文档内容
第 03 讲 二次根式的加减【8 个必考点】
【人教版】
【知识点1 二次根式的加减】..................................................................................................................................2
【必考点1 可以合并的二次根式】..........................................................................................................................2
【必考点2 二次根式的加减运算】..........................................................................................................................4
【知识点2 二次根式的混合运算】..........................................................................................................................6
【必考点3 二次根式的混合运算】..........................................................................................................................7
【必考点4 乘法公式在二次根式的混合运算中的应用】...................................................................................10
【必考点5 二次根式先化简再求值】...................................................................................................................13
【必考点6 二次根式中巧用乘法公式化简求值】...............................................................................................15
【必考点7 二次根式的应用】................................................................................................................................18
【必考点8 二次根式阅读材料题】.......................................................................................................................22
【知识点1 二次根式的加减】
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤可归结如下：
(1)化成最简二次根式；
(2)找出被开方数相同的二次根式；
(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变.
【必考点1 可以合并的二次根式】
√2
【例1】（2024春•武威期中）下列二次根式：①❑√12；②❑√22；③❑ ；④❑√27中，能与❑√3合并的是
3
（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：①❑√12=2❑√3，能与❑√3合并；
②❑√22，不能与❑√3合并；
√2 ❑√6
③❑ = ，不能与❑√3合并；
3 3
④❑√27=3❑√3，能与❑√3合并；故选：C．
【例2】（2024春•锡山区校级月考）最简二次根式a−√b2a与❑√a+3可以合并，则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．
{2a=a+3)
【解答】解：由题意得： ，
a−b=2
{a=3)
解得： ，
b=1
∴a+b＝4，
故选：C．
√2
【变式1】（2024春•鹤山市校级月考）下面二次根式：①❑√48；②❑√23；③❑√27；④❑ 化简后与❑√3
3
可以合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【分析】先将二次根式进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：①❑√48=❑√16×3=4❑√3，可以与❑√3合并，符合题意；
②❑√23 =2❑√2，不可以与❑√3合并，不符合题意；
③❑√27=❑√9×3=3❑√3，可以与❑√3合并，符合题意；
√2 ❑√6
④❑ = ，不可以与❑√3合并，不符合题意；
3 3
故符合题意的只有①③．
故选：C．
【变式2】（2024秋•沈丘县校级月考）下列各组根式中，能合并的是（ ）
√1
A．❑√3和❑√8 B．❑√3和❑
3
C．❑√a2b和❑√ab2 D．❑√a+1和❑√a2−1
【分析】根据同类二次根式的定义以及同类项的定义判断即可．
【解答】解：A、❑√8=2❑√2，与❑√3不是同类二次根式，不能合并；
√1 ❑√3
B、项❑ = ，与❑√3是同类二次根式，可以合并；
3 3
C、相同字母的指数不相同，不是同类项；D、相同字母的指数不相同，不是同类项；
故选：B．
【变式3】（2024秋•东坡区校级期中）已知最简二次根式❑√4a+3与b+√12a−b+6可以合并，则a+b的值
为 ．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．
{ b+1=2 )
【解答】解：由题意得， ，
4a+3=2a−b+6
{a=1)
解得， ，
b=1
则a+b＝1+1＝2，
故答案为：2．
【变式4】（2024春•乐陵市校级月考）若最简二次根式2m❑√3n、3❑√m+2n−5可合并，则m﹣n＝
．
【分析】同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出m﹣n的值即可．
【解答】解：根据题意得3n＝m+2n﹣5，
整理得，m﹣n＝5．
故答案为：5．
【必考点2 二次根式的加减运算】
【例1】计算：
√1 √1
（1）❑√32−2❑ +❑√48−❑ ；
3 8
√ 1 2
（2）（❑√8−2❑√0.25）﹣（❑1 +❑√50+ ❑√72）
8 3
【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
√1 √1
