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专题03 三角形折叠求角
类型一 三角形折叠
1．如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片(即 )，点 、 分别在边 、 上，将
沿着 折叠压平后点 与 重合，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接A ，根据折叠的性质可得∠ =∠EAD=75°，然后根据三角形外角的性质和等量代换即可得出结论．
【详解】
解：连接A由折叠的性质可得∠ =∠EAD=75°
∵∠1和∠2分别为△ 和△ 的外角
∴∠1=∠ ＋∠ ，∠2=∠ ＋∠
∴∠1＋∠2=∠ ＋∠ ＋∠ ＋∠ =（∠ ＋∠ ）＋（∠ ＋∠ ）=∠
＋∠EAD=150°
故选A．
【点睛】
此题考查的是三角形中的折叠问题，掌握折叠的性质和三角形外角的性质是解决此题的关键．
2．如图，把 ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关
系是（ ）△
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【解析】
【分析】
本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组
成平角，结合 AED的内角和为180°可求出答案．
【详解】 △
∵△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，
∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)，
∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2)
在 ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2)
△
则2∠A=∠1+∠2，故选择B项.【点睛】
本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质.
3．已知：如图所示，将 ABC的∠C沿DE折叠，点C落在点C'处，设 ∠AEC′=β，∠BDC'=γ，
△
则下列关系式成立的是（ ）
A．2α=β+γ B．α=β+γ C．α+β+γ=180° D．α+β=2γ
【答案】A
【解析】
【分析】
通过平角关系用∠CEC′、∠CDC′表示出β、γ，通过三角形的内角和用∠CEC′、∠CDC′表示出∠C、
∠C′，计算可得结论．
【详解】
解：由折叠的性质知：∠C=∠C′=α．
∵∠AEC′+∠CEC′=180°，∠BDC′+∠CDC′=180°，
∴β=180°-∠CEC′，γ=180°-∠CDC′．
∴β+γ=360°-∠CEC′-∠CDC′．
∵∠C+∠CEC′+CDC′+∠C′=360°，
∴2α=360°-∠CEC′-∠CDC′．
∴β+γ=2α．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，掌握折叠的性质，用含∠CEC′、∠CDC′表示出α、β、γ是解决本题的关键．
4．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠的性质可知 ,再利用平角的定义可求出 的度数，进
而利用三角形内角和可求∠B的度数.
【详解】
由折叠的性质可知
∵
∴
∴
故选C
【点睛】
本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.
5．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若
∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平角的定义和翻折变换的性质求出∠DEC，再根据三角形内角和定理求出∠CDE，即可得出答案.【详解】
解：∠A=65°，∠B=75°，∠1＝20°，
∴∠C=∠C′ =180°-∠A-∠B=40°，
由翻折变换的性质可得：∠DEC=∠DE C′，
∠DEC+∠DEB=∠DEC+∠DE C′-∠1=180°，
∴∠DEC=100°，
∴∠CDE=∠ED C′=180°-∠C-∠DEC=40°，
∴∠2=180°-∠CDE-∠ED C′=100°.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质与三角形内角和定理，解题关键是准确识图，理清题目中角的关系.
6．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝
132°，则∠A为（ ）
A．40° B．22° C．30° D．52°
【答案】B
【解析】
【分析】
利用四边形的内角和定理求出 ，再利用三角形的内角和定理可得结果．
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数．
7．如图所示，把 沿直线 翻折后得到 ，如果 ，那么 ___度．
【答案】
【解析】
【分析】
根据折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置改变，对应边和对应角相等，可以得到
，再根据平角的定义即可求解．
【详解】
沿直线 翻折后得到 ，
，
， ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形折叠中的角度问题，它属于轴对称，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8．如图，把 ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B 处，设 EC 1， DA 2 若
25 ，则 2 1=______
【答案】50【解析】
【分析】
由折叠性质求得 ，由三角形的外角性质，用 表示 ，进而求得 ．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
故答案为50．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，折叠的性质，关键是根据三角形的外角的性质表示出 与 的关系式．
类型二 多边形折叠
9．如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A 处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（ ）
1
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3+∠4，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A 处，
1
∴∠3+∠4= （180°-∠1）+ （180°-∠2）=180°- （∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=180°- ×90°=180°-45°=135°，
在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，熟记各性质并整体思想的利用是解题的
关键．
10．如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线
AB上的 ， 处，则∠ +∠ 等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210°，再利用折叠性质可得∠ =∠D，∠ =∠C，即∠+∠ =210°，从而得出∠ +∠ =150°，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】
∵∠A=80°，∠B=70°，
∴∠D+∠C=360° ∠A ∠B=210°，
− −
由折叠性质可得：∠ =∠D，∠ =∠C，
∴∠ +∠ =210°，
∴∠ +∠ =360° ∠ +∠ °，
−( )=150
∴∠ ∠ ° ∠ +∠ ∠A ∠B °，
+ =360 −( )−( + )=60
故选： .
【点睛B】
本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
11．如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝
80°，则∠CDE＝_____°．
【答案】130
【解析】
【分析】
先求出∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，根据平行线的性质得到∠B′DC=80°，进而得到∠BD B′=100°，
∠BDE=50°，即可求出∠CDE＝130°．
【详解】
解：由折叠的定义得∠B=∠B′=80°，∠BDE=∠B′DE，
∵EB′∥BC，
∴∠B′=∠B′DC=80°，
∴∠BD B′=180°-∠B′DC=100°，∴∠BDE=∠B′DE=50°，
∴∠CDE＝180°-∠BDE=130°．
故答案为：130
【点睛】
本题考查了折叠的定义，平行线的性质，邻补角的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题
关键．
12．如图 ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2=102°,则∠A的度数是______．
△
【答案】51°
【解析】
【分析】
延长折叠后的直线交于A’，根据折叠的性质及内角和即可求解.
