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专题 08 代数式重难考点分类练（七大考点）
实战训练
一．代数式必考---化简求值
2 3
1．先化简，再求值：2xy+（﹣3x2+5xy+2）﹣2（3xy﹣x2+1），其中x=− ，y= ．
3 2
试题分析：原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
答案详解：解：原式＝2xy﹣3x2+5xy+2﹣6xy+2x2﹣2
＝﹣x2+xy，
2 3
当x=− ，y= 时，
3 2
2 2 3
原式＝﹣（− ）2+（− ）×
3 3 2
4
=− −1
913
=− ．
9
1
2．先化简，再求值：3（2x2﹣xy）﹣（﹣xy+3x2），其中x＝﹣1，y= ．
2
1
试题分析：将分式去括号、合并同类项化简后，把x＝﹣1，y= 代入计算即可．
2
答案详解：解：3（2x2﹣xy）﹣（﹣xy+3x2）
＝6x2﹣3xy+xy﹣3x2
＝3x2﹣2xy，
1
当x＝﹣1，y= 时，
2
3x2﹣2xy
1
＝3×（﹣1）2﹣2×（﹣1）×
2
＝3+1
＝4．
3．已知：A＝3x2+2xy+3y﹣1，B＝x2﹣xy．
（1）计算：A﹣3B；
（2）若A﹣3B的值与y的取值无关，求x的值．
试题分析：（1）利用去括号的法则去掉括号再合并同类项即可；
（2）令y的系数的和为0，即可求得结论．
答案详解：解：（1）A﹣3B
＝（3x2+2xy+3y﹣1）﹣3（x2﹣xy）
＝3x2+2xy+3y﹣1﹣3x2+3xy
＝5xy+3y﹣1；
（2）∵A﹣3B＝5xy+3y﹣1＝（5x+3）y﹣1，
又∵A﹣3B的值与y的取值无关，
∴5x+3＝0，
3
∴x=− ．
5
4．已知单项式3xa﹣1y5与﹣2x2y3b﹣1是同类项，
（1）填空：a＝ 3 ，b＝ 2 ；
（2）先化简，在（1）的条件下再求值：3（ab﹣2a2）﹣2（4ab﹣a2）．试题分析：（1）根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得答案；
（2）根据整式的加减，可得答案．
答案详解：解：（1）∵a﹣1＝2，3b﹣1＝5，
∴a＝3，b＝2
所以答案是：3，2；
（2）原式＝3ab﹣6a2﹣8ab+2a2
＝﹣4a2﹣5ab，
当a＝3，b＝2时，原式＝﹣4×32﹣5×3×2＝﹣66．
二．新定义--紧扣定义，化归思想
a b a+b
5．对于任意有理数a、b，如果满足 + = ，那么称它们为“伴侣数对”，记为（a，b）．
2 3 2+3
（1）若（x，2）是“伴侣数对”，求x的值；
1
（2）若（m，n）是“伴侣数对”，求3n+ [5（3m+2）﹣2（3m+n）]的值．
2
试题分析：（1）根据新定义内容列方程求解；
（2）先将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式进行化简，最后代
入求值．
答案详解：解：（1）∵（x，2）是“伴侣数对”，
x 2 x+2
∴ + = ，
2 3 2+3
x 2 x+2
整理，可得： + = ，
2 3 5
8
解得：x=− ，
9
8
即x的值为− ；
9
1
（2）原式＝3n+ （15m+10﹣6m﹣2n）
2
15
＝3n+ m+5﹣3m﹣n
2
9
＝2n+ m+5，
2
∵（m，n）是“伴侣数对”，m n m+n
∴ + = ，
2 3 2+3
4
整理，可得：m=− n，
9
9 4
∴原式＝2n+ ×（− n）+5
2 9
＝2n﹣2n+5
＝5．
6．规定：f（x）＝|x+1|，g（y）＝|y﹣3|，例如：f（﹣5）＝|﹣5+1|＝4，g（﹣5）＝|﹣5﹣3|＝8．
有下列结论：①f（4）+g（﹣2）＝2；②若f（x）+g（y）＝0，则3x+2y＝3；③若x≤﹣1，
则 f（x）+g（x）＝2﹣2x；④式子 f（x﹣2）+g（x﹣1）的最小值是 3．其中正确的是
②③④ （填序号）．
试题分析：利用新定义的规定进行运算，再利用非负数的意义，绝对值的意义对每个选项的结
论进行逐一判断即可得出结论．
答案详解：解：∵f（4）＝|4+1|＝5，g（﹣2）＝|﹣2﹣3|＝5，
∴f（4）+g（﹣2）＝10，
∴①的结论不正确；
∵f（x）+g（y）＝0，
∴|x+1|+|y﹣3|＝0，
∴x+1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣1，y＝3．