【解答】解：（1）❑√32−2❑ +❑√48−❑
3 8
2❑√3 ❑√2
＝4❑√2− +4❑√3−
3 4
15❑√2 10❑√3
= + ；
4 3
√ 1 2
（2）（❑√8−2❑√0.25）﹣（❑1 +❑√50+ ❑√72）
8 3
3❑√2 2
＝2❑√2−1− −5❑√2− ×6❑√2
4 331❑√2
＝﹣1− ．
4
【例2】计算下列各题：
1 1
（1）2❑√12+ ❑√27− ❑√48；
2 4
√1 √x √1
（2）（x❑ +4❑√y）﹣（❑ −y❑ ）．
x 4 y
【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
1 1
【解答】解：（1）2❑√12+ ❑√27− ❑√48
2 4
3
＝4❑√3+ ❑√3−❑√3
2
9❑√3
=
2
√1 √x √1
（2）（x❑ +4❑√y）﹣（❑ −y❑ ）
x 4 y
❑√x
=❑√x+4❑√y− +❑√y
2
❑√x
= +5❑√y．
2
【变式1】计算：
2 √x √1
（1） ❑√9x+6❑ −2x❑ ；
3 4 x
1
（2） +❑√8−❑√2+1．
❑√2−1
【分析】（1）把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝2❑√x+3❑√x−2❑√x
＝3❑√x；
（2）原式=❑√2+1+2❑√2−❑√2+1
＝2❑√2+2．
【变式2】计算：
1 √1
（1）3❑√18+ ❑√50−4❑
5 21 √x √1
（2）5❑√x+ ❑ +2x❑ （x＞0）．
2 4 x
【分析】（1）先把各根式化为最减二次根式，再合并同类项即可；
（2）先根据x＞0把各根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝9❑√2+❑√2−2❑√2
＝（9+1﹣2）❑√2
＝8❑√2；
1
（2）原式＝5❑√x+ ❑√x+2❑√x
4
1
＝（5+ +2）❑√x
4
29
= ❑√x．
4
【变式3】计算．
（1）❑√18+❑√12−❑√8−❑√27
√1 √4 1
（2）❑ +2❑√20−4❑ − ❑√5
5 5 5
1 2 √ 1 √3
（3）❑√8− ❑√48−（ ❑4 −2❑ ）
8 3 2 4
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式可得答案；
（2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式可得答案；
（3）先化简各二次根式，再合并同类二次根式可得答案．
【解答】解：（1）原式＝3❑√2+2❑√3−2❑√2−3❑√3=❑√2−❑√3；
❑√5 8❑√5 ❑√5 12❑√5
（2）原式= +4❑√5− − = ；
5 5 5 5
1 2 3❑√2 ❑√3
（3）原式＝2❑√2− ❑√3− × +2×
2 3 2 2
❑√3
＝2❑√2− −❑√2+❑√3
2
❑√3
=❑√2+ ．
2
【变式4】计算：√1
（1）5（❑√8−❑ ）﹣（❑√50−❑√45）：
5
√1 √2 √1
（2）❑√24−❑ +2❑ −（❑ +❑√6）
2 3 8
√ y2 √ y2
（3）4❑ +6❑ −（7❑√x+5❑√x2）（x＞0，y≥0）
x ❑√x
【分析】（1）先化简各二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可得；
（2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（3）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得．
❑√5
【解答】解：（1）原式＝5×（2❑√2− ）﹣（5❑√2−3❑√5）
5
＝10❑√2−❑√5−5❑√2+3❑√5
＝5❑√2+2❑√5；
❑√2 2❑√6 ❑√2
（2）原式＝2❑√6− + − −❑√6
2 3 4
❑√6 3❑√2
= − ；
3 4
2y❑√x 6 y❑√❑√x
（3）原式= + −7❑√x−5x
x x
2y−7x 6 y❑√❑√x
= ❑√x+ −5x．
x x
【知识点2 二次根式的混合运算】
（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算；
（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算.
因此:运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘
法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的
方法，化分母为整式.
【必考点3 二次根式的混合运算】
√1
【例1】（2024春•崇阳县期末）计算：❑√48÷❑√3+❑ ×❑√12−❑√24−❑√(−4) 2．
2
【分析】先化简，然后计算加减法即可．
√1
【解答】解：❑√48÷❑√3+❑ ×❑√12−❑√24−❑√(−4) 2
2=❑√16+❑√6−2❑√6−4
＝4+❑√6−2❑√6−4
=−❑√6．
【例2】（2024春•嵩明县期末）计算
√1
（1）−❑√24÷❑√2−❑ ×❑√12+❑√48；
3
√1
（2）(❑√8+❑√3)×❑√6−4❑ ．
2
【分析】（1）先化简，再算乘除法，最后合并同类二次根式；
（2）先化简，再算乘法去括号，再合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式=−2❑√6÷❑√2−❑√4+4❑√3
=−2❑√3−2+4❑√3
=2❑√3−2．
（2）原式=(2❑√2+❑√3)×❑√6−2❑√2
=2❑√2×❑√6+❑√3×❑√6−2❑√2
=4❑√3+3❑√2−2❑√2
=4❑√3+❑√2．
√1
【变式1】（2024春•互助县期末）计算题：❑√27÷❑√3−2❑ ×❑√10+❑√8．
5
【分析】先算乘除，再算加减即可．
√1
【解答】解：❑√27÷❑√3−2❑ ×❑√10+❑√8
5
√27 √1
=❑ −2❑ ×10+2❑√2
3 5
=❑√9−2❑√2+2❑√2
＝3．
【变式2】计算：
√1
（1）❑√24÷❑√3−❑√0.5−❑ ×❑√6；
8
√1
（2）❑√12（❑√75+3❑ −❑√48）．
3
【分析】（1）先算乘除法，再合并同类二次根式；
（2）先化简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根．√1
【解答】解：（1）❑√24÷❑√3−❑√0.5−❑ ×❑√6
8
❑√2 ❑√3
＝2❑√2− −
2 2
3❑√2 ❑√3
= − ；
2 2
√1
（2）❑√12（❑√75+3❑ −❑√48）
3
＝2❑√3（5❑√3+❑√3−4❑√3）
＝2❑√3×2❑√3
＝12．
【变式3】计算：
❑√6 √1
（1）❑√48÷2❑√3−❑√27× +4❑ ；
