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2022-2023 学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 14 解分式方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·汉阴期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反
映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯
亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB
路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【答案】B
【完整解答】解：设通过AB的速度是xm/s，
根据题意可列方程： ，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的解且符合题意.
所以通过AB时的速度是1m/s.
故答案为：B.
【思路引导】根据路程、速度与时间之间的关系，分别表示出小敏通过AB及BC段的时间，根据共用时22
秒列出方程，然后求出方程的解.
2．（2分）（2021八上·永定期末）关于x的方程 有增根，则m的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A【完整解答】解：两边都乘（x﹣1），得：
m﹣1－x＝0，
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2.
故答案为：A.
【思路引导】所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此先求出增根是x=1，再根据分式方程的增根是
将分式方程去分母得的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，将x=1代入整式方程求出m即可.
3．（2分）（2021八上·凉山期末）已知关于 的分式方程 无解，则 的值为
（ ）
A．0 B．0或－8 C．－8 D．0或－8或－4
【答案】D
【完整解答】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当m+4=0时，方程无解，
故m= -4；
∴当m+4≠0，x=2时，方程无解，
∴
故m=0；
∴当m+4≠0，x= -2时，方程无解，
∴
故m=-8；∴m的值为0或－8或－4.
故答案为：D.
【思路引导】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方
程的分母等于0，据此即可得出答案.
4．（2分）（2021八上·南沙期末）若正整数m使关于x的分式方程 的解为
正数，则符合条件的m的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【完整解答】解：去分母得：m=x（x-1）-（x-2）（x+2），
即m=4-x，
解得x=4-m，
由x为正数且（x-1）（x+2）≠0可得：4-m＞0且m≠6或3，
解得：m＜4且m≠3，．
∵m为正整数，
∴m的值为1，2共2个数．
故答案为：A．
【思路引导】先解方程求出x=4-m，再求出m＜4且m≠3，最后求解即可。
5．（2分）（2021八上·嵩明期末）若关于x的方程 的解大于0，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由 ，解得： ，
∴ 且a-1≠0，
∴ ，
故答案为：A．【思路引导】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解大于0，列出不等式 且a-1≠0，求解a
的取值范围即可。
6．（2分）（2021八上·铁岭期末）关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【完整解答】去分母得，m-3=x-1，
解得x=m-2，
∵关于x的分式方程 的解为正数，
∴m-2＞0，
∴m＞2，
∵x-1≠0，
∴x≠1，即m≠3，
故答案为：D．
【思路引导】先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程得出x的值，再利用解为正数且x-1≠0，得
出m-2＞0且m≠3，再解不等式确定m的范围即可。
7．（2分）（2021八上·永州月考）已知关于x的方程 的增根是1，则字母a的取值
为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】A
【完整解答】解： ，去分母得：3x-（x+a）=0①，
∵关于x的方程 的增根是1，
∴把x=1代入①得：3-（1+a）=0，
解得：a=2，
故答案为：A.
【思路引导】分式方程的增根就是使其最简公分母为0的根，据此求出x=1，再将分式方程化为整式方程，
又分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，然后将x=1代入整式方程求出a值.
8．（2分）（2021八上·西峰期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：A. ，是一元一次方程，不符合题意；
B. ，是一元一次方程，不符合题意；
C. ，是分式方程，符合题意；
D. ，是一元一次方程，不符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，观察各选项可得是分式方程的
选项.
9．（2分）（2021八上·开福月考）如果关于x的方程 有正整数解，且关于y的不等式组 至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（ ）个.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【完整解答】解：解方程 得，x= ，
∵x-6≠0，
∴x≠6，
∴ ≠6，
∴a≠3，
∵ 有正整数解，
∴整数a=1，2，6，9，18，
解不等式组得 ，
∴不等式组的解集为： ，
∵关于y的不等式组 至少有两个偶数解，
∴a-1≤2，
∴a≤3，
∴满足条件的整数a有两个1，2.
故答案为：C.