∴3x+2y＝3×（﹣1）+2×3＝﹣3+6＝3，
∴②的结论正确；
∵x≤﹣1，
∴x+1≤0，x﹣3＜0，
∴f（x）+g（x）＝|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝2﹣2x，
∴③的结论正确；
∵f（x﹣2）+g（x﹣1）
＝|x﹣2+1|+|x﹣1+3|
＝|x﹣1|+|x+2|，
当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|有最小值为3，
∴式子f（x﹣2）+g（x﹣1）的最小值是3，∴④的结论正确，
综上，正确的是②③④，
所以答案是：②③④．
1 1 1 1 4
1 f(4)= = ，f( )= =
7 ． 对 于 正 数 x ， 规 定 f(x)= ， 例 如 1+4 5 4 1 5， 则
1+x 1+
4
1 1 1 4041
f(2021)+f(2020)+⋯+f(2)+f(1)+f( )+⋯+f( )+f( )的结果是＝ ．
2 2020 2021 2
1 1
试题分析：计算出f（2），f（ ），f（3），f（ ）的值，总结出其规律，再求所求的式子的
2 3
值即可．
1 2
1 1 1 = = 1 1 1
答案详解：解：∵f（2）= = ，f（ ） 1 3，f（3）= = ，f（ ）
1+2 3 2 1+ 1+3 4 3
2
1 3
= =
1 4，…，
1+
3
1 1 2 1 1 3
∴f（2）+f（ ）= + =1，f（3）+f（ ）= + =1，
2 3 3 3 4 4
1
∴f（x）+f（ ）＝1，
x
1 1 1
∴f(2021)+f(2020)+⋯+f(2)+f(1)+f( )+⋯+f( )+f( )
2 2020 2021
1 1 1
＝[f（2021）+f（ ）]+[f（2020）+f（ ）]+…+[f（2）+f（ ）]+f（1）
2021 2020 2
＝1×（2021﹣1）+f（1）
1
＝2020+
2
4041
= ．
2
4041
所以答案是： ．
2
8．规定符号（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一
个．例如：（3，1）＝1，[3，1]＝3．
1 1 9
（1）计算：(−2，3)+[− ，− ]= − ；
3 4 4
（2）若（m，m﹣2）+3[﹣m，﹣m﹣1]＝﹣4，则m的值为 1 ．
1 3
试题分析：（1）根据定义得出（﹣2，3），[− ，− ]表示的数，再根据有理数的加法法则计
3 4
算即可；
（2）根据定义可得关于m的一元一次方程，再解方程即可求出m的值．
答案详解：解：（1）由题意可知：
1 1
(−2，3)+[− ，− ]
3 4
1
＝﹣2+（− ）
4
9
=− ；
4
9
所以答案是：− ；
4
（2）根据题意得：
m﹣2+3×（﹣m）＝﹣4，
解得m＝1．
所以答案是：1．
三．数形结合--图形与代数式
9．操作与思考：一张边长为a的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b，从而得到一
个更大的正方形，木工师傅设计了如图所示的方案：
（1）方案中大正方形的边长都是 （ a + b ） ，所以面积为 （ a + b ） 2 ；
（2）小明还发现：方案中大正方形的面积还可以用四块小四边形的面积和来表示
（ a 2 + 2 a b + b 2 ） ；
（3）你有什么发现，请用数学式子表达 （ a + b ） 2 ＝ a 2 + 2 a b + b 2 ；
（4）利用（3）的结论计算20.182+2×20.18×19.82+19.822的值．试题分析：（1）根据图形得出正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；
（2）将四个小四边形的面积相加，再合并同类项即可得；
（3）由大正方形面积不变可得等式；
（4）利用所得等式将原式变形为（20.18+19.82）2，再进一步计算可得．
答案详解：解：（1）方案中大正方形的边长都是（a+b），所以面积为（a+b）2，
所以答案是：（a+b），（a+b）2；
（2）方案中大正方形的面积还可以用四块小四边形的面积和来表示：a2+ab+ab+b2＝
a2+2ab+b2，
所以答案是：（a2+2ab+b2）；
（3）根据大正方形的面积不变可知（a+b）2＝a2+2ab+b2，
所以答案是：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（4）20.182+2×20.18×19.82+19.822
