠DOE的度数；
（2）若∠EOD：∠FOD：∠FOB＝7：3：1，求∠COE的度数．
【分析】（1）根据对顶角得到性质得到∠BOD＝∠AOC＝56°，根据邻补角的性质得到∠AOD＝180°﹣∠BOD＝124°，根据角平分线的定义得到∠DOE＝∠AOE＝ AOD＝62°，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠BOF＝∠DOF＝ ∠BOD，∠AOE＝∠DOE＝ AOD，根据余角的
性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝56°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝124°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOE＝ AOD＝62°；
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵∠EOD：∠FOD：∠FOB＝7：3：1，
∴∠AOE：∠EOD：∠FOD：∠FOB＝7：7：3：1，
∴∠AOE＝ ×180°＝70°，∠BOD＝ ×180°＝40°，
∵∠AOC＝∠BOD＝40°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝40°+70°＝110°．
3．（2023秋•宁国市期末）直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据已知条件得到∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝90°﹣68°＝22°，角平分线得到，再根据∠EOF＝∠BOF+∠BOE，即可得解；
（2）角平分线和平角得到 ，再根据角平分线，得到
＝ ，再利用∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE，进行计
算即可．
【解答】解：（1）∵∠DOF＝90°，∠BOD＝68°，
∴∠BOF＝∠DOF﹣∠BOD＝90°﹣68°＝22°，
∵OE平分∠BOD，
∴ ，
∴∠EOF＝∠BOF+∠BOE＝22°+34°＝56°；
（2）∵OE平分∠BOD，
∴ ，
∴ ，
∵OF平分∠COE，
∴
＝
＝ ，
∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE，
∴ ，
∴∠BOD＝80°．
4．（2023秋•海安市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC＝70°﹣
∠AOE．
（1）如图1，当∠AOE＝40°时，请写出与∠BOD互余的角，并说明理由；
（2）如图2，若OF平分∠BOE，求∠DOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系可求出∠BOD＝50°，再根据互为余角的定
义即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义、互为补角的定义以及图形中角的和差关系可得到∠AOE+2∠DOF+140°﹣
∠AOE＝180°，进而求出∠DOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°﹣ ∠AOE，∠AOE＝40°，
∴∠AOC＝70°﹣ ×40°＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∴∠BOD+∠AOE＝50°+40°＝90°，
即∠AOE与∠BOD互为余角；
（2）∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF＝∠EOF＝ ∠BOE，
∵∠AOE+2∠BOF＝180°，
∴∠AOE+2∠DOF+2∠BOD＝180°，
∵∠AOC＝70°﹣ ∠AOE＝∠BOD，
∴∠AOE+2∠DOF+140°﹣∠AOE＝180°，
即∠DOF＝20°．
5．（2023秋•南充期末）（1）如图1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
①直接写出图中∠AOF的余角；
②如果∠EOF＝ ∠AOD，求∠EOF的度数．
（2）如图2，已知O为线段AB中点，AC＝ AB，BD＝ AB，线段OC长为1，求线段AB，CD的长．【分析】（1）①由垂直的定义可知∠AOF+∠COA＝90°，∠AOF+∠FOE＝90°，从而可知∠COA与
∠FOE是∠AOF的余角，由对顶角的性质从而的得到∠BOD是∠AOF的余角；
②依据同角的余角相等可知∠FOE＝∠DOB，∠EOF＝ ∠AOD，从而得到∠EOF＝ 平角．
（2）先根据中点的定义和已知得到OC所占的分率，从而得到线段AB的长，再根据已知得到CD所占
的分率，从而得到线段CD的长．
【解答】解：（1）①∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠AOF+∠COA＝90°，∠AOF+∠FOE＝90°．
∴∠COA与∠FOE是∠AOF的余角．
∵由对顶角相等可知：∠AOC＝∠BOD，
∴∠BOD+∠AOF＝90°．
∴∠BOD与∠APF互为余角．
∴∠AOF的余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD；
②∵∠AOC＝∠EOF，∠AOC+∠AOD＝180°，∠EOF＝ ∠AOD，
∴6∠AOC＝180°．
∴∠EOF＝∠AOC＝30°．
（2）∵O为线段AB中点，
∴AO＝ AB，
∵AC＝ AB，
∴OC＝ AB，
∵线段OC长为1，
∴AB＝6，∵AC＝ AB，BD＝ AB，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝ AB＝ ×6＝ ．
6．（2023秋•诸暨市期末）如图，已知直线 AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，
∠BOD＝22°，求∠AOE和∠COF的度数．
【分析】利用图中角与角的关系即可求得．
【解答】解：∵∠DOE是直角，
∴∠COE＝180°﹣90°＝90°，
又∠AOC＝∠BOD＝22°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝112°，
又OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝ ∠AOE＝56°，
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝56°﹣22°＝34°．
