文档内容
专题 03 利用勾股定理解决折叠问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、长方形中折痕过对角线模型...........................................................................................................1
题型二、长方形中折痕过一顶点模型...........................................................................................................5
题型三、长方形中折痕过任意两点模型.......................................................................................................9
题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型.............................................14
题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型.............................................................................17
题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型.............................................19
B综合攻坚・能力跃升
题型一、长方形中折痕过对角线模型
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形中，以对角线为折痕，折叠 ，点的对应点为’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕垂直平方’；
结论3： 是等腰三角形。
1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，长方形 的宽 ，长 ，将长方形 沿着
对角线 折叠，点D 的对应点为 ，连接 ，与边 交于点E，则 的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠
的性质和等角对等边可得 ，设 ，则 ，然后在 中，利用勾股定理建立方
程，解之进而得到 ，即可计算三角形的面积．
【详解】解：∵长方形 的宽 ，长 ，∴ ， ， ，
根据折叠可知， ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
2．（24-25八年级下·山东滨州·月考）如图，在长方形 中， ，将长方形沿 折叠，
点D落在点 处，
(1)求证： ；
(2)求重叠部分 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明 是解题的关键，
（1）根据长方形的性质和折叠的性质可证明 ，则可证明 ，
得到 ；
（2）设 ，则 ，利用勾股定理可得方程 ，解方程即
可求出答案．
【详解】（1）证明：由题意得， ，
由折叠的性质可得 ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：
如图1，在长方形 中， ， ， ， ，
．将长方形 沿 翻折，点A的对应点为D， 与 交于点E， ， ．
(1)求 的长；
(2) 的面积为__________；
(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．
当 是等腰三角形时，求符合条件的t的值；
【答案】(1)
(2)6
(3) 或3或
【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握
以上性质．
（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出 ，假设 ，表示出相关线段的长度，然后利用
勾股定理列方程求解即可；
（2）利用（1）的结论 ，求出三角形的底和高，然后求面积即可；
（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵将该长方形沿 翻折，点A的对应点为点D， 与 交于点E．
，
∵四边形 是长方形，
．
，
，
；
设 ，则 ，
在 中， ，根据勾股定理得， ，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
根据翻折的性质得 ， ，
∴ 的面积为 ，
故答案为：6；
（3）解：①若 ，
，
；
②若 ，作 于点 ，
， ， ，
，
，
；
③若 ，则 ， ， ，， ，
，
；
综上所述， 或3或 ．
题型二、长方形中折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕垂直平方’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕垂直平方’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕垂直平方’；
结论3： 是等腰三角形。
4．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形 中， ， ，沿过点A的折痕折
叠长方形，使点D落在边 上，折痕与边 交于点E，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性．
由折叠可得 ， ，在 中，由勾股定理求出 ，设 ，则
，然后在 中，运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：∵长方形 ，∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴
设 ，则
∴在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作
品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：
①先裁下了一张长 ，宽 的长方形纸片 ；
②将纸片沿着直线 折叠，点D恰好落在 边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求 ， 的长．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
由折叠的性质可知 ， ， ，由勾股定理得 ，则 ，设
，由勾股定理得，即 ，计算求解然后作答即可．
【详解】解：∵长方形 ，
∴ ， ，
由折叠的性质可知， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ ．
6．（25-26八年级上·重庆北碚·月考）在长方形 中， ．P为 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E在边 上时，求 的长度．
(2)如图2，当点E在边 外时， 与 相交于点F， 与 相交于点G，且 ，求 的长．
(3)如图3，已知点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点B恰好落在直线 上的点 处，
求 的长．
【答案】(1)3
(2)
(3)4或16
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ， ，再由勾股定理可得 的长，从而
得到 的长，然后根据 ，即可求解；
（2）证明 ，可得 ，从而得到 ，
，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：当点Q在线段 上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得 ，再
由勾股定理得 的长，即可求解；当点Q在 延长线上时，由勾股定理得 的长，设 ，
则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由翻折的性质得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
（3）解：当点Q在线段 上时，如图：
由翻折的性质得： ，
∴ ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点Q在 延长线上时，如图：
由翻折的性质得： ，
∴ ，
设 ，则 ，∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
即 ；
综上所述， 的长为4或16．
题型三、长方形中折痕过任意两点模型
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕垂直平方’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕垂直平方’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕垂直平方’；
结论3： ’是直角三角形。
7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片 ，将这张长方形纸片翻折，