【思路引导】解关于x的分式方程，用含a的式子表示出x，根据分式有意义的条件可得x≠6，则a≠3，
由分式方程有正整数解可得a的值；表示出不等式组的解集，根据其至少有两个偶数解可得a≤3，据此可
得满足条件的整数a的值.10．（2分）（2022八下·巴中期末）已知关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值
范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【完整解答】解：∵ ，
∴m+3=2x-1，
∴2x=m+4，
∴ ，
∴m+4>0，
解得m>-4，
∵ ，
∴m≠-3，
故答案为：D.
【思路引导】先解分式方程，根据分式方程的解为正数列不等式求解，结合分式的分母不等于0，求出m
的范围，即可作答.
二．填空题（共10小题，满分10分，每小题1分）
11．（1分）（2022八下·沭阳期末）若关于x的分式方程 的解是非负数，则a的取
值范围是 .【答案】 且
【完整解答】解： ，
去分母得2x=3a-2（2x-2）
移项、合并同类项，得6x=3a+4
系数化为1，得
∵分式方程 的解是非负数，且 ，
∴ ， ，
解得 ，且 ，
故答案为： 且 .
【思路引导】给方程两边同时乘以2x-2可得2x=3a-2(2x-2)，然后表示出x，根据方程的解为非负数可得
x≥0且x≠1，求解可得a的范围.
12．（1分）（2022八下·惠山期末）若关于 x的分式方程 有增根，则实数 m的值是
.
【答案】3
【完整解答】解：去分母得：x+2=m，
由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：1+2=m，
解得：m=3.
故答案为：3.
【思路引导】方程两边同乘以（x-1）约去分母将分式方程转化为整式方程，由分式方程的增根就是使最简公分母为0的根可得x=1，又由分式方程的增根是将分式方程去分母所得的整式方程的根，故将x=1代
入求解可得m的值.
13．（1分）（2022八下·龙岗期末）关于x的分式方程 无解，则m＝ ．
【答案】3或
【完整解答】解：去分母得 ，
即 ，
当分母为0时，方程无解，即 ，
∴
∴ ；
当 时，方程无解，
∴ ．
故答案为：3或
【思路引导】先求出 ，再分类讨论，计算求解即可。
14．（1分）（2022七下·长兴期末）关于x的分式方程 有增根，则a的值是 ．
【答案】2
【完整解答】解：∵ ，
∴ax=2+x-1，
∵分式方程有增根，增根为x=1，∴a·1=2+1-1，
∴a=2.
故答案为：2.
【思路引导】先把分式方程转去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，即x=1，代入整式方程求解a
即可.
15．（1分）（2022七下·温州期末）若方程 的解为 ，则方程
的解为 ．
【答案】
【完整解答】解：∵ ， ，
令x=2y，则两个分式方程为同解分式方程，
又∵x= 是方程 的解，
∴2y= ，
∴y= ，
经检验，y= 是分式方程 的解.
故答案为： .【思路引导】观察两个分式方程，令x=2y，则两个分式方程为同解方程，又x= 是方程
的解，即得2y= ，即可求得y的值.
16．（1分）（2022八下·建邺期末）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为
.
【答案】 且
【完整解答】解：去分母得： ，
解得： ，
∵该方程的解是正数
∴ ，
解得 ，
又∵当 时，该分式方程的左边两项分母为0，∴ ，
故答案为： 且 .
【思路引导】去分母可得m+3=x-1，则x=m+4，根据分式方程的解为正数可得x>0且x≠1，据此求解.
17．（1分）（2022·齐齐哈尔）若关于x的分式方程 的解大于1，则m的取值范
围是 ．
【答案】m >0且m≠1
【完整解答】解：方程两边同时乘以 得到： ，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，∴ ，解得： ，
又分式方程的分母不为0，
∴ 且 ，解得： 且 ，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
【思路引导】先求出分式方程的解，再结合分式方程的解大于1且不等于正负2列出不等式组求解即可。
18．（1分）（2022·泸州）若方程 的解使关于 的不等式 成立，则实
数 的取值范围是 .
【答案】a＜-1
【完整解答】解：
去分母得：
解得：
经检验， 是分式方程的解
把 代入不等式 得：
解得a＜-1
故答案为：a＜-1.
【思路引导】给分式方程两边同时乘以(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的
值，然后进行检验可得分式方程的解，然后将x的值代入不等式中进行求解可得a的范围.