7．（2023秋•惠民县期末）直线AB，CD相交于点O．
（1）OE，OF分别是∠AOC，∠BOD的平分线．画出这个图形．
（2）射线OE，OF在同一条直线吗？为什么？
（3）若OG平分∠AOD，请直接写出（不必推理）图形中两对互余的角和两对互补的角．
【分析】（1）按照题目要求画图即可；
（2）根据周角的度数、角平分线的定义及对顶角的性质作答即可；
（3）根据余角及补角的定义解答即可．
【解答】解：（1）作图如图所示：（2）射线OE，OF在同一条直线．理由如下：
∵∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠AOD＝360°，∠BOC＝∠AOD（对顶角相等），
∴∠AOC+2∠BOC+∠BOD+＝360°，
∴ ∠AOC+∠BOC+ ∠BOD＝180°，
∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠COE＝ ∠AOC，∠BOF＝ ∠BOD，
∴∠COE+∠BOC+∠BOF＝180°，
∴射线OE，OF在同一条直线．
（3）作∠AOD的平分线OG见（1）．
图中∠AOE与∠AOG互余，∠DOG与∠DOF互余；∠AOG与∠BOG互补，∠BOF与∠AOF互补（答
案不唯一）．
8．（2023秋•广平县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝70°，求∠DOE和∠EOF的度数；
（2）请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角．
【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据角平分线的定义求解即可得到∠DOE，根据对顶
角相等可得∠BOD＝∠AOC，再根据角平分线的定义可得到∠DOF，然后根据∠EOF＝∠DOE+∠DOF
计算即可得解；
（2）根据互余的角和互补的角的定义解答即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，
∵OE平分∠AOD，
∴ ，
∵OF平分∠BOD，
∴ ，
∴∠EOF＝∠DOE+∠DOF＝55°+35°＝90°；
（2）与∠AOD互补的角有∠AOC和∠BOD；
与∠AOE互余的角有∠BOF和∠DOF．
9．（2023秋•沈丘县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°．
（1）若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数；
（2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余
角的概念计算即可；
（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝70°，
∴∠BOC＝2∠BOE＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣140°＝40°，又∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣40°＝50°；
（2）∵∠BOD：∠BOE＝1：2，OE平分∠BOC，
∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，
∴∠BOD＝36°，
∴∠AOC＝36°，又∵∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣36°＝54°．
10．（2024•南召县开学）已知O为直线MN上一点，OA⊥MN，∠COE＝90°．
（1）如图1，下面是判断∠AOE与∠CON的数量关系的部分说理过程，请完成填空：
因为∠AOE+∠EON＝ 9 0 °，∠CON+∠EON＝ 9 0 °；（第一步）所以∠AOE＝ ∠ CON ；（第
二步）在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是： 同角的余角相等 ．
（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置．
①直接写出图2中所有相等的角（直角除外） ∠ AOE ＝∠ CON ，∠ MOE ＝∠ AOC ．
②作∠COM的平分线OF，若∠AOF＝ ，则∠CON＝ 2 （用含 的代数式表示）
【分析】（1）根据OA⊥MN，∠COE＝α90°得∠AOE+∠EOαN＝90°，∠α CON+∠EON＝90°；再根据同角
的余角相等得∠AOE＝∠CON；
（2）①先根据OA⊥MN，∠COE＝90°得∠AOE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠CON＝90°，进而得∠AOE＝
∠CON，再根据 OA⊥MN，∠COE＝90°，得∠AOE+∠AOC＝90°，∠MOE+∠AOE＝90°，进而得
∠MOE＝∠AOC．由此可得出答案；
②先根据 OF 平分∠COM 得∠MOF＝∠COF，即∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，再由①可知
∠MOE＝∠AOC，由此得∠EOF＝∠AOF＝ ，则∠AOE＝2 ，在由①可可得∠CON＝∠AOF＝2 ，由
此可得出答案． α α α
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠EON＝90°，∠CON+∠EON＝90°；
∴∠AOE＝∠CON（同角的余角相等）．
故答案为：90°；90°；∠CON；同角的余角相等．
（2）①∠AOE＝∠CON，∠MOE＝∠AOC，理由如下：
∵OA⊥MN，∠COE＝90°，
∴∠AOE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠CON＝90°，
∴∠AOE＝∠CON，
∵OA⊥MN，∠COE＝90°，
∴∠AOE+∠AOC＝90°，∠MOE+∠AOE＝90°，∴∠MOE＝∠AOC．
故答案为：∠AOE＝∠CON，∠MOE＝∠AOC，
②∵OF平分∠COM，
∴∠MOF＝∠COF，
即∠MOE+∠EOF＝∠AOC+∠AOF，
由①可知：∠MOE＝∠AOC，
∴∠EOF＝∠AOF＝ ，
∴∠AOE＝∠EOF+∠αAOF＝2 ，
由①可知：∠CON＝∠AOF＝α2 ．
故答案为：2 ． α
11．（2023秋•内α 乡县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据