＝（20.18+19.82）2
＝402
＝1600．
10．如图，长方形的长为x，宽和扇形的半径均为y．
（1）求阴影部分的面积s；（用含x、y的代数式表示）
（2）当x＝6，y＝4时，求s的值（结果保留 ）．
π
试题分析：（1）四分之一圆的面积加长方形的面积，再减去三角形的面积，就是阴影部分的面积；
（2）利用（1）结果，代入数据求值．
1 1 π−2 1
答案详解：解（1）S= y2+xy− y（x+y）= y2+ xy；
4 2 4 2
π
（2）∵x＝6，y＝4，
π−2 1
∴S= y2+ xy
4 2
π−2 1
∴S= ×42+ ×6×4
4 2
＝4 +4；
∴Sπ＝4 +4．
11．如图是π一个娱乐场，其中半圆形休息区和长方形游泳池以外的地方都是绿地，已知娱乐场的长
为3a，宽为2a，游泳池的长、宽分别是娱乐场长、宽的一半，且半圆形休息区的直径是娱乐场
36−π
宽的一半，则绿地的面积为 a 2 ．（用含a的代数式表示，将结果化为最简）
8
试题分析：先根据题意表示出游泳池和半圆形休息区面积，再用娱乐场的面积减去这两部分的
面积列式、化简即可．
3 3 1 a π
答案详解：解：由题意知游泳池的面积为a• a= a2，半圆形休息区面积为 • •（ ）2=
2 2 2 2 8
π
a2，
3 π 36−π
则绿地面积为2a•3a− a2− a2= a2，
2 8 8
36−π
所以答案是： a2．
8
12．七张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图 2的方式不重叠地放在长方形
ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影部分，设左上角与右下角的阴影部分的面积的
差为S＝S ﹣S ，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的
1 2关系式是 a ＝ 3 b ．
试题分析：表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的
关系式即可．
答案详解：解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为
a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）
PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
所以答案是：a＝3b．
四．巧求代数式的值--整体思想
13．当x＝2时，代数式px3+qx+1的值等于2016，那么当x＝﹣2时，代数式px3+qx+1的值为（
）
A．2015 B．﹣2015 C．2014 D．﹣2014
试题分析：首先根据当x＝2时，代数式px3+qx+1的值等于2016，求出8p+2q的值是多少；然后
判断出当x＝﹣2时，把代数式px3+qx+1化为﹣8p﹣2q+1，再把求出的8p+2q的值代入﹣8p﹣
2q+1，求出算式的值是多少即可．
答案详解：解：当x＝2时，
px3+qx+1＝8p+2q+1＝2016，∴8p+2q＝2015，
∴当x＝﹣2时，
px3+qx+1
＝﹣8p﹣2q+1
＝﹣（8p+2q）+1
＝﹣2015+1
＝﹣2014
即当x＝﹣2时，代数式px3+qx+1的值为﹣2014．
所以选：D．
14．数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现
同学们都做不出来，于是给出答案：
解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29①
则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210②
②﹣①得s＝210﹣1
根据以上方法请计算：
（1）1+2+22+23+…+22015（写出过程，结果用幂表示）
32016−1
（2）1+3+32+33+…+32015＝ （结果用幂表示）
2
试题分析：（1）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以对所求式子变形，从而可以解答本题．
答案详解：解：（1）设s＝1+2+22+23+…+22015①，
则2s＝2+22+23+…+22015+22016②，
②﹣①，得
s＝22016﹣1，