3 2
√1
（2）（❑√20+5+❑√5）÷❑√5−❑ ×❑√24−❑√5．
3
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的除法和乘法运算，然后合并即
可；
（2）先利用二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并即可．
❑√6 ❑√2
【解答】解：（1）原式＝4❑√3÷2❑√3−3❑√3× +4×
3 2
＝2−❑√3×6+2❑√2
＝2﹣3❑√2+2❑√2
＝2−❑√2；
√20 5 √1
（2）原式=❑ + +1−❑ ×24−❑√5
5 ❑√5 3
＝2+❑√5+1﹣2❑√2−❑√5
＝3﹣2❑√2．
【变式4】计算：
1 2
（1）|1−❑√3|−❑√2×❑√6+ −（ ）﹣2；
2−❑√3 3
1 ❑√18−❑√8
（2）❑√2×（❑√2+ ）− ；
❑√2 ❑√24 √1
（3）（❑√27×3❑√6+ ❑√50−8❑ ）÷❑√2；
5 2
❑√18 3
（4）（ +❑√3−❑√5）（❑√2− +❑√5）．
3 ❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：
（1）按照运算顺序，结合二次根式的运算法则运算即可；
（2）按照运算顺序，结合二次根式的运算法则运算即可；
（3）按照运算顺序，结合二次根式的运算法则运算即可；
（4）按照运算顺序，结合二次根式的运算法则以及平方差公式运算即可．
1 2
【解答】解：（1）|1−❑√3|−❑√2×❑√6+ −（ ）﹣2
2−❑√3 3
9
=❑√3−1−2❑√3+2+❑√3−
4
5
=− ；
4
1 ❑√18−❑√8
（2）❑√2×（❑√2+ ）−
❑√2 ❑√2
＝3﹣3+2
＝2；
4 √1
（3）（❑√27×3❑√6+ ❑√50−8❑ ）÷❑√2
5 2
4
=(3❑√3×3❑√6+ ×5❑√2−4❑√2)÷❑√2
5
=(27❑√2+4❑√2−4❑√2)÷❑√2
=27❑√2÷❑√2
＝27；
❑√18 3
（4）（ +❑√3−❑√5）（❑√2− +❑√5）
3 ❑√3
=(❑√2+❑√3−❑√5)(❑√2−❑√3+❑√5)
=[❑√2+(❑√3−❑√5)][❑√2−(❑√3−❑√5)]
=2−(❑√3−❑√5) 2
=2−3−5+2❑√15
=−6+2❑√15．【必考点4 乘法公式在二次根式的混合运算中的应用】
【例1】计算：
（1）(❑√5−2) 2 +(❑√5+1)(❑√5+3)；
（2）（3❑√6−4❑√2）（3❑√6+4❑√2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式、以及二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝5+4﹣4❑√5+5+3❑√5+❑√5+3
＝17；
（2）原式＝（3❑√6）2﹣（4❑√2）2
＝54﹣32
＝22．
【例2】计算：
（1）(3❑√ax−4❑√by)(3❑√ax+4❑√by)；
（2）(❑√2−❑√3+❑√5)(❑√2+❑√3−❑√5)；
（3）(❑√2−1)(❑√2+1) 2．
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再把所得的结果合并即可；
（3）先算乘方，再进行计算即可．
【解答】解：（1）(3❑√ax−4❑√by)(3❑√ax+4❑√by)=（3❑√ax）2﹣（4❑√by）2＝9ax﹣16by；
（2）(❑√2−❑√3+❑√5)(❑√2+❑√3−❑√5)=（❑√2）2﹣（❑√3−❑√5）2＝2﹣3﹣5+2❑√15=−6+2❑√15；
（3）(❑√2−1)(❑√2+1) 2 =（❑√2−1）×3＝3❑√2−3．
【变式1】计算：
（1）（2❑√3−❑√18）（❑√12+3❑√2）；
（2）（❑√3−1）2+（❑√3+2）2﹣2（❑√3−1）（❑√3+2）；
（3）（❑√2+❑√3−❑√5）2﹣（❑√2−❑√3+❑√5）2；
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）先利用完全平方公式以及整式乘法法则计算，再去括号合并同类二次根式即可；
（3）利用平方差公式计算即可；
【解答】解：（1）（2❑√3−❑√18）（❑√12+3❑√2）＝（2❑√3−3❑√2）（2❑√3+3❑√2）
＝12﹣18
＝﹣6；
（2）（❑√3−1）2+（❑√3+2）2﹣2（❑√3−1）（❑√3+2）
＝（3﹣2❑√3+1）+（3+4❑√3+4）﹣2（3+2❑√3−❑√3−2）
＝（4﹣2❑√3）+（7+4❑√3）﹣2（1+❑√3）
＝4﹣2❑√3+7+4❑√3−2﹣2❑√3
＝9；
（3）（❑√2+❑√3−❑√5）2﹣（❑√2−❑√3+❑√5）2
＝（❑√2+❑√3−❑√5+❑√2−❑√3+❑√5）（❑√2+❑√3−❑√5−❑√2+❑√3−❑√5）
＝2❑√2×（2❑√3−2❑√5）
＝4❑√6−4❑√10；
【变式2】（2024秋•仁寿县期中）计算：
❑√3
（1）(❑√5+❑√6)(❑√5−❑√6)+ ×❑√12；
2
（2）(❑√2+❑√3) 2−❑√8÷❑√2．
【分析】（1）将平方差公式展开，再化简二次根式，进行计算即可得；
（2）先展开完全平方公式，再化简二次根式，进行计算即可得．
❑√3×12
【解答】解：（1）原式=5−6+
2
＝﹣1+3
＝2；
（2）原式=2+2❑√6+3−❑√8÷2
=5+2❑√6−2
=3+2❑√6．
【变式3】计算：
（1）(❑√3+❑√2) 2n+1×(❑√2−❑√3) 2n+2（n为正整数）．
（2）（❑√5+2❑√3+❑√2）（❑√5−2❑√3+❑√2）
【分析】（1）利用积的乘方进行计算．（2）观察各式子的特点，运用平方差公式计算较简单．
【解答】解：（1）原式＝[（❑√2+❑√3）（❑√2−❑√3）]2n+1•（❑√2−❑√3）＝（2﹣3））2n+1•（❑√2−❑√3）
＝﹣（❑√2−❑√3）
=❑√3−❑√2．
（2）原式＝[（❑√5+❑√2）+2❑√3]×[（❑√5+❑√2）﹣2❑√3]
＝（❑√5+❑√2）2﹣（2❑√3）2
＝5+2❑√10+2﹣12
＝2❑√10−5．
【变式4】计算：
√1
（1）（3❑√12−2❑ +❑√48）÷2❑√3；
3
1 3
（2）（7+4❑√3）（2−❑√3）2+ ❑√108− ；
2 ❑√3
√1 ❑√10 3
（3）|2−❑√5|−❑√2（❑ − ）+ ；
8 2 2
√9 ❑√3+❑√6
（4）❑√18−❑ − +（❑√3−2）0+❑√(1−❑√2) 2．
2 ❑√3
【分析】（1）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（2）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（3）根据绝对值的意义，二次根式混合运算的法则计算即可；