∠CON与∠NOD互补，即可解答；
（2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而
求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数．
【解答】解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°，
∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°．
∴∠NOD的度数为90°；
（2）∵OM⊥AB，∴∠BOM＝90°，
∵∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1，
解得∠1＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∠MOD＝180°﹣∠1＝150°．
∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°．
12．（2023秋•宿豫区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE．
（1）如果∠AOC＝66°，求∠AOD、∠BOE的度数；
（2）如果∠AOC＝n°（n＜180°），则∠FOD＝ （ 9 0 ﹣ n ） ° （用含n的代数式表示）；
（3）图中与∠DOE互余的角有： ∠ FOD ，∠ AOF ．
【分析】（1）先由对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝66°，根据角平分线的定义得∠BOE＝∠DOE＝
33°，再由OF⊥OE得∠FOD＝∠EOF﹣∠DOE＝57°，然后由∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∠EOF＝
90°得∠AOF＝180°﹣∠BOE＝57°，最后根据∠AOD＝∠AOF+∠FOD可得∠AOD的度数；
（2）先由对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝n°，根据角平分线的定义得∠DOE＝ ∠BOD＝ n°，进而
根据OF⊥OE可得∠FOD的度数；
（3）先由OF⊥OE得∠FOD+∠DOE＝90°，故得∠FOD与∠DOE互余；再根据∠AOF+∠EOF+∠BOE
＝180°，∠EOF＝90°得∠AOF+∠BOE＝90°，再由角平分线的定义得∠BOE＝∠DOE，则
∠AOF+∠DOE＝90°，故得∠AOF与∠DOE互余，据此可得图中与∠DOE互余的角．
【解答】解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝66°，
∴∠BOD＝∠AOC＝66°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝ ∠BOD＝33°，
∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，
∴∠FOD＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣33°＝57°，
∵∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∠EOF＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOE＝90°﹣33°＝57°，
∴∠AOD＝∠AOF+∠FOD＝57°+57°＝114°；
（2）∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝n°，
∴∠BOD＝∠AOC＝n°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝ ∠BOD＝（ n）°，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠FOD＝∠EOF﹣∠DOE＝（90﹣ n）°，
故答案为：（90﹣ n）°．
（3）∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠FOD+∠DOE＝90°，
∴∠FOD与∠DOE互余；
∵∠AOF+∠EOF+∠BOE＝180°，∠EOF＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠DOE＝90°，
∴∠AOF与∠DOE互余，
∴图中与∠DOE互余的角有：∠FOD，∠AOF．
13．（2024•渝中区校级开学）如图，点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线EF两侧，且
∠AOB＝120°，∠COD＝70°．
（1）如图1，若OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，过点O作射线OG⊥OB，求∠EOG的度数；
（2）如图2，若在∠BOC内部作一条射线OH，若∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，试判断∠AOE与∠DOE的数量关系．
【分析】（1）根据角平分线定义和周角是360°可得∠AOC的度数；分两种情况：当OG在EF下方时；
当OG在EF上方时，计算即可；
（2）由∠COH：∠BOH＝2：3，∠DOE＝5∠FOH，设∠DOE＝5 ，则∠FOH＝ ，再结合角平分线的
性质可用 表达出∠COH∠BOC的度数，求出∠AOE与∠DOE的度α数． α
【解答】解α：（1）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠COD＝2×70°＝140°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOD＝360°﹣120°﹣140°＝100°．
当OG在EF下方时，
∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴ ，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOG＝120°﹣90°＝30°，
∴∠EOG＝∠AOG+∠AOE＝80°．
当OG在EF上方时，∵OE平分∠AOD，∠AOD＝100°，
∴ ，
∵OG⊥OB，
∴∠BOG＝90°，
∵∠AOE+∠AOB+∠BOG+∠EOG＝360°，∠AOB＝120°，
∴∠EOG＝360°﹣50°﹣120°﹣90°＝100°；
综上，∠EOG为80°或100°；