19．（1分）（2021九上·包头月考）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是 ．
【答案】2【完整解答】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，
解得a＜ 且a≠﹣1．
把关于x的方程 去分母得ax﹣1﹣x＝3，
解得
∵x≠﹣1，
∴ ，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)为整数，
∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，
而a＜ 且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，
∴满足条件的所有整数a的和是2．
故答案是：2．
【思路引导】由关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，可得a+1≠0且△＞0，据
此求出a的范围，然后求出分式方程的解 ，根据此解为整数，再结合a的范围即可确定a
值.
20．（1分）（2019九上·梁平期末）若数a使关于x的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于y的方程 的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为 .
【答案】2
{x-1 1+x
< ①
【完整解答】解： 2 3 ，
5x-2≥x+a ②
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
该不等式组有且只有四个整数解，
该不等式组的解集为： ，且 ，
解得： ，
又∵ ，
方程两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
该方程的解为非负数，
且 ，
解得： 且 ，
综上可知：符合条件的正整数a的值为2，
故答案为：2.【思路引导】分别求出每个不等式的解集，由该不等式组有且只有四个整数解，可得 ，
且 ，从而求出a的范围.然后求出分式方程的解y=2-a，由于此方程的解为非负数，可得
且 ，求出a的范围，从而求出正整数a的值,
三．解答题（共9小题，满分70分）
21．（6分）（2022八下·沭阳期末）解方程：
（1）（3分）
（2）（3分）
【答案】（1）解：
2（x-1）=x+3
2x-2=x+3
x=5，
检验：当x=5时，（x+3）（x-1） 0，
∴原分式方程的解为x=5；
（2）解：
1=x-1-3（x-2）
1=x-1-3x+6
2x=4
x=2，
检验：当x=2时，x-2=0，故x=2不是原分式方程的解；
∴原分式方程无解.
【思路引导】（1）给方程两边同时乘以(x+3)(x-1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，求解得出x的值，然后进行检验即可；
（2）给方程两边同时乘以(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，求解得出x的值，然后进行检验
即可.
22．（6分）（2022八下·仁寿期中）如果关于 的方程 的解，也是不等式组
的解，求 的取值范围.
【答案】解：
方程两边同时乘以 得
∵
∴ ；
解①得，解②得，
∴不等式组的解集为 ；
∵关于 的方程 的解，也是不等式组 的解
∴
∴ 的取值范围 .
故答案是：
【思路引导】给分式方程两边同时乘以(x+2)(x-2)可得(x+2)(x-2)-x(x+2)=2m，求解可得x=-m-2，根据分
式有意义的条件可得x≠±2，即-m-2≠±2，求出不等式组的解集，然后结合题意可得关于m的不等式组，
求解即可.
23．（6分）（2022八下·长沙竞赛）已知关于x的方程 只有一个实数根，求实
数a的值.
【答案】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0，△=4（2a－1），
（1）当△=0，即a= 时，显然x= 是原方程的解.
（2）当△＞0，即a＞ 时，x= （1+ ），x= （1－ ），
1 2
显然x＞0，∴x≠－1，x≠0，它是原方程的解，
1 1 1
∴只需x=0或－1时，x 为增根，此时原方程只有一个实数根，
2 2
∴当x=0时，即 （1－ ）=0，得：a=1；
2当x=－1时，即 （1－ ）=－1，得：a=5.
2
综上，当a= ，1，5时原方程只有一个实数根.
【思路引导】将原方程去分母得到整式方程，算出方程根的判别式的值，分当△=0时，a= ，显然x=
是原方程的解；当△＞0时，根据求根公式求出x，只需x 为增根，此时原方程只有一个实数根，求解可
2
得a的值.
24．（6分）（2021八上·昌平期末）若关于x的分式方程 的解是正数，当m取最大整数
时，求 的平方根．
【答案】解：解分式方程 ，得
x=6-m，
∵
∴ ，即
∵
∵分式方程 的解是正数，
∴6-m>0，
∴m<6，
∴m的取值范围是m<6，且
可得m取最大整数5，
当m=5时，
m2+2m+1的平方根为：=±6．
【思路引导】先求出 6-m>0， 再求出 m的取值范围是m<6，且 ，最后计算求解即可。
25．（7分）（2021八上·吉林期末）定义一种新运算“ ”，规则如下： ， ，
这里等式右边是实数运算，例如： ．求 中 的值．
【答案】解：根据题中的新定义化简得： ，即 ，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ．
【思路引导】 根据新定义可得方程 ，然后求解即可.