（4）根据零指数幂的意义和二次根式混合运算的法则即可即可．
√1
【解答】解：（1）（3❑√12−2❑ +❑√48）÷2❑√3
3
2❑√3
＝（6❑√3− +4❑√3）÷2❑√3
3
1
＝3− +2
3
14
= ；
3
1 3
（2）（7+4❑√3）（2−❑√3）2+ ❑√108−
2 ❑√3
＝（7+4❑√3）（7﹣4❑√3）+3❑√3−❑√3
＝1+2❑√3；√1 ❑√10 3
（3）|2−❑√5|−❑√2（❑ − ）+
8 2 2
1 3
=❑√5−2+ +❑√5+
2 2
＝2❑√5；
√9 ❑√3+❑√6
（4）❑√18−❑ − +（❑√3−2）0+❑√(1−❑√2) 2
2 ❑√3
3❑√2
＝3❑√2− −1−❑√2+1+❑√2−1
2
3❑√2
= −1．
2
【必考点5 二次根式先化简再求值】
√ y √ x 1 1
【例1】先化简，再求值：❑√25xy−x❑ −4 y❑ + ❑√x y3，其中x= ，y＝27．
x y y 3
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式=❑√xy，然后把x、y的值代入计算．
1
【解答】解：∵x= ＞0，y＝27＞0，
3
∴原式＝5❑√xy−❑√xy−4❑√xy+❑√xy
=❑√xy，
1 √1
当x= ，y＝27时，原式=❑ ×27=❑√9=3．
3 3
x❑√y−y❑√x x❑√y+y❑√x
【例2】（1）先化简，再求值： − ，其中x＝3，y＝2．
x❑√y+y❑√x y❑√x−x❑√y
1 1 ❑√ab
（2）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a=❑√3+1，b=❑√3−1．
a−❑√ab ❑√ab+b a−b
❑√x−❑√y ❑√x+❑√y
【分析】（1）先运用因式分解的方法，再约分得到原式= + ，接着分母有理化，然
❑√x+❑√y ❑√x−❑√y
后把x、y的值代入计算即可；
❑√a+❑√b ❑√a−❑√b
（2）先运用因式分解的方法，再利用乘法的分配律计算，则约分得到原式= + ，接
a❑√b b❑√a
着分母有理化，然后把x、y的值代入计算即可．
❑√xy(❑√x−❑√y) ❑√xy(❑√x+❑√y)
【解答】解：（1）原式= −
❑√xy(❑√x+❑√y) ❑√xy(❑√y−❑√x)❑√x−❑√y ❑√x+❑√y
= +
❑√x+❑√y ❑√x−❑√y
(❑√x−❑√y) 2 (❑√x+❑√y) 2
= +
x−y x−y
2x+2y
= ，
x−y
2×3+2×2
当x＝3，y＝2时，原式= =10；
3−2
1 1 (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
（2）原式＝[ + ]•
❑√a(❑√a−❑√b) ❑√b(❑√a+❑√b) ❑√ab
1 (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) 1 (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
= • + •
❑√a(❑√a−❑√b) ❑√ab ❑√b(❑√a+❑√b) ❑√ab
❑√a+❑√b ❑√a−❑√b
= +
a❑√b b❑√a
❑√ab+b a−❑√ab
= +
ab ab
❑√ab+b+a−❑√ab
=
ab
a+b
= ，
ab
❑√3+1+❑√3−1
当a=❑√3+1，b=❑√3−1时，原式= =❑√3．
(❑√3+1)(❑√3−1)
√ y √ x 2 √9x
【变式1】先化简，再求值：2x2❑ +5❑√xy−y2❑ + y2❑ （x＞0，y＞0），其中x＝3+2❑√2，y＝
x y3 3 y
3﹣2❑√2．
【分析】利用二次根式的化简的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
√ y √ x 2 √9x
【解答】解：2x2❑ +5❑√xy−y2❑ + y2❑ （x＞0，y＞0）
x y3 3 y
＝2x❑√xy+5❑√xy−❑√xy+2y❑√xy
＝2❑√xy（x+y）+4❑√xy，
∵x＝3+2❑√2，y＝3﹣2❑√2，
∴x+y＝6，xy＝1，
∴原式＝2×1×6+4×1＝12+4
＝16．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 x3−x y2
【变式2】已知x= ，y= ，求 (x+y)的值．
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 x4 y+2x3 y2 +x2y3
【分析】首先化简x与y的值，再计算xy，x+y，x﹣y的值，利用因式分解对约去的代数式进行变形，
即可计算结果．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【解答】解：∵x= =5+2❑√6，y= =5﹣2❑√6，
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
∴xy＝25﹣24＝1，x+y＝10，x﹣y＝4❑√6，
x(x+y)(x−y) x−y
∴原式= （x+y）= =4❑√6．
x2y(x2 +2xy+y2 ) xy
4 ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b
【变式3】已知a＝3，b＝4，求[ + ]÷ 的值．
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) ❑√ab(❑√b−❑√a) ❑√ab
【分析】首先把原式化简，然后代入a、b的值求解．
4 ❑√a+❑√b ❑√a−❑√b
【解答】解：[ + ]÷
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) ❑√ab(❑√b−❑√a) ❑√ab
−(❑√a−❑√b) 2 1
= =− ，
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) 2 ❑√a+❑√b
当a＝3，b＝4时，原式=❑√3−2．
x+y 2xy 3❑√x−2❑√y
【 变 式 4 】 已 知 M= − ，N= ． 甲 、 乙 两 个 同 学 在
❑√x−❑√y x❑√y−y❑√x ❑√x+y+❑√y−x
y=❑√x−8+❑√8−x+18的条件下分别计算了M和N的值．甲说M的值比N大，乙说N的值比M大．
请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由．
【分析】先由题意计算出xy的值，再将xy的值分别代入M、N，求出结果，再进行比较即可．
【解答】解：乙的结论正确．（1分）
理由：由y=❑√x−8+❑√8−x+18，可得x＝8，y＝18．（3分）
x+y 2❑√xy (❑√x−❑√y) 2