（2）设∠DOE＝5 ，则∠FOH＝ ，
α α
∴∠COH＝180°﹣∠DOE﹣∠COD﹣∠FOH＝110°﹣6 ，
∴∠BOC＝275°﹣15 ， α
∴∠AOD＝360°﹣∠αCOD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣70°﹣（275°﹣15 ）﹣120°＝15 ﹣105°，
∴∠AOE＝10 ﹣105°， α α
∴∠AOE＝2∠αDOE﹣105°．
14．（2023秋•沭阳县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝68°，求∠EOF的度数；
（2）若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数．【分析】（1）根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD＝68°，再利用角平分线的定义可得∠DOE＝
34°，然后根据垂直定义可得∠COF＝∠DOE＝90°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）设∠BOF＝x°，则∠BOE＝（x+24）°，然后利用角平分线的定义可得∠BOE＝∠DOE＝
（x+24）°，从而列出关于x的方程进行计算，可得∠DOE＝38°，最后利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝68°，
∴∠AOC＝∠BOD＝68°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝ ∠BOD＝34°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOE＝90°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠DOE＝56°，
∴∠EOF的度数为56°；
（2）设∠BOF＝x°，
∵∠BOE比∠BOF大24°，
∴∠BOE＝（x+24）°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝（x+24）°，
∵∠DOF＝90°，
∴∠DOE+∠BOE+∠BOF＝90°，
∴（x+24）+（x+24）+x＝90，
解得：x＝14，
∴∠DOE＝（x+24）°＝38°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝142°，
∴∠COE的度数为142°．
15．（2023秋•郸城县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出∠EOF的所有余角 ∠ DOE ，∠ BOE ；（2）若∠EOF＝56°，求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠FOD＝90°，从而得∠EOF+∠EOD＝90°，再根据角平分线的定义可
得∠BOE＝∠EOD，即可解答；
（2）根据题意可得∠BOE＝34°，根据角平分线的定义可得∠BOD＝68°，最后利用对顶角相等即可解
答．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠FOD＝90°，
∴∠EOF+∠EOD＝90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠EOD＝ ∠BOD，
∴∠EOF+∠BOE＝90°，
∴∠EOF的所有余角为：∠DOE，∠BOE，
故答案为：∠DOE，∠BOE；
（2）∵∠FOD＝90°，∠EOF＝56°，
∴∠BOE＝∠FOD﹣∠EOF＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BOD＝2∠BOE＝68°，
∴∠AOC＝∠BOD＝68°，
∴∠AOC的度数为68°．
16．（2023秋•大丰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，
求：
（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系： ∠ AOC ＝∠ BOD ，判断的依据是 对顶角相等 ；
（2）若∠AOF＝25°，求∠COE的度数．【分析】（1）根据对顶角相等，即可解答；
（2）先利用角平分线的定义可得∠AOC＝50°，再根据垂直定义可得∠AOE＝90°，然后利用角的和差
关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）∠AOC与∠BOD的大小关系：∠AOC＝∠BOD，判断的依据是对顶角相等，
故答案为：∠AOC＝∠BOD，对顶角相等；
（2）∵射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝50°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝40°，
∴∠COE的度数为40°．
17．（2023秋•宝应县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OE平分∠AOC．
（1）读句画图：画OE的反向延长线OF，过点O在∠COB内部作射线OG⊥直线AB；
（2）OF是∠BOD的角平分线吗？为什么？
（3）若∠AOC﹣∠COG＝10°，求∠COG的度数．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）先根据对顶角的性质得∠AOE＝∠BOF，∠COE＝∠DOF，再根据角平分线的定义得∠AOE＝
∠COE，进而得∠BOF＝∠DOF，然后根据角平分线的定义可得出结论；
（3）设∠COG＝ ，先由∠AOC﹣∠COG＝10°得∠AOC＝10°+ ，再根据OG⊥直线AB得∠AOG＝
90°，进而得10°+ α+ ＝90°，由此解出 即可得∠COG的度数． α
【解答】解：（1）α 根α据题意画出图形如α下图所示：
（2）OF是∠BOD的角平分线，理由如下：
依题意得点E，O，F在同一条直线上，∵直线AB和直线CD相交于点O，
∴∠AOE＝∠BOF，∠COE＝∠DOF，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∴∠BOF＝∠DOF，
∴OF是∠BOD的角平分线；
（3）设∠COG＝ ，
∵∠AOC﹣∠COGα＝10°，
∴∠AOC＝10°+∠COG＝10°+ ，
∵OG⊥直线AB， α
∴∠AOG＝90°，
∴∠AOC+∠COG＝90°，
即10°+ + ＝90°，
解得：α＝α40°，