点 落到 边点 处，点 落到点 处，折痕交边 于点E，F，若 ，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
过点E作 于点P，则 ，由折叠的性质以及平行线的性质可得 ，从而得到 ，在 中，利用勾股定理可得 的长，然后在 中，求出 的长，即
可求解．
【详解】解：如图，过点E作 于点P，则 ，
根据题意得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故答案为：
8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形 中， ，点 分别在边
上，沿着 折叠长方形 ，使点 分别落在 处．
(1)如图1，当 落在线段 的中点位置时，则 ；
(2)如图2，若点 与点 重合，连接 ，当线段 的值最小时， 的长度为 ．
【答案】(1)(2)
【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题
的关键．
由折叠的性质可得 ，设 ，则 ，在 中，利用勾股
定理求出x的值，即可求解；
当 共线时， 的值最小，为 的长，线段 的值最小时，点 在 上的点
处，点 在点 处，在 中，由勾股定理得 ，设 ，由折叠的性质得 ，
，从而得到 ，在 中，利用勾股定理求出y的值，即可求解．
【详解】（1）解：在长方形 中， ，
为线段 的中点，
，
由折叠的性质，得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
（2）连接 ，
，
当 共线时， 的值最小，为 的长，
此时，点 在 上的点 处，点 在点 处，如图，
，
在 中，由勾股定理得 ，
设 ，
由折叠的性质得 ， ，，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
线段 的值最小时， 的长度为 ．
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形 中， ．
(1)如图①，将长方形 沿 翻折，使点A与点C重合，点D落在点 处，求BF的长；
(2)如图②，将 沿 翻折，若 交 于点E，求 的面积；
(3)如图③，，P为 边上的一点，将 沿 翻折得到 ， ， 分别交 边于点E，F，
且 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由
勾股定理建立方程是解题的关键．
（1）设 ，在 中，根据 ，构建方程即可解决问题；
（2）首先证明 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程，求出 ，再代入数值
到 进行计算，即可解决问题；
（3）设 ，首先证明 ，推出 ， ，由 ，推出
， ， ，在 中，可得 ，解方程即可解决
问题；【详解】（1）解：根据折叠的性质，得 ．
∵四边形 是长方形，
∴ ．
设 ，
则 ，
在Rt 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（2）解：∵四边形 是长方形，
∴ ．
根据折叠的性质，得 ．
又∵ ，
∴ ．
∵ 交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
则 ．
在Rt 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵四边形 是长方形，
∴ ．
由折叠的性质，
得 ，∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
设 ，
则 ，
∴ ．
在Rt 中， ，
解得 ，
∴ ．
题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点C的对应点为C’落在斜边上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在边上，折痕为BD。
10．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示，有一块直角三角形纸片，
，将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为
，则点D到直线 的距离为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，翻折的性质，角平分线的性质定理，解一元一次方程，解题的关键是
掌握翻折的性质和勾股定理．
利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，然后利用翻折的性质得出相等角和边，假设 长为 ，表示
出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解，最后利用角平分线的性质定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴由勾股定理得 ，
由翻折的性质得， ， ，
假设 长为 ，则 ， ，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
∵ ， ，
∴点D到直线 的距离等于 的长度，即为 ，
故答案为： ．
11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在 中， 为直角， ， ，将直角边
沿 折叠，使它落在斜边 上，点 与点 重合，则线段 的长度为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出 ，根据折叠的性质得出 ，
， ，在 中，根据勾股定理得出 ，然后解方程即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，∵折叠，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
12．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ，
现将直角边 沿直线 折叠，使 恰好落在斜边 上，且点C与点E重合．
(1)求 的长，
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求得 的长即可；
（2）由翻折的性质求得 ，得 ，设 ，则 ， ，在
中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ；
（2）解：由折叠的性质得： ，
∴ ；
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得： ，
∴ ．题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN（为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，EF，与BE交于点D.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
13．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知 中， ．现将
进行折叠，使顶点 重合．则线段 ．
【答案】
【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图
形的折叠，易于找到图形间的关系；在 中可得 ，在 中可得 ，则
，在 中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴
∵将 进行折叠，使顶点 重合
∴ ，
设 ，在 中，
∴
解得：
则∴在 中，
故答案为： ．
14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， ， ， ， ， ，垂足
为 ，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，则线段 的长为 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了翻折变换，等面积法以及勾股定理，解决本题的关键是熟练运用等面积法．首先根据
折叠可得 ， ，利用等面积法 得到 的值，在 中
利用勾股定理求得 ，然后 即可求解．
【详解】解： 在 中， ， ， ，
，
，
，
根据折叠的性质可知 ， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
15．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ，把 沿直线 折叠，使
与 重合：(1)若 ，则 的度数为_____；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由折叠性质得 ，结合三角形内角和定理即可求解；
（2）由折叠性质得 ，设 ，则 ，结合勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：由折叠性质得 ，
中， ，
即 ，
又 ， ，
，
故答案为： ；
（2）解：由折叠性质得 ，
设 ，则 ，
中， ，
即 ，
解得 ，
即 ．
题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点处D，连结DM,DN.