【详解】
如图，延长折叠后的直线交于A’，
由于折叠，∴∠1+2∠3=180°，∠2+2∠4=180°，
∵∠1+∠2=102°，∠1+2∠3+∠2+2∠4=360°
∴2∠3+2∠4=258°，
∴∠3+∠4=129°，
∴∠A=∠A’=180°-（∠3+∠4）=51°
【点睛】
此题主要考查折叠的性质，解题的关键是根据折叠作出辅助线进行求解.13．将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠1＝57°，∠2＝20°，
∠3的度数_____度
【答案】23
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可知， ， ，然后对 计算求解
即可．
【详解】
解：由折叠的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：23°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，角的计算．解题的关键在于找出角度的数量关系．
14．利用折纸可以作出角平分线，如图1则 为 的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片， ，
均是折痕，折叠后，点 落在点 ，点 落在点 ，连接 ．
①如图2，若点 恰好落在 上，且 ，则 __________；
②如图3，当点 在 的内部时，连接 ，若 ， ，求 的度数为
__________．
【答案】【解析】
【分析】
①由题意知 ， ，根据 ，计算求解
即可；② 由题意知 ， ，根据 ，
求出 的值，进而根据 计算求解即可．
【详解】
解：①由题意知 ，
∵ ，
∴
故答案为：58°．
②由题意知 ，
∵ ， ，
∴
∴
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了角平分线．解题的关键在于找出角度的数量关系．
类型三 多次折叠
15．如图所示，把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图中
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．无法确定
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，
∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°，故选C．
16．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（
）
A．49° B．50° C．51° D．52°
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求
出结论．
【详解】
由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝131°，
∴∠2＝180°﹣131°＝49°，
故选：A．
【点睛】
本题考查折叠的性质、三角形内角和，解题的关键是掌握折叠的性质、三角形内角和.
17．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的
度数是____________°．
【答案】105°【解析】
【详解】
由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为105°.
点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b
中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.
18．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B A C的平分线A B
1 1 1 1 2
折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，点B 与点C重合，无论折叠多少次，
n n n n+1 n
只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.
（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系
是_______；
（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形
的好角．
【答案】 140°、120°或80°
【解析】
【分析】
（1）根据折叠性质可得∠A B B =∠C，∠AA B =∠B，由三角形外角性质可得∠AA B =2∠C，根据等量代换
1 1 2 1 1 1 1
可得∠B=2∠C；（2）先求出经过三次折叠，∠BAC是 ABC的好角时，∠B与∠C的等量关系为∠B=3∠C，
进而可得经过n次折叠，∠BAC是 ABC的好角时∠B△与∠C的等量关系为∠B=n∠C，因为最小角是20º，是
ABC的好角，根据好角定义，设另△两角分别为20mº，4mn°，由题意得20m+20mn+20=180°，所以
△m(n+1)=8，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是8的整数因子，从而可以求得结果．
【详解】
（1）根据折叠性质得∠B=∠AA B ，∠A B B =∠C，
1 1 1 1 2
∵∠AA B =∠A B B +∠C，
1 1 1 1 2∴∠B=2∠C
故答案为∠B=2∠C
（2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA B ，∠C=∠A B C，∠A B C=∠A A B ，
1 1 2 2 1 1 1 2 2
∴根据三角形的外角定理知，∠A A B =∠C+∠A B C=2∠C；
1 2 2 2 2
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA B -∠A B C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
1 1 1 1
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
∴当∠B=2∠C时，∠BAC是 ABC的好角；当∠B=3∠C时，∠BAC是 ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞△∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；
∵最小角为20°， △
∴设另两个角为20m°和20mn°，
∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8，
∵m、n为整数，
∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2.
解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1，
∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°，
∴此三角形最大角为140°、120°或80°时，三个角均是此三角形的好角.
故答案为140°、120°或80°
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题
关键．
19．直线 与直线 垂直相交于 ，点 在射线 上运动，点 在射线 上运动，连接 ．（1）如图1，已知 ， 分别是 和 角的平分线，
①点 ， 在运动的过程中， 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试
求出 的大小．
②如图2，将 沿直线 折叠，若点 落在直线 上，记作点 ，则 _______ ；如图3，
将 沿直线 折叠，若点 落在直线 上，记作点 ，则 ________ ．
（2）如图4，延长 至 ，已知 ， 的角平分线与 的角平分线交其延长线交于 ，
，在 中，如果有一个角是另一个角的 倍，求 的度数．
【答案】（1）∠ACB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°．
【解析】
【分析】
（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到
∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC= ∠PAB，∠ABC= ∠ABM，于是得到结论；
②图2中，由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义
得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论；
图3中，根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，
得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，进而得出∠E的度数，
由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的 倍分情况进行分类讨论即可解答．
【详解】
（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC= ∠PAB，∠ABC= ∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC= （∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30，60；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO= （∠BOQ-∠BAO）= ∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的 倍，故有：
①∠EAF= ∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；
②∠EAF= ∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
③∠F= ∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
④∠E= ∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．
∴∠ABO为60°或72°．
【点睛】
本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平
分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问
题的时候，一定要注意外角与内角之间的联系，不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分
类讨论的思想.