即∠COαG＝40°．
18．（2023春•武平县期末）如图，点 C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝
∠FCD．
（1）当∠AFC＝116°时，求∠DCE；
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，
，3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP．
【分析】（1）由CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD，得∠FDC＝∠DCE，所以AD∥BE，即可求得
∠DCE；
（2）由CA为∠BCF的角平分线，∠DCF＝∠DCE，得∠ACF+∠DCF＝90°，所以AC⊥CD，设∠NCD
＝x，∠FCN＝y，因为 ，所以3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，所以∠CFP＝∠ACF，根据垂线段最短，所以直线CD上不存在一点Q，使得FQ＜FP．
【解答】解：（1）∵CD平分∠FCE，
∴∠DCF＝∠DCE，
∵∠FDC＝∠FCD，
∴∠FDC＝∠DCE，
∴AD∥BE，
∴∠AFC＝∠FCE＝∠FCD+∠DCE，
∵∠AFC＝116°，
∴∠DCE＝58°；
（2）∵CA为∠BCF的角平分线，
∴∠BCA＝∠ACF，
∴∠BCA+∠ACF+∠DCF+∠DCE＝180°，
∵∠DCF＝∠DCE，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∴AC⊥CD，
设∠NCD＝x，∠FCN＝y，
∵ ，
∴∠ACF＝∠BCA＝3x，
∴3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，
∴18x+3y﹣2∠CFP＝270°①，
∴4x+y＝90°②，
由①②消去y得∠CFP＝3x，
∴∠CFP＝∠ACF，
∴FP∥AC，
∴FP⊥CD，
∵垂线段最短，
∴直线CD上不存在一点Q，使得FQ＜FP．
19．（2023春•蒲城县期中）如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若
∠COM＝120°，∠EMB＝ ∠COF．
（1）求∠FOG的度数；（2）写出一个与∠FOG互为同位角的角；
（3）求∠AMO的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得∠DOF的度数，再根据角平分线的定义可求∠FOG的度数；
（2）根据同位角的定义可求与∠FOG互为同位角的角；
（3）根据邻补角的性质可求∠COF，再根据已知条件和对顶角相等可求∠AMO的度数．
【解答】解：（1）∵∠COM＝120°，
∴∠DOF＝120°，
∵OG平分∠DOF，
∴∠FOG＝60°；
（2）与∠FOG互为同位角的角是∠BMF；
（3）∵∠COM＝120°，
∴∠COF＝60°，
∵∠EMB＝ ∠COF，
∴∠EMB＝30°，
∴∠AMO＝30°．
20．（2024•南岗区校级开学）已知，如图AB∥CD，AF平分∠EAB，DF平分∠EDC．
（1）如图1，探究∠F与∠E的数量关系并证明．
（2）如图2，在（1）的条件下，过A作AH∥ED交DC于点H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDE＝
2：7，求∠BAH的度数．【分析】（1）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，利用角平分线的定义和两直线平行，内错角相等
得出∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD，再利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互
补即可得出∠BAE+∠AED+∠EDC＝360°，然后得出结论；
（2）设∠DAG＝2 ，∠FDE＝∠FDG＝7 ，求得∠EDH＝2∠FDG＝14 ，推出∠BAH＝4 ，利用平行
线的性质列方程即可α 求解． α α α
【解答】（1）2∠AFD+∠AED＝360°，
证明：如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵FN∥AB，
∴∠NFA＝∠BAF，
∵AF平分∠EAB，
∴∠EAB＝2∠BAF，
∴∠EAB＝2∠NAF，
∵FN∥AB，AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠NFD＝∠FDC，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠FDC，
∴∠EDC＝2∠NFD，
∴∠BAE+∠EDC＝2（∠NFA+∠NFD）＝2∠AFD，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∵EM∥AB，
∴∠BAE+∠AEM＝180°，
∵EM∥CD，
∴∠DEM+∠EDC＝180°，∴（∠BAE+∠AEM）+（∠DEM+∠EDC）＝360°，
即∠BAE+∠AED+∠EDC＝360°，
∴∠AED＝360°﹣（∠EAB+∠EDC）＝360°﹣2∠AFD，
2∠AFD+∠AED＝360°；
（2）解：∵∠DAG：∠FDE＝2：7，
∴设∠DAG＝2 ，∠FDE＝∠FDG＝7 ，
∴∠EDH＝2∠αFDG＝14 ， α
α
∵∠GAD＝∠GAE﹣∠DAE＝ ∠BAE﹣ ∠EAH＝ ∠BAH，
∴∠BAH＝4 ，
∵AB∥CD，α
∴∠AHD＝∠BAH＝4 ，
∵AH∥ED， α
∴∠AHD+∠EDH＝180°，
∴4 +14 ＝180°，
解得α： ＝α 10°，
∴∠BAαH＝4 ＝40°．
21．（2024•南岗α区校级开学）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1）．
（1）C点的坐标为 （ 3 ， 4 ） ；
（2）将三角形ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的像是三角形A B C ，画出三角形
1 1 1
A B C ；
1 1 1
（3）三角形A B C 的面积为 3 ．
1 1 1
【分析】（1）根据坐标系写出点C的坐标即可；
（2）根据平移的性质，将三角形 ABC先向下平移 4个单位，再向左平移与 3单位，得到三角形A B C ；
1 1 1
（3）根据长方形减去三个三角形的面积即可求解．
【解答】解：（1）C点的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）；