（2）沿直线DE翻折，使得点C与边上的点F重合；16．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、 上，
连接 ，将 沿直线 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，且 ，若
，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出 的长，进而求出 的长，由折叠
的性质可得 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解方
程即可得到答案．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究
如图，在 中， ， ， ，且 ， 满足 ， ， 分别是边 ，上的动点，连接 ．将 沿直线 折叠得到 ，点 恰好落在边 上．
(1)求边 的长．
(2)如图 ，若 为 的中点．求证： ．
(3)如图 ，若 为 的中点．
试猜想线段 ， 与 之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段 的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) ，理由见解析；
【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得 、 的值，再根据勾股定理求解即可；
（2）由折叠可知 ， ， 垂直平分 ，根据中点的性质结合等边对等角，得到
，进而得到 ，再根据平行线的性质即可得证；
（3） 过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，证明 ，得到 ，
，证明 ，得到 ，在 中，根据勾股定理得到
，然后等量代换即可得解； 过点 作 、 ，利用 是 中点的性
质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解．
【详解】（1）解： ， 满足 ， ， ，
， ，
， ，
在 中， ，
；
（2）证明：如图 ，连接 交 于点 ，沿 折叠得 ，
， ， 垂直平分 ，
，
为 中点，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
；
（3）解： ，理由如下：
如图，过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，
，即 ，
，
， ，
为 的中点．
，
，
， ，
，，
， ， ，
，
∴DE=DH,
在 中， ，
；
如图所示，过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 于 ，过点 作 于
，连接 ，
为 中点，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
，
，
设 ，则 ，
由 知， ，
又 ，
，
即 ，解得 ，
．
18．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在 中， ， ， ，D、E分别是斜边
和直角边 上的点，把 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点 ．
(1)如图1，如果点 和顶点A重合，求 的长；
(2)如图2，如果点 落在直角边 的中点上，求 与折痕 的长．
【答案】(1)
(2) ， ．
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得 ，设 ，则 ，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得 ，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，再由勾
股定理计算可得 ，作 于点 ，连接 ，利用等积法求得 ，利用勾股定理求得
，再利用等积即可求解．
【详解】（1）解：若点 和顶点 重合，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
；
（2）解： 点 落在直角边 的中点上，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，即 ，
∴ ．
作 于点 ，连接 ，
∵点 落在直角边 的中点上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，，
解得： ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得： ，
∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将斜边 翻折，使点落在直角边
的延长线上的点处，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
勾股定理求出 的长，利用折叠得到 ，求出 ，设 ，则 ，根
据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
，
根据翻折可得 ，
，设 ，则 ．
根据勾股定理得 ，解得： ．
故选：A．
2．如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重合，
折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设 ，再根据图形翻折变换的性质得出
，再根据勾股定理求出 的值．
【详解】解：设 ，则 ，
是 翻折而成，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
故选：C．
3．如图所示，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形，若=1，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】首先根据矩形的性质，得出 ， ， ，然后再根据
折叠的性质，得出 ，进而得出 ，利用勾股定理，得出 的长，再由第二次折叠，得
出 ，进而得出 ，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由第一次折叠得： ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
根据勾股定理得， ，
由第二次折叠可知， ，
∴ ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
4．如图，在 中， ， ， ．点、分别是边 、 上的点，连结 ，将
沿 翻折，使得点 的对称点落在边 的中点 处，则 的长为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解： 点 是边 的中点，
，
由翻折的性质得， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，解得： ，
．
故选：A．
5．如图，长方形 中， ， ，将长方形折叠，使 点与 的中点 重合，折痕为 ，
则线段 的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】设 ，则 ，根据长方形 ， ，得到 ，根据勾股定