26．（7分）（2021八上·高邑期中）小辉在解一道分式方程 的过程如下：
方程整理，得 ，
去分母，得x﹣1﹣1＝3x﹣4，
移项，合并同类项，得x＝1，
检验，经检验x＝1是原来方程的根．
小辉的解答是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】解：有错误，
正确的解答如下：整理，得： ，
去分母，得：x﹣1﹣（x﹣2）＝3x﹣4，
解得：x ，
检验：当x 时，x﹣2≠0，
∴x 是原分式方程的解．
【思路引导】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
27．（7分）（2020七下·上城期末）静静同学解分式方程 的过程如下：
去分母得：﹣6x﹣2（3﹣x）＝5（x﹣1）
去括号得：﹣6x﹣6﹣2x＝5x﹣5
移项得：﹣6x﹣2x﹣5x＝﹣5﹣6
合并同类项得：﹣13x＝﹣11
两边同除以13得：x 经检验x 是方程的解.
静静的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】解：静静的解答过程有错误，
正确的解答过程为：
去分母得：6x-2（3-x）=5（x-1）
去括号得：6x-6+2x=5x-5
移项得：6x+2x-5x=-5+6
合并同类项得：3x=1
两边同除以3得：x= ，经检验，x= 是方程的解，
所以原方程的解为：x= .
【思路引导】观察原解答过程，可知静静的解答过程有错误；先去分母，将分式方程转化为整式方程，然
后求出整式方程的根，检验可得方程的根.
28．（10分）阅读下面材料，解答问题.
解方程： .
解：设 ，则原方程化为 .
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 .
经检验 都是方程 的根.
∴当 时， ，觕得 ；
当 时， ，解得 .
经检噞 或 都是原分式方程的偨，
∴原分式堭的根为 或 .
上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：
（1）（2分）若在方程 中，设 ，则原为程可化为 .（2）（3分）若在方程 中，设 ，则原方䅜可化为 .
（3）（5分）利用上述换元法解方程 .
【答案】（1）
（2）
（3）解：原方程可化为 ，设 ，则原方程化为 ，
方程两讱同时乘 得 ，解得 ，
经检验 都是方程 的梖.
当 时， ，该方程无解；
当 时， ，解得 ，
经检验 是原分式方程的根，
∴原分式方程的根为
【完整解答】（1）设y= ，则 ，
∴原方程可化为 =0，故答案为： =0；
（2）设y= ，则 ，
∴原方程可化为 =0，
故答案为： =0；
【思路引导】 （1）将所设的y代入原方程即可；
（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y= ， 将原方程化为y− =0，求出y的值并检验是否为原方程
的解，然后再代入y= ，解方程求出x的值即可.
29．（14分）（2021八上·交城期末）
（1）（2分）下面是小颖同学解分式方程 ＝1的过程．请认真阅读并完成相应的任务．
解：方程两边同乘 ▲ ，得x2＋x﹣12＝x（x﹣3）． ………第
一步
去括号，得x2＋x﹣12＝x2﹣3x． ………第二步
移项、合并同类项，得4x＝12. ………第三步
解得x＝3. ………第四步
①第一步中空白处应为 ，这一步的目的是 ．其依据是 ；
②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你补全这一步，并说明这一步不能缺少的理由．
（2）（6分）新概念运用：运符号“ ”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为： ＝ad﹣bc，
请你根据上述规定，求出下列等式中x的值： ＝1
【答案】（1）x（x﹣3）；去分母；等式的基本性质；检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方
程的增根，原方程无解． 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验
（2）解：根据题中的新定义化简所求方程得：
，
分母得：2+1＝x﹣1，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1＝3≠0，
∴x＝4是分式方程的解，
故x的值为4．
【思路引导】（1）根据解分式方程的去分母方法，即可得出答案；
（2）根据解分式方程的一般步骤，即可得解。
