文档内容
专题08 规律题方法总结与例题专训
【知识点睛】
常见规律题类型
周期性循环
特点：常以3个或4个数据为一周期，以此循环往复；总数比较大，常和年份结合考察
处理方法步骤：1.找出第一周期的几个数，确定周期数
2.算出题目中的总数和待求数
3.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
4.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
周期性递变循环
特点：常以2个或3个一周期，后边的每组，周期数不变，但是数据的大小会以相同的关系递增或
递减；
处理方法：同周期性循环基本一致，最后一步需要加入递变的关系
递变增减型
特点：分以此递增和以此递减，通常是数据之间的直接变化，偶尔借助图形；常和年份结合考察
处理方法：熟记单独数据规律，直接应用于考察问题；
算式类比性
特点：常给出几个算式或等式，先算简单的，再从简单的类比到复杂题目的计算
处理办法：1.正确计算出前面简单算式的答案
2.找出数字间的规律
3.将简单数字间的关系推导到字母n的关系中
常见数字间固定规律识记：
项数 第1项 第2项 第3项 第4项 …… 第n项 前n项和
① 1 2 3 4 …… n n(n+1)
2
② 1 3 5 7 2n-1 n²
③ 3 5 7 9 2n+1 n（n+2）
④ 2 4 6 8 2n n（n+1）
⑤ 2 4 8 16 2n 2n+1-2
⑥ 2 6 12 20 n（n+1） /
⑦ 1 3 6 10 n(n+1) /
2
规律题解题思想：
1. 裂项相消法：将一项拆分成多项，前后保持相等，然后利用某些项相消的原则简化运算；
2. 错位相减法：适用于两个式子间有相同项的题目，两式相减直接抵消掉中间项，剩余首项、尾项再
计算；
3. 倒序求和发：如：计算1+2+3+……+50，可以设S=1+2+3+……+50，则亦有S=50+49+48+……+1，
∴2S=51×50，∴S=51×25=…k 1 1
= −
n(n+k) n n+k
裂项法公式：
【类题训练】
1．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为（ ）
A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161
2．观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第
2022个数是（ ）
A． B． C． D．
3．一只小球落在数轴上的某点P ，第一次从P 向左跳1个单位到P ，第二次从P 向右跳2个单位到
0 0 1 1
P ，第三次从P 向左跳3个单位到P ，第四次从P 向右跳4个单位到P ……若按以上规律跳了100
2 2 3 3 4
次时，它落在数轴上的点P 所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点P 所表示的数是（
100 0
）
A．1971 B．1970 C．﹣1971 D．﹣1970
4．有一列数a ，a ，a ，…，a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若
1 2 3 n
a ＝2，则a 为（ ）
1 2022
A． B．2 C．﹣1 D．2022
5．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0
所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的
数﹣2022将与圆周上的哪个数字重合（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（ ）A．第506个正方形的右上角B．第506个正方形的左下角
C．第505个正方形的右上角 D．第505个正方形的左下角
7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B
对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所
对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024
8．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑
色棋子，图③中有 10 个黑色棋子，…，依次规律，图 中黑色棋子的个数是（ ）
A．6067 B．6066 C．6065 D．6064
9．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有
纵横两种形武（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排
列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用
横式表示；“0”用空位来代替，以此类推例如3306用算筹表示就是 ，则2022用算筹
可表示为（ ）A． B． C． D．
10．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（ ）
A．﹣190 B．﹣66 C．62 D．64
11．已知整数m ，m ，m ，m ，…满足下列条件：m ＝0，m ＝﹣|1+m |，m ＝﹣|2+m |，m ＝﹣|
1 2 3 4 1 2 1 3 2 4
3+m |，…，以此类推，m ＝ ．
3 2020
12．在2020个“□”中依次填入一列数字m ，m ，m …，m ，使得其中任意四个相邻的“□”中所
1 2 3 2020
填的数字之和都等于15．已知m ＝2，m ＝7，则m +m 的值为 ．
3 6 1 2020
2 7 …
13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次
输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 ．
14．如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是 ．
15．观察图，找出规律．
，则 的值为 ．
16．观察以下等式：第1个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第2个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第3个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第4个等式： ×（2﹣ ）＝1+ ；
第2021个等式： ．
17．请你观察： ， ， ；…
+ ＝ + ＝1﹣ ＝ ；
+ + ＝ + + ＝1﹣ ＝ ；…
以上方法称为“裂项相消求和法”．
请类比完成：
（1） + + + ＝ ；
（2） + + + +…+ ＝ ；
（3）计算： 的值．
18．先阅读下列内容，然后解答问题．
因为 ．
所以 ．
请解答：
（1）应用上面的方法计算： … ．（2）类比应用上面的方法计算： … ．
19．观察以下图案和算式，解答问题：
（1）1+3+5+7+9＝ ；
（2）1+3+5+7+9+…+19＝ ；
（3）请猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝ ；
（4）求和号是数学中常用的符号，用 表示，例如 ，其中n＝2是下标，5是上标，3n+1
是代数式， 表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：
＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46
请求出 的值，要求写出计算过程，可利用第（2）（3）题结论．
20．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：
加数m的个数 和S
1 2＝1×2
2 2+4＝6＝2×33 2+4+6＝12＝3×4
4 2+4+6+8＝20＝4×5
5 2+4+6+8+10＝30＝5×6
（1）按这个规律，当m＝6时，和为 ；
（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为： ＝
．
（3）应用上述公式计算：
①2+4+6+…+200；
②202+204+206+…+300．
21．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……
（1）请根据你发现的规律填空：7×9+1＝（ ）2；
（2）用含n的等式表示上面的规律： ；
（3）用找到的规律解决下面的问题：
计算：
22．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，
这个常数是 ；根据此规律，如果a （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a ＝ ，
n 18
a
n
＝ ；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n❶，将①式右边顺序倒置，
得S＝n+…+4+3+2+1❷，由❷式+❶式，得2S＝ ；∴S＝ ；由结论求1+2+3+4+…+55＝
；
（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，
这个常数是 ；根据此规律，如果a （n为正整数）表示这个数列的第 n项，那么a ＝
n 18
，a ＝ ；
n
②为了求1+3+32+33+…+32018的值，可令M＝1+3+32+33+…+32018❶，则3M＝3+32+33+…+32019❷，
由❷式﹣❶式，得3M﹣M＝32019﹣1，∴M＝ ，即1+3+32+33+…+32018＝ ．仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+551．