因此M= − = =❑√x−❑√y=❑√8−❑√18=−❑√2．（6分）
❑√x−❑√y ❑√x−❑√y ❑√x−❑√y
3❑√8−2❑√18 6❑√2−6❑√2
N= = =0．
❑√26+❑√10 ❑√26+❑√10
∴M＜N，即N的值比M大．
【必考点6 二次根式中巧用乘法公式化简求值】
1 1
【例1】已知x= ，y= ，求下列代数式的值：
2+❑√3 2−❑√3
（1）x2﹣xy+y2；
y x
（2） + ．
x y
【分析】（1）根据题意可得x=2−❑√3，y=2+❑√3，进而可得x−y=−2❑√3，xy＝1，然后将原式整理
为（x﹣y）2+xy，然后代入求值即可；
(x−y) 2 +2xy
（2）将原式整理为 ，然后代入求值即可．
xy
1 1
【解答】解：（1）∵x= =2−❑√3，y= =2+❑√3，
2+❑√3 2−❑√3
∴x−y=2−❑√3−2−❑√3=−2❑√3，xy=(2−❑√3)×(2+❑√3)=22−(❑√3) 2 =4−3=1，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
=(−2❑√3) 2 +1
＝12+1
＝13；
y x
（2） +
x y
x2 +y2
=
xy
(x−y) 2 +2xy
=
xy
(−2❑√3) 2 +2
=
1
＝12+2
＝14．
n m
【例2】（1）已知m=❑√5+1，n=❑√5−1．求代数式 + 的值．
m n（2）已知：a=3+2❑√2，b=3−2❑√2，求代数式a2﹣3ab+b2的值．
n m
【分析】（1）求出m+n和mn的值，将 + 变形，代入，即可求值，
m n
（2）求出a+b和ab的值，将a2﹣3ab+b2变形，代入，即可求值．
【解答】解：（1）∵m=❑√5+1，n=❑√5−1，
∴m+n=❑√5+1+❑√5−1=2❑√5，mn=(❑√5+1)(❑√5−1)=(❑√5) 2 −12 =5−1=4
n m m2 +n2 (m+n) 2−2mn (2❑√5) 2 −2×4 20−8
∴ + = = = = =3；
m n mn mn 4 4
（2）∵a=3+2❑√2，b=3−2❑√2，
∴a+b=3+2❑√2+3−2❑√2=6，ab=(3+2❑√2)(3−2❑√2)=32−(2❑√2) 2 =9−8=1，
∴a2﹣3ab+b2＝（a+b）2﹣5ab＝62﹣5×1＝31．
【变式1】已知x=2−❑√3，y=2+❑√3，求下列式子的值：
1 1
（1） + ；
x y
（2）2x2﹣xy+2y2．
1 1 x+y
【分析】（1）先求得x+y＝4，xy＝1，将代数式整理得 + = ，再整体代入求解即可；
x y xy
（2）将代数式整理得2（x+y）2﹣5xy，再整体代入求解即可．
【解答】解：（1）∵x=2−❑√3，y=2+❑√3，
∴x+y＝4，xy＝1，
1 1 x+y
∴ + = =4；
x y xy
（2）∵x=2−❑√3，y=2+❑√3，
∴x+y＝4，xy＝1，
∴2x2﹣xy+2y2
＝2（x2+y2）﹣xy
＝2（x+y）2﹣5xy
＝2×42﹣5＝27．
【变式2】化简求值：
❑√2+1 ❑√3−1
（1）已知：x= ，y= ，求x2﹣y2的值．
❑√2−1 ❑√3+1❑√20−4 1
（2）已知：x=
，求x2
+ 的值．
2 x2
【分析】本题中所给条件的值比较繁杂，所以要先化简条件的值，再代入求值．
❑√2+1 ❑√3−1
【解答】解：（1）∵x= =3+2❑√2，y= =2−❑√3，
❑√2−1 ❑√3+1
∴x2﹣y2＝（3+2❑√2）2﹣（2−❑√3）2＝9+12❑√2+8﹣（4﹣4❑√3+3）
＝10+12❑√2+4❑√3；
❑√20−4
（2）∵x= =❑√5−2，
2
1 1
∴x2+ =（❑√5−2）2+（ ）2＝9﹣4❑√5+9+4❑√5
x2 ❑√5−2
＝18．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【变式3】（1）已知a= ，b= ，求a2﹣3ab+b2的值；
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
1 1
（2）已知x= （❑√5a+7b+❑√5a−7b），y= （❑√5a+7b−❑√5a−7b），求x2+xy+y2的值．
3 3
【分析】（1）把a、b的值化简，求出a+b、ab的值，把原式化为（a+b）2﹣5ab，再整体代入求值；
（2）求出x+y和xy的值，把x2+xy+y2写成（x+y）2﹣xy，再代入求值．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2
【解答】解：（1）∵a= =（❑√3+❑√2）2＝5+2❑√6，b= =（❑√3−❑√2）2＝5﹣2❑√6，
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
∴a+b＝10，ab＝（5+2❑√6）（5−2❑√6）＝25﹣24＝1，
∴原式＝（a+b）2﹣5ab＝100﹣5＝95；
1 1
（2）∵x= （❑√5a+7b+❑√5a−7b），y= （❑√5a+7b−❑√5a−7b）
3 3
2 1 14
∴x+y= ❑√5a+7b，xy= （5a+7b﹣5a+7b）= b
3 9 9
∴原式＝（x+y）2﹣xy
2 14
＝（ ❑√5a+7b）2− b
3 9
4 14
= （5a+7b）− b
9 9
20 14
= a+ b．
9 9【必考点7 二次根式的应用】
【例1】（2024秋•成都期末）如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的
面积为 ．
【分析】先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为（❑√3+❑√2），宽为2的矩形的面积减去两个正
方形的面积，可得到图中阴影部分的面积．
【解答】解：三个正方形的边长分别为❑√3，❑√2，2，
图中阴影部分的面积：（❑√3+❑√2）×2﹣2﹣3＝2❑√3+2❑√2−5．
故答案为：2❑√3+2❑√2−5．
【例2】（2024•重庆模拟）我国南宋时期的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公
式，也叫三斜求积公式．即：若一个三角形的三边长分别为 a，b，c，那么该三角形的面积为S＝
，现已知△ABC三边长分别为2，3，❑√13，则△ABC的面积是 ．
【分析】直接利用三斜求积公式，把a、b、c的值代入三角形的面积公式，结合二次根式的性质化简得
出答案．
【 解 答 】 解 ： 若 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积 为 ： S
√1 a2 +b2−c2 2
=❑ [a2b2−( ) ]，
4 2
√1 22 +32−(❑√13) 2 2
已知△ABC三边长分别为2，3，❑√13，则△ABC的面积是：❑ [22×32−(
