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第 01 讲 二次根式
【题型1 二次根式的概念】
【题型2 求二次根式的参数】
【题型3二次根式有意义的条件】
【题型4 利用二次根式的性质化简】
【题型5复合二次根式的化简】
考点1：二次根式的相关概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根号．
如 都是二次根式。
二次根式满足条件：
（1）必须含有二次根号
（2）被开方数必须是非负数
【题型1 二次根式的概念】
【典例1】（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√a −❑√a √33 ❑√a2
【变式1-1】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列式子中，是二次根式的是（ ）
1
A．❑√2 B．❑√−2 C． D．π
3
【变式1-2】（23-24八年级下·浙江温州·期末）当x=1时，二次根式❑√2x+1的值为（ ）
A．1 B．❑√2 C．❑√3 D．2
【变式1-3】（23-24八年级下·江西南昌·期末）当a=6时，二次根式❑√a−2的值是（ ）
A．−2 B．2 C．4 D．16【题型2 求二次根式的参数】
【典例2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若❑√3m是一个整数，则正整数m的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-1】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）已知❑√6n+4是整数，则正整数n的最小值
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若❑√54a是整数，则正整数a的最小值是
．
【变式2-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知❑√x=3,那么x2= ．
【题型3二次根式有意义的条件】
❑√x+2
【典例3】（23-24八年级下·全国·期末）要使 有意义，则x的取值范围是（ ）
x−1
A．x>−2 B．x≠1 C．x≥−2且x≠1 D．x>−2且x≠1
【变式3-1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）使❑√x−10有意义的x的取值范围是
．
【变式3-2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数x，y满足
y=❑√x−2+❑√2−x+3❑√2，则x y2= ．
❑√x−1
【变式3-3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）在函数y= 中，自变量x的取值
x−5
范围是（ ）
A．x≥1 B．x≤1 C．x≤1且x≠5 D．x≥1且x≠5
考点2：二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性 : (主要用于二次根式的计算)（3）转化性：
【题型4 利用二次根式的性质化简】
【典例4】（24-25九年级上·四川内江·期中）若 ，则
2b) ❑√7+4❑√3
解：首先把❑√7+4❑√3化为❑√7+2❑√12，这里m=7，n=12；由于4+3=7，4×3=12，即 ，
(❑√4) 2+(❑√3) 2=7，❑√4⋅❑√3=❑√12
。
∴❑√7+4❑√3=❑√7+2❑√12=❑√(❑√4+❑√3) 2=2+❑√3
根据上述例题的方法化简：
(1)❑√12−2❑√35；
(2)❑√5−❑√24；
(3)❑√4+❑√15+❑√4−❑√15．
【变式5-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小李同学进行了以下探索：
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
设
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2
（其中a、b、m、n均为整数），则有
a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小李同学就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若
a+b❑√3=(m+n❑√3) 2
，用含m、n的式子分别表
示a、b，得：a=______，b=______；
(2)若
a+4❑√3=(m+n❑√3) 2 ,
且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：❑√25+4❑√6．
一、单选题
1．（22-23八年级下·江苏·周测）若二次根式❑√2−x有意义，则（ ）
A．x≥2 B．x<2 C．x≠2 D．x≤2
2．（24-25八年级上·山西运城·期中）下列各式中，化简正确的是（ ）A． B．
❑√4=±2 ❑√(−3) 2=−3
C．
(−❑√6) 2=6
D．
(❑√−3) 2=−3
3．（24-25九年级上·河南周口·期中）已知❑√12n是整数，则满足条件的最小正整数n为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.（24-25八年级上·陕西西安·期中）若 ，则x的值为（ ）
❑√x2=4
A．±4 B．4 C．16 D．±16
5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简
的结果是（ ）
❑√(b−a) 2+|2b)
A．a−3b B．−a C．a+b D．2a+b
二、填空题
6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）若x，y为实数，且y=❑√x−1+❑√1−x+2024，则
xy= ．
7．（24-25八年级上·四川·期中）已知m，n为实数，且m+❑√n−2024=2+❑√2024−n，
则m−n= ．
8．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点A(x+2,3−x)在第四象限，化简
．
❑√(x+2) 2+|x−3)=
三、解答题
9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
①√ 2 √8 √22×2 √2；
❑2 =❑ =❑ =2❑
3 3 3 3
√ 3 √3
②❑3 =3❑ ；
8 8√ 4 √ 4
③❑4 =4❑ ；
15 15
√ 5
④❑5 =_________；
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(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果n为正整数(n≥2)，用
含n的式子表示上述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
10．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，这样就可以将 进行化简，
3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ❑√3+2❑√2
即： ．
❑√3+2❑√2=❑√ (1+❑√2) 2=1+❑√2
善于思考的小明进行了以下探索：
对于a+2❑√b，若能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=❑√b，则a+2❑√b可变形为
，即 ，从而使得 ．（其中
m2+n2+2mn (m+n) 2 ❑√a+2❑√b=❑√(m+n) 2=m+n
a,b,m,n均为正数）
例如：∵ ，
4+2❑√3=1+3+2❑√3=(❑√1) 2+(❑√3) 2+2❑√3=(1+❑√3) 2
．
∴❑√4+2❑√3=❑√ (1+❑√3) 2=1+❑√3
请你参考小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简：❑√5+2❑√6；
(2)化简：❑√7−4❑√3；(3)若 ，其中 ， 都是整数，直接写出 的值．
❑√a2+4❑√5=b+❑√5 a b a