即1+2+22+23+…+22015＝22016﹣1；
（2）设s＝1+3+32+33+…+32015①，
则3s＝3+32+33+…+32015+32016②，
②﹣①，得
2s＝32016﹣1，
32016−1
∴s= ，
232016−1
所以答案是： ．
2
15．已知多项式4a3﹣2a+5的值是7，则多项式2（﹣a）3﹣（﹣a）+1的值是 0 ．
试题分析：由已知代数式的值求出2a3﹣a的值，原式变形后代入计算即可求出值．
答案详解：解：∵4a3﹣2a+5＝7，即2a3﹣a＝1，
∴原式＝﹣（2a3﹣a）+1＝﹣1+1＝0，
所以答案是：0
a+b b
16．若a、b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，|m|＝3，求 +mcd+ 的值．
m a
b
试题分析：根据已知求出 =−1，cd＝1，m＝±3，代入代数式求出即可．
a
答案详解：解：∵a、b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝3，
b
∴ =−1，cd＝1，m＝±3，
a
①m＝3时，原式＝0+3﹣1＝2；
②m＝﹣3时，原式＝0﹣3﹣1＝﹣4，
a+b b
综上所述， +mcd+ 的值为2或﹣4．
m a
五．同类项定义的理解---两相同，得方程
17．关于m、n的单项式2manb与﹣3m2（a﹣1）n的和仍为单项式，则这个和为 ﹣ m 2 n ．
试题分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出n，m的值，再代
入代数式计算即可．
答案详解：解：∵2manb与﹣3m2（a﹣1）n的和仍为单项式，
∴2manb与﹣3m2（a﹣1）n是同类项，
∴a＝2（a﹣1），b＝1，
∴a＝2a﹣2，b＝1，
∴a＝2，b＝1，
∴2manb与﹣3m2（a﹣1）n
＝2m2n+（﹣3m2n）
＝2m2n﹣3m2n
＝﹣m2n．
所以答案是：﹣m2n．1
18．已知单项式﹣3am+5b3与 a2bn−1是同类项，则mn＝ 8 1 ．
6
试题分析：根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程n﹣1＝2，m+2
＝3，求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
1
答案详解：解：∵﹣3am+5b3与 a2bn﹣1是同类项，
6
∴m+5＝2，n﹣1＝3，
∴m＝﹣3，n＝4，
∴mn＝（﹣3）4＝81．
所以答案是：81．
六．代数式取值与某项（字母）无关---该项（字母）系数和为0
1
19．已知关于x的代数式2x2− bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关，则a+b＝
2
﹣ 1 3 ．
试题分析：根据已知列出关于a、b的方程，求出a、b的值，再代入即可得到答案．
1
答案详解：解：∵关于x的代数式2x2− bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无
2
关，
1
∴2− b＝0，a+17＝0，
2
∴a＝﹣17，b＝4，
∴a+b＝﹣17+4＝﹣13．
所以答案是：﹣13．
20．已知整式M＝x2+5ax﹣3x﹣1，整式M与整式N之差是3x2+4ax﹣x．
（1）求出整式N；
（2）若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值．
试题分析：（1）根据题意，可得N＝（x2+5ax﹣3x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x），去括号合并即可；
（2）把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．
答案详解：（1）N＝（x2+5ax﹣3x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x）
＝x2+5ax﹣3x﹣1﹣3x2﹣4ax+x
＝﹣2x2+ax﹣2x﹣1；
（2）∵M＝x2+5ax﹣3x﹣1，N＝﹣2x2+ax﹣2x﹣1，∴2M+N＝2（x2+5ax﹣3x﹣1）+（﹣2x2+ax﹣2x﹣1）
＝2x2+10ax﹣6x﹣2﹣2x2+ax﹣2x﹣1
＝（11a﹣8）x﹣3，
∵结果与x值无关，
∴11a﹣8＝0，
8
解得：a= ．
11
七．．（超级难点）看错类--将错就错来改错