)
]=3．
4 2
√1 a2 +b2−c2 2
故答案为：❑ [a2b2−( ) ]；3．
4 2
【变式1】（2024秋•新乐市期末）【数学抽象】：
1 √ 1
（1）用“＝”“＞”“＜”填空：4+3 2❑√4×3；1+ 2❑1× ；5×5 2❑√5×5．
6 6
（2）由（1）中各式猜想m+n与2❑√mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由；
（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱
笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2❑√mn；比较大小，可以作差，m+n﹣2❑√mn
，联想到完全平方公式，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a+2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最
小值．
【解答】解：（1）∵4+3＝7，2❑√4×3=4❑√3，
∴72＝49，（4❑√3）2＝48，
∵49＞48，
∴4+3＞2❑√4×3；
1 7 √ 1 ❑√6
∵1+ = ＞1，2❑1× = ＜1，
6 6 6 3
1 √ 1
∴1+ ＞2❑1× ；
6 6
∵5×5＝25，2❑√5×5=10，
∴5×5＜2❑√5×5．
故答案为：＞，＞，＜．
（2）m+n≥2❑√mn（m≥0，n≥0）．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵（❑√m−❑√n）2≥0，
∴（❑√m）2﹣2❑√m•❑√n+（❑√n）2≥0，
∴m﹣2❑√mn+n≥0，
∴m+n≥2❑√mn．
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：a+2b≥2❑√a⋅2b=2❑√2ab=2❑√2×200=2×20＝40，
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
【变式2】（2023秋•攸县期末）新版北师八年级（上）数学教材 P51页第22题指出：设一个三角形的三1
边长分别为a，b，c，P= (a+b+c)，则有下列面积公式；S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)（海伦公
2
√1 a2 +b2−c2 2
式）．S=❑ [a2b2−( ) ]（秦九韶公式）．
4 2
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这
个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
1 1
∴p= (a+b+c)= (5+6+7)= ．
2 2
根据海伦公式可得：S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)= ．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是❑√5，❑√6，❑√7，求这个三角
形的面积．
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求解；
（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．
1 1
【解答】解：（1）p= (a+b+c)= ×(5+6+7)=9，
2 2
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)=❑√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=❑√9×4×3×2=6❑√6，
故答案为：9，6❑√6．
（2）∵a=❑√5，b=❑√6，c=❑√7，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7，
√1 a2 +b2−c2 2
∴S=❑ ×[a2b2−( ) ]
4 2
√1 5+6−7 2
=❑ ×(5×6−( ) )
4 2
√1 4 2
=❑ ×(30−( ) )
4 2
√1
=❑ ×(30−4)
4
√13
=❑
2❑√26
= ．
2
【变式3】（2024秋•内乡县期中）如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为❑√72m，宽
AB为❑√32m，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为(❑√10+1)m，宽
为(❑√10−1)m．
（1）求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通
道，购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．
【解答】解：（1）(❑√72+❑√32)×2
=(6❑√2+4❑√2)×2
=10❑√2×2
=20❑√2（米）．
答：长方形ABCD的周长为20❑√2米．
（2）❑√72×❑√32−(❑√10+1)×(❑√10−1)
=6❑√2×4❑√2−(10−1)
＝48﹣9
＝39（平方米）．
6×39＝234（元）．
答：购买地砖需要花费234元．
【变式4】（2024春•涧西区期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方
式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B．（1）图①截出的正方形木板A的边长为 dm，B的边长为 dm；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你
判断能否截出，并说明理由．
【分析】（1）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行求解；
（2）运用长方形的面积公式和二次根式知识进行求解；
（3）运用正方形的面积公式和二次根式知识进行计算、辨别、求解；
【解答】解：（1）∵❑√12=2❑√3，❑√27=3❑√3，
∴正方形木板A的边长为2❑√3dm，B的边长为3❑√3dm，
故答案为：2❑√3，3❑√3；
（2）根据题意得，
2❑√3×（3❑√3−2❑√3）
＝2❑√3×❑√3
＝6（dm2），
∴图①中阴影部分的面积是6dm2；
（3）不能截出，理由如下：
∵52＝25，
∴面积为 25dm2 的两个正方形木板的边长均为5dm，
∴5+5=10=❑√100＞❑√75=5❑√3，
∴不能在长方形木板②上截出面积为 25dm2 的两个正方形木板．
【必考点8 二次根式阅读材料题】