（2）如图所示：
（3）△A B C 的面积＝2×3﹣ ×2×2﹣ ×2×1＝3．
1 1 1
22．（2023秋•镇江期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′
的坐标是（﹣2，2）．现将△ABC平移，使点A与点A′重合，点B、C的对应点分别是点B′、C′．
（1）请画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′的坐标 B ′（﹣ 4 ， 1 ） ；
（2）点P是△ABC内的一点，当△ABC平移到△A′B′C′后，若点P的对应点P′的坐标为（a，
b），则点P的坐标为 （ a + 5 ， b + 2 ） ．
【分析】（1）先根据题意求出平移方向，从而求出B′，C′的坐标，画出图形即可；（2）根据（1）中的平移方向，即可求解．
【解答】解：（1）∵点A′的坐标是（﹣2，2），点A的坐标是（3，4），
∴平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵点B的坐标是（1，3），点C的坐标是（4，1），
∴点B′的坐标是（﹣4，1），点C′的坐标是（﹣1，﹣1），
∴平移后的△A′B′C′如图所示：
（2）由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵点P的对应点P′的坐标为（a，b），
∴点P的坐标为（a+5，b+2）；
23．（2023秋•阳城县期末）已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OB∥AC；
（2）如图②，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OFB：∠OCB的值是否随之发生变化？若变
化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明．
（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝ （∠BOF+∠FOA）＝∠BOA，算出结果．
（3）先得出结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由为：由BC与AO平行，得到一对内错角相等，
由∠FOC＝∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证；
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，
∴∠BOA＝80°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOF+∠FOC＝ （∠BOF+∠FOA）＝ ∠BOA＝40°；
（3）结论：∠OFB：∠OCB的值不发生变化．理由为：
∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OFB：∠OCB＝2：1．
24．（2023秋•田阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC的顶点都在网格点上，其中点C的
坐标为（1，2）．
（1）点A的坐标是 （ 2 ，﹣ 1 ） 点B的坐标是 （ 4 ， 3 ） ．
（2）画出将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的三角形A'B'C'．
请写出三角形A'B'C'的三个顶点坐标；
（3）求三角形ABC的面积．【分析】（1）根据点的坐标的表示方法写出A、B点的坐标；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）；
故答案为（2，﹣1）；（4，3）；
（2）如图，三角形A'B'C'为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
（3）三角形ABC的面积＝3×4﹣ ×3×1﹣ ×3×1﹣ ×2×4＝5．
25．（2023春•东海县期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为 1个单位，每个小正方形的顶点
叫格点．
（1）将△ABC向左平移5格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）利用网格在图中画出△ABC的中线CD，高线AE；
（3）△A'B'C′的面积为 1 4 ；
（4）在图中能使 S△ABC ＝S△PBC 的格点P的个数有 1 9 个（点P异于A）．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）根据三角形的中线，高的定义画出图形即可；
（3）利用三角形的面积公式求解；
（4）利用等高模型，满足条件的点P在直线m，n上（除点A外）．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，相似CD，AE即为所求；
（3）△A′B′C′的面积＝ ×7×4＝14．
故答案为：14；
（4）满足条件的点P的个数为19个，
故答案为：19．
26．（2023秋•肥城市期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
27．（2023秋•漳州期末）小李同学探索 的近似值的过程如下：
∵面积为137的正方形的边长是 且11＜ ＜12，
∴设 ＝11+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形 ＝112+2×11•x+x2，
又∵S正方形 ＝137，
∴112+2×11•x+x2＝137．
当x2＜1时，可忽略x2，得22x+121≈137，得到x≈0.73，
即 ≈11.73．
（1）写出 的整数部分的值；
（2）仿照上述方法，探究 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【分析】（1）判断出 ＜ ＜ ，即可解答；（2）仿造示例画出图形，即可解答．
【解答】解：（1）∵ ＜ ＜ ，
∴15＜ ＜16，
∴ 的整数部分是15；
（2）示意图如图所示，
∵面积为249的正方形的边长是 ，
且 ，
∴设 ，其中0＜x＜1，
根据示意图，可得图中正方形的面积 ，
又∵S正方形 ＝249，
∴152+2×15⋅x+x2＝249，
当 x2＜1 时，可忽略 x2，得 30x+225≈249，得到 x≈0.8，
即 ．
28．（2023秋•广陵区期末）（1）计算： ；