1
21．有这样一道计算题：3x2y+[2x2y﹣（5x2y2﹣2y2）]﹣5（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中x= ，y＝﹣
2
1 1
1．小明同学把“x= ”错看成“x=− ”，但计算结果仍正确；小华同学把“y＝﹣1”错看成
2 2
“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．
试题分析：原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
答案详解：解：原式＝3x2y+2x2y﹣5x2y2+2y2﹣5x2y﹣5y2+5x2y2＝﹣3y2，
结果不含x，且结果为y2倍数，
则小明与小华错看x与y，结果也是正确的．
22．某同学解方程5y﹣1＝口y+4时，把“口”处的系数看错了，解得y＝﹣5，他把“口”处的系
数看成了（ ）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
试题分析：设口为a，把y＝﹣5代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
答案详解：解：设口为a，
把y＝﹣5代入方程得：5×（﹣5）﹣1＝﹣5a+4，
∴﹣5a+4＝﹣26，
∴﹣5a＝﹣30，
∴a＝6，
所以选：C．
23．由于看错了符号，某学生把一个代数式减去﹣3x2+3y2+4z2误认为加上﹣3x2+3y2+4z2，得出答案
2x2﹣3y2﹣z2，你能求出正确的答案吗？（请写出过程）
试题分析：本题是整式的加减综合运用，首先利用和减去一个加数，求得原整式，再利用减法
求解即可．答案详解：解：设原来的整式为A，
则A+（﹣3x2+3y2+4z2）＝2x2﹣3y2﹣z2
∴A＝5x2﹣6y2﹣5z2
∴A﹣（﹣3x2+3y2+4z2）＝5x2﹣6y2﹣5z2﹣（﹣3x2+3y2+4z2）
＝5x2﹣6y2﹣5z2+3x2﹣3y2﹣4z2
＝8x2﹣9y2﹣9z2．
∴原题的正确答案为8x2﹣9y2﹣9z2．
24．有这样一道计算题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其
1 1 1
中x= ，y＝﹣1”，甲同学把x= 错看成x=− ，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？
2 2 2
1
试题分析：先对原代数式化简，结果中不含x项，故计算结果与x的取值无关，故甲同学把x=
2
1
错看成x=− ，但计算结果仍正确．
2
答案详解：解：原式＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+2xy2﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3＝﹣2y3，
∵结果中不含x项，
∴与x的取值无关．
1 1
∴甲同学把x= 错看成x=− ，但计算结果仍正确．
2 2
25．小刚在做“计算（5a2﹣3b2）﹣3（a2﹣b2）+（b2﹣a2）的值，其中a＝2，b＝﹣1”这道题时，
把a＝2，b＝﹣1错看成“a＝﹣2，b＝1”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回
事．
试题分析：先去括号，再合并同类项，由结果发现无论“a＝2，b＝﹣1”还是“a＝﹣2，b＝
1”，计算的结果总相等．
答案详解：解：原式＝5a2﹣3b2﹣3a2+3b2+b2﹣a2
＝a2+b2，
无论a取2还是﹣2，b取﹣1还是1，a2、b2的取值相等，所以无论“a＝2，b＝﹣1”还是“a＝
﹣2，b＝1”，计算的结果总相等．
26．李兵同学在计算A﹣（ab+2bc﹣4ac）时，由于马虎，将“A﹣”错看成了“A+”，求得的结果
为3ab﹣2ac+5bc，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果．
试题分析：先根据题意求出A的表达式，再列出整式相加减的式子进行计算即可．答案详解：解：∵由题意得，A＝（3ab﹣2ac+5bc）﹣（ab+2bc﹣4ac）
＝3ab﹣2ac+5bc﹣ab﹣2bc+4ac
＝2ab+2ac+3bc．
∴A﹣（ab+2bc﹣4ac）＝（2ab+2ac+3bc）﹣（ab+2bc﹣4ac）
＝2ab+2ac+3bc﹣ab﹣2bc+4ac
＝ab+6ac+bc．