【例1】（2024秋•六盘水期中）阅读下列材料，然后回答问题．
3 √2 2
二次根式 ，❑ ， ，可以进一步化简：
❑√5 3 ❑√3+1
3 3×❑√5 3
= = ❑√5（一）；
❑√5 ❑√5×❑√5 5√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = （二）；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1（三）；
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2 2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1)
式子 也可以这样化简： = = = =❑√3−1（四）；
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
2
（1）请参照（三）式、（四）式，用两种不同的方法化简 ；
❑√7+❑√5
1 1 1 1
（2）直接利用上面的结论化简： + + +⋯+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【分析】（1）方法一：把分子分母都乘以（❑√7−❑√5），然后利用平方差公式计算；
方法二：利用二次根式的性质把分子化为（❑√7）2﹣（❑√5）2，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
2 2(❑√7−❑√5)
【解答】解：（1）方法一： = =❑√7−❑√5；
❑√7+❑√5 (❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5)
2 (❑√7) 2−(❑√5) 2 (❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5)
方法二： = = =❑√7−❑√5；
❑√7+❑√5 ❑√7+❑√5 ❑√7+❑√5
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2n+1−❑√2n−1
（2）原式= + + +•••+
2 2 2 2
❑√2n+1−1
= ．
2
【例2】（2024春•襄城区期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ．
善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b❑√2=(m+n❑√2) 2 （其中a、b、m、n圴为整数），
则有a+b❑√2=m2 +2n2 +2❑√2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，用含m、n的式子分别表示a，
b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，填写合适的正整数a与n，填空： +4❑√3=（2+ ❑√3）2；
（3）若a+8❑√3=(m+n❑√3) 2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式将(m+n❑√3) 2展开得到m2 +3n2 +2mn❑√3，再和a+b❑√3的系数作对
比，从而可用m、n表示a，b；
（2）根据设a+b❑√3=(m+n❑√3) 2得到m＝2，b＝4，代入a＝m2+3n2，b＝2mn，即可求解；
（3）根据完全平方公式求出a＝m2+3n2，8＝2mn，得出mn＝4，根据a、m、n均为正整数，得m＝1，
n＝4；m＝2，n＝2或m＝4，n＝1，m＝1，n＝4分别代入即可求出答案．
【解答】解：（1）若a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，
则a+b❑√3=m2 +3n2 +2mn❑√3，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）设a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，
∵a+b❑√3=m2 +3n2 +2mn❑√3，
∴______+4❑√3=(2+______❑√3) 2得：
m＝2，b＝4，
∴4＝2×2n，a＝22+3n2，
解得：n＝1，a＝7，
故答案为：7，1；
（3）∵a+8❑√3=(m+n❑√3) 2，
∴a＝m2+3n2，8＝2mn，
∴mn＝4，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝4；m＝2，n＝2；m＝4，n＝1，当m＝1，n＝4时，时a＝12+3×42＝49；
当m＝2，n＝2时，a＝22+3×22＝16；
当m＝4，n＝1时，a＝42+3×12＝19；
∴a的值是49、16或19．
【变式1】（2024春•望城区期末）阅读材料：像(2−❑√3)(2+❑√3)=1，…这样两个含有二次根式的代数
式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如❑√2+1与❑√2−1，2❑√3+❑√6
与2❑√3−❑√6等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根
号．
1 1×❑√2 ❑√2 7 7(2❑√3−❑√5)
例如： = = ； = =2❑√3−❑√5．
3❑√2 3❑√2×❑√2 6 2❑√3+❑√5 (2❑√3+❑√5)(2❑√3−❑√5)
解答下列问题：
（1）3−❑√5与 互为有理化因式；
6 ❑√2
（2）计算： − ；
❑√3 ❑√6+2
a b
（3）已知有理数a，b满足 − =3−❑√2，求a，b的值．
❑√2−1 ❑√2
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【解答】解：（1）∵(3−❑√5)×(3+❑√5)=9−5=4，
∴3−❑√5与3+❑√5互为有理化因式，
故答案为：3+❑√5；
6 ❑√2
（2） −
❑√3 ❑√6+2
6❑√3 ❑√2(❑√6−2)
= −
❑√3×❑√3 (❑√6+2)(❑√6−2)
6❑√3 2❑√3−2❑√2
= −
3 2
=2❑√3−❑√3+❑√2
=❑√3+❑√2；
a b
（3）∵ −
❑√2−1 ❑√2a(❑√2+1) b❑√2
= −
(❑√2−1)(❑√2+1) 2
b❑√2
=❑√2a+a−
2
b
＝a+（a− ）❑√2
2
＝3−❑√2，
b
∴a＝3，a− =−1，
2
∴a＝3，b＝8．
【变式2】（2024春•江海区期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成
另 一 个 式 子 的 平 方 ． 如 3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ， 善 于 思 考 的 小 明 进 行 了 以 下 探 索 ， 若 设