（2）解方程：2（x﹣1）3+128＝0．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣3＝5﹣3
＝2；
（2）原方程整理得：（x﹣1）3＝﹣64，
则x﹣1＝﹣4，
解得：x＝﹣3．
29．（2023秋•仪征市期末）（1）计算： ；
（2）解方程：（2x﹣1）2﹣49＝0．
【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；
（2）先移项，再通过开平方进行求解．
【解答】解：（1）
＝5+2+
＝ ；
（2）移项，得（2x﹣1）2﹣49，
开平方，得2x﹣1＝±7，
解得x＝4或x＝﹣3．
30．（2023秋•新乡期末）已知a，b，c均为实数，且6a+34的立方根是4，正数b的平方根分别是3x﹣7
与x﹣9，c是 的整数部分．
（1）求正数b的值；
（2）求2a+b+c的值．
【分析】（1）利用正数的平方根互为相反数先求出x，再求出b；
（2）利用立方根、二次根式的性质先确定a、c，再代入求值．
【解答】解：（1）∵正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9，
∴3x﹣7+x﹣9＝0．
∴4x﹣16＝0．
∴x＝4．
∴b＝（3x﹣7）2＝25．
（2）∵6a+34的立方根是4，c是 的整数部分，∴6a+34＝43，c＝ ＞ ．
∴a＝5，c＝6．
∴2a+b+c＝2×5+25+6
＝10+25+6
＝41．
31．（2023秋•东营期末）（1）计算： |﹣3| ；
（2）解方程：（x﹣1）3＝﹣27．
【分析】（1）先计算乘方、算术平方根、绝对值和立方根，再计算加减；
（2）运用开立方知识进行求解．
【解答】解：（1） |﹣3|
＝1+4﹣3﹣2
＝0；
（2）开立方，得x﹣1＝﹣3，
移项，得x＝1﹣3，
合并同类项，得x＝﹣2．
32．（2023秋•兴平市期末）已知3a+2的立方根是﹣1，2a+b﹣1的算术平方根是3，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求 的平方根．
【分析】（1）运用平方根和立方根知识进行估算、求解；
（2）将a，b，c的值代入后，运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
∵3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3，即c＝3，
∴a＝﹣1，b＝12，c＝3；
（2）由（1）所得a＝﹣1，b＝12，c＝3，
∴ ＝ ＝ ＝5，
∵5的平方根是± ，
∴ 的平方根是± ．
33．（2023秋•和平县期末）阅读下面的材料：
如图①，若线段AB在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B
的距离）可表示为AB＝b﹣a
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向
右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段AC的长度；
（2）若数轴上有一点D，且AD＝4cm，则点D表示的数是什么？
（3）若将点A向右移动xcm，请用代数式表示移动后的点表示的数？
（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动至点P ，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移
1
动至点P ，点P ，设移动时间为t秒，试探索：P P ﹣P P 的值是否会随着t的变化而变化？请说明理
2 3 3 2 1 2
由．
【分析】（1）根据题意容易画出图形；由题意容易得出CA的长度；
（2）设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
（4）用代数式表示出P P 和P P ，再相减即可得出结论．
3 2 1 2
【解答】解：（1）如图所示：
CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）；（2）设D表示的数为a，
∵AD＝4，
∴|﹣1﹣a|＝4，
解得：a＝﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
（4）P P ﹣P P 的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
3 2 1 2
根据题意得：P P ＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，
3 2
P P ＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t，
1 2
∴P P ﹣P P ＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3，
3 2 1 2
∴P P ﹣P P 的值不会随着t的变化而变化．
3 2 1 2
34．（2023秋•都昌县期末）已知6a+34的立方根是4，5a+b﹣2的算术平方根是5，c是9的算术平方根．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）∵43＝64，
∴6a+34＝64，
∴a＝5；
∵52＝25，
∴5a+b﹣2＝25，
又∵a＝5，
∴b＝2；
∵32＝9，
∴c＝3；
（2）把：a＝5，b＝2，c＝3代入3a﹣b+c得：
3×5﹣2+3＝16，
∵（±4）2＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是：±4．
35．（2023秋•射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①﹣|﹣2.5|，②0，③﹣（﹣52），④+（﹣ ）2，⑤1.2121121112…，⑥﹣ ，⑦﹣
π正数集合：{ ③④ …}
整数集合：{ ②③ …}
负分数集合：{ ①⑥ …}
无理数集合：{ ⑤⑦ …}
【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号，再根据正数、整数、负
分数、无理数的定义求解即可．
【解答】解：﹣|﹣2.5|＝﹣2.5，﹣（﹣52）＝25，+（﹣ ）2＝ ．
正数集合：{③④⑤…}
整数集合：{②③…}
负分数集合：{①⑥…}
无理数集合：{⑤⑦…}．
故答案为：①④⑤；②③；①⑥；⑤⑦．
36．（2024•南岗区校级开学）在平面直角坐标系中，对于点 A（x，y），若点 B的坐标为（x+ay，