理，得 ，解得 ，解答即可．
本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设 ，则 ，
∵长方形 ， ， 点与 的中点 重合，
∴ ， ，
根据折叠的性质，得
∴ ，
解得 ，
故选B．
二、填空题
6．如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点落在 处， 交 于点，若 ，则
的面积＝ ．【答案】78
【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得 的长是解题的关键．
设 ，则 ，在 中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积
公式求解．
【详解】解：长方形 中，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
则 ，
则 ．
故答案为：78．
7．如图， 中， ，将三角形 沿折叠，使点落在 上的点处，则 的长为
．
【答案】3
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出 的长，折叠得到 ，进而求出
的，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则： ，在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：3．
8．如图，在矩形 中， ，点为线段 的中点，连接 ，点在边 上，连接 ，
将 沿 翻折得到 ，点在线段 上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得 ， ，得出 ，因为
，所以 ，连接 ，设 ，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
连接 ，设 ，
可得方程： ，
代入数值可得： ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
9．如图，在 中，∠＝90°，＝4，＝6，是的中点，是上一动点，将 沿折叠到 ，连接′，当
是直角三角形时，的长为 ．【答案】 或
【分析】分两种情形，当 或 时，分别画出图形来解答．
【详解】解：当 时，
将 沿 折叠到△ ，
，
，
点 、 、 三点共线，
， ，
由勾股定理得 ，
设 ，则 ， ，
在 △ 中，由勾股定理得：
，
解得 ，
，
当 时，
，
，
，
不可能为 ，
综上， 或 ．故答案为：3或 ．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，
属于中考常考题型．
10．如图， 中， 分别是边 上的两个动点．将 沿直线
折叠，使得点的对应点 落在 边的三等分点处，则线段 的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可
知 或 ，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点 落在 边的三等分点处， ，
∴ 或 ，
由折叠可知： ，
∴ ，
当 时，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ；
当 时，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ；
综上所述： 的长为3或 ；
故答案为3或 ．
三、解答题
11．如图，长方形沿 对折，点 刚好落在 边 点上，如果 ， ，求 的长？【答案】3
【分析】本题考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理等．在 中建立关于 的方程是求解
本题的关键．先根据翻折的性质求出 的长度和 关于 的表达式，然后由勾股定理求出 ，进而得
到 的长度，在 再次应用勾股定理建立关于 的方程求解即可．
【详解】解：根据翻折的性质， ， ．
在 中， ．
．
在 中， ，
即 ．
则 ．
故 的长度为3．
12．在 中， ， ， ，点、分别是斜边 和直角边 上的点，把 沿
着直线 折叠，顶点的对应点是 ．如图，如果点 和点重合，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设 ，则 ，根据折叠的性质得到
，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
由折叠性质可得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
即 的长为 ．13．如图，把长方形纸片 沿 折叠，使得点 与点 重合，点 落在点 的位置上．
(1)试说明 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明 即可；
（2）设 ，则： ，在 中，利用勾股定理求出 的值，进而求出
的值，全等三角形的性质，得到 ，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）∵四边形 是长方形，
∵把长方形纸片 沿 折叠，
，
在 和△ 中
（2）设 ，
根据翻折不变性，得：
在 中，由勾股定理，得：
解得 ，
∴ ，则
∴ ．14．如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可得 ，由折叠可知 ， ， ，设 ，
则 ， ，在 中，根据 ，列出方程即可求解；
（2）由折叠知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，列出
方程即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
．
由题意知 ， ， ．
．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
（2）由题意知 ，
设 ，则 ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
15．在四边形 中， ．(1)若为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点落在 边上点处时，求 的
长；
(2)如图②，点为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
【答案】(1)5
(2) 或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ， ，根据勾股定理即可
求得答案；
（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ．
在 中， ．
则 ．
在 中， ，
即 ．
解得 ．
即 ；
（2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．
设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ， ．
在 中．
则 ．
在 中
，即
解得 ．
即 ．
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中
．
∴ ．
综上所述， 或 ．