a+b⋅❑√2=(m+n⋅❑√2) 2 =m2 +2n2 +2❑√2mn（其中a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝
2mn，这样小明就找到一种把式子a+b⋅❑√2化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问
题：
（1）若a+b⋅❑√5=(m+n⋅❑√5) 2，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：
a＝ ，b＝ ；
（2）若a+4❑√3=(m+n⋅❑√3) 2，当a，m，n均为正整数时，求a的值；
（3）化简❑√11+6❑√2，请直接写出结果．
【分析】（1）仿照例题计算即可得；
（2）仿照例题计算，得出 a＝m2+3n2，mn＝2，根据m，n均为正整数确定 m和n的值，代入 a＝
m2+3n2即可求解；
（3）令11+6❑√2=(m+n⋅❑√2) 2，m，n均为正整数，仿照（2）中作法求出m和n的值，再利用二次
根式性质化简❑√11+6❑√2得出答案．
【解答】解：（1）∵a+b⋅❑√5=(m+n⋅❑√5) 2 =m2 +5n2 +2mn❑√5，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，故答案为：m2+5n2，2mn；
（2）∵a+4❑√3=(m+n⋅❑√3) 2 =m2 +3n2 +2mn❑√3，
∴a＝m2+3n2，2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴m＝1，n＝2，或m＝2，n＝1，
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13，
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7，
综上可知，a的值为13或7；
（3）令11+6❑√2=(m+n⋅❑√2) 2，m，n均为正整数，
∵(m+n⋅❑√2) 2 =m2 +2n2 +2mn❑√2，
∴m2+2n2＝11，2mn＝6，
∴mn＝3，
∵m，n均为正整数，
∴m＝1，n＝3，或m＝3，n＝1，
当m＝1，n＝3时，m2+2n2＝12+2×32＝19，与m2+2n2＝11矛盾，不合题意，
当m＝3，n＝1时，m2+2n2＝32+2×12＝11，符合题意，
∴11+6❑√2=(3+❑√2) 2 ，
∴❑√11+6❑√2= ❑√ (3+❑√2) 2 =3+❑√2．
【变式3】（2023秋•盘州市期末）请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
8
我们已经知道(❑√13+3)(❑√13−3)=4，因此将 分子、分母同时乘“❑√13+3”，分母就变成了
❑√13−3
4，例如：
1 ❑√3+❑√2 1 ❑√2−1
= =❑√3+❑√2， = =❑√2−1．
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
1
（1）模仿材料中的计算方法，化简 = ❑√7−❑√6 ；
❑√7+❑√6
1 1 1 1 1
（2）求解：( + + +⋯+ + )(❑√2027+❑√3)；
2+❑√3 ❑√5+❑√4 ❑√6+❑√5 ❑√2026+❑√2025 ❑√2027+❑√2026❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（3）m为正整数，a= ，b= 且a2+1823ab+b2＝1857，求m的值．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
1
（2）先证明 =❑√n+1−❑√n，再把所求式子裂项，最后化简即可得到答案；
❑√n+1+❑√n
（3）先求出 ab＝1，进而得到 a2+b2＝34，则可推出 a+b＝6；求出a=(❑√m+1−❑√m) 2 ，
b=(❑√m+1+❑√m) 2 ，得到(❑√m+1−❑√m) 2 +(❑√m+1+❑√m) 2 =6，即可求出m＝1．
1
【解答】解：（1）
❑√7+❑√6
❑√7−❑√6
=
(❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6)
❑√7−❑√6
=
7−6
=❑√7−❑√6，
故答案为：❑√7−❑√6；
1 ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n
（2） = = =❑√n+1−❑√n，
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n) n+1−n
1 1 1 1 1
∴( + + +⋯+ + )(❑√2027+❑√3)
2+❑√3 ❑√5+❑√4 ❑√6+❑√5 ❑√2026+❑√2025 ❑√2027+❑√2026
=(2−❑√3+❑√5−2+❑√6−❑√5+⋯+❑√2026−❑√2025+❑√2027−❑√2026)(❑√2027+❑√3)
=(❑√2027−❑√3)(❑√2027+❑√3)
=(❑√2027) 2−(❑√3) 2
＝2027﹣3
＝2024；
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（3）∵a= ，b= ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
∴ab= ⋅ ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(❑√m+1−❑√m)(❑√m+1+❑√m)
=
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
＝1，∵a2+1823ab+b2＝1857，
∴a2+1823+b2＝1857，
∴a2+b2＝34，
∴a2+2ab+b2＝36，即（a+b）2＝36，
∴a+b＝6；
∵a=
❑√m+1−❑√m
=
(❑√m+1−❑√m) 2
=
(❑√m+1−❑√m) 2
=(❑√m+1−❑√m) 2 ，
❑√m+1+❑√m (❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m) m+1−m
b=
❑√m+1+❑√m
=
(❑√m+1−❑√m) 2
=
(❑√m+1+❑√m) 2
=(❑√m+1+❑√m) 2 ，
❑√m+1−❑√m (❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m) m+1−m
∴(❑√m+1−❑√m) 2 +(❑√m+1+❑√m) 2 =6，
∴m+1−2❑√m+1❑√m+m+m+1+2❑√m+1❑√m+m=6，
∴4m+2＝6，
∴m＝1．