ax+y），其中a为常数，则称点B是点A的“a倍相关点”．例如，点A（1，2）的“3倍相关点”B的
横坐标为：1+3×2＝7，纵坐标为：3×1+2＝5，所以点A的“3倍相关点”B的坐标为（7，5）．
（1）已知点M（﹣4，6）的“ 倍相关点”是点N（s，t），求2s+t的值；
（2）已知点P（1，2m）的“﹣2倍相关点”是点Q，且点Q在y轴上，求点Q到x轴的距离．
【分析】（1）根据题意可求出s、t的值，然后代入即可得出答案；
（2）根据题意可求出m的值，然后求出点P的纵坐标，再求出点Q的坐标即可得出答案．
【解答】解：（1）∵s＝﹣4+ ×6＝﹣1，t＝ ×（﹣4）+6＝4，
∴2s+t＝2×（﹣1）+4＝2．
（2）∵点Q在y轴上，
∴点Q的横坐标为0，
∵点Q是点P的“﹣2倍相关点”，
∴1+（﹣2）×2m＝0，
解得：m＝ ，
∴点P的纵坐标为2× ＝ ，∴点Q的纵坐标为1×（﹣2）+ ＝﹣ ，
∴点Q到x轴的距离为|﹣ |＝ ．
37．（2023秋•青原区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A（a，b），B（c，d），若点T
（x，y）满足x＝ ，y＝ ，那么称点T是点A和B的衍生点．
例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点．
已知点D（3，0），点E（m，m+2），点T（x，y）是点D和E的衍生点．
（1）若点E（4，6），则点T的坐标为 （ ， 2 ） ；
（2）请直接写出点T的坐标（用m表示）；
（3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标．
【分析】（1）根据“衍生点”的定义求出T点的横、纵坐标．
（2）根据“衍生点”的定义分别用含m的代数式表示出T点的横、纵坐标．
（3）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标．
【解答】解：（1） ＝ ，
＝2，
所以T的坐标为（ ，2）．
故答案为（ ，2）．
（2）T的横坐标为： ，
T的纵坐标为： ．
所以T的坐标为：（ ， ）．
（3）因为∠DHT＝90°，
所以点E与点T的横坐标相同．
所以 ＝m，
m＝ ．
m+2＝ ．
E点坐标为（ ， ）．
38．（2023秋•高青县期末）已知点A（2+a，﹣3a﹣4），解答下列各题：
（1）若点A在y轴上，求出点A的坐标；
（2）若点B的坐标为（8，5），且AB∥x轴，求出点A的坐标．
【分析】（1）由y轴上的点的横坐标为0，可得2+a＝0，从而可解得a的值，再将a的值代入﹣3a﹣4
计算，则可得答案；
（2）由平行于x轴的点的纵坐标相同，可得﹣3a﹣4＝5，解得a的值，再将a的值代入2+a计算，则可
得答案．
【解答】解：（1）∵点A在y轴上，
∴2+a＝0，
∴a＝﹣2，
∴﹣3a﹣4＝2，
∴点A的坐标为（0，2）；
（2）∵点B的坐标为（8，5），且AB∥x轴，
∴﹣3a﹣4＝5，∴a＝﹣3，
∴2+a＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，5）．
39．（2023秋•岱岳区期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在x轴上．求出点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限．
【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即
可得出答案．
（2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得
出答案．
（3）根据点P到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点P在x轴上，
∴a+5＝0，
∴a＝﹣5，
∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣12，0）；
（2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，
∴a+5＝5，
∴a＝0，
∴2a﹣2＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣2，5）；
（3）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴|2a﹣2|＝|a+5|，
∴a＝﹣1或7，
点P的坐标为（﹣4，4）或（12，12）．
40．（2023秋•鹰潭期末）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已 知 平 面 内 两 个 点 分 别 为 P （ x ， y ） P （ x ， y ） ， 其 两 点 间 距 离 公 式 为
1 1 1 2 2 2
． 例 如 ： 点 （ 3 ， 2 ） 和 （ 4 ， 0 ） 的 距 离 为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于x轴或平行于y轴时，两点间
的距离公式可简化成：P P ＝|x ﹣x |或P P ＝|y ﹣y |．
1 2 1 2 1 2 1 2
（1）已知A、B两点在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A、B两点的距
离为 3 ；
（2）线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是 （﹣ 1 ， 4 ）或
（ 5 ， 4 ） ；
（3）已知△ABC个顶点坐标为A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），请判断此三角形的形状，并说
明理由．
【分析】（1）根据平行于y轴的直线横坐标相同，利用两点间的距离公式求出A、B两点的距离即可；
（2）根据平行于x轴的直线坐标轴相同，由AB的长，以及B的坐标，确定出A的坐标即可；
（3）利用两点间的距离公式求出三边长，即可作出判断．
【解答】解：（1）设A（x，5），B（x，3），
则AB＝ ＝3；
故答案为：3；
（2）设A（x，4），
∵AB＝3，B（2，4），
∴ ＝|x﹣2|＝3，
解得：x＝5或﹣1，
则A（﹣1，4）或（5，4）；
故答案为：（﹣1，4）或（5，4）；
（3）∵A（3，4），B（0，5），C（﹣1，2），
∴AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝
，
∴AB2+BC2＝AC2，且AB＝BC，
则△ABC为等腰直角三角形．
