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第 03 讲 二次根式的加减
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【题型2 二次根式的加减】
【题型3 二次根式的混合运算】
【题型4 二次根式的化简求值】
【题型5 二次根式的实际应用】
【题型6 分母有理化】
考点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合
并的依据式乘法分配律，如
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【典例1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各式中，与❑√3是同类二次根式的是
（ ）
A．❑√9 B．❑√12 C．❑√15 D．❑√18
【变式1-1】（24-25八年级上·全国·期末）与❑√5可以合并的二次根式是（ ）
A．❑√10 B．❑√15 C．❑√20 D．❑√25
【变式1-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若❑√3和最简二次根式❑√7−2m是同类二次
根式，则m的值为（ ）
A．m=2 B．m=3 C．m=5 D．m=6
【变式1-3】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若❑√18与最简二次根式❑√m−1能合并同类
项，则m的值为 ．考点2：二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
【题型2 二次根式的加减运算】
【典例2】（24-25八年级上·全国·期中）计算：
(1) (2) √1 1 ❑√3
2❑√3+3❑√12−❑√48 ❑√8+3❑ − +
3 ❑√2 2
1 ❑√2 √ 3 √1
(3)❑√50− +2❑√20−❑√45+ (4)❑√108+❑ +❑ −❑√32
❑√5 2 25 2
【变式2-1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算：
√1
(1)❑√8+❑√32−❑√2 (2)❑ +❑√27−❑√9
3
【变式2-2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算：
√2 √1
(1)❑ −❑√216+42❑ (2)|❑√7−3)+❑√(−2) 2+√38+❑√7
3 6【变式2-3】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算：
√ 1 √1 1
(1)|❑√9−5|+❑2 +√3−0.125； (2)❑√27+5❑ −❑√12+ ❑√45；
4 5 2
考点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【题型3 二次根式的混合运算】
【典例3】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算：
(1) (2+❑√3) 2 −(3−2❑√2)(3+2❑√2) ； (2)( 2❑√12−2❑ √1 +❑√27 ) ÷2❑√3 ．
3
【变式3-1】（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：
(1) (2)
❑√18×❑√2−❑√25+❑√(−3) 2 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)+(2❑√3−3❑√2) 2
【变式3-2】24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）计算：
(1)(❑√3+❑√2) 2 −(❑√5−2)(❑√5+2)； (2)❑
√2
−4❑√216+42❑
√1
．
3 3
【变式3-3】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）计算．(1)3❑√18−
1
❑√32+4❑
√1
+√3−8 (2)(❑√5−❑√6)(❑√5+❑√6)−(❑√5−1) 2
2 8
【题型4 二次根式的化简求值】
【典例4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：
3 1
(❑√2x+❑√y)(❑√2x−❑√y)−(❑√2x−❑√y) 2，其中x= ，y= ．
4 2
【变式4-1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知x=❑√5+1，y=❑√5−1，求下列各
代数式的值：
(1)x2y−x y2；
(2)x2−xy+ y2
【变式4-2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，再求值：
，其中 ， ．
(x+ y)(x−y)+(x+ y) 2−2y(x−y) x=−1 y=❑√3
【变式4-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求
x2−xy+ y2的值；【题型5 二次根式的实际应用】
【典例5】（23-24八年级下·陕西延安·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为
12cm2和27cm2的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积．
【变式5-1】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式
在木板上截出两个面积分别为27dm2和75dm2的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，
估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：
❑√2≈1.414，❑√3≈1.732)
【变式5-2】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）已知三角形三边之长能求出三角形的
面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是： ，其中S表示三角形的面
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
a+b+c
积，a,b,c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p= ．
2
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
(1)在△ABC中，已知AB=9,BC=10,CA=11，求△ABC的面积；
(2)计算（1）中△ABC的BC边上的高．
【变式5-3】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）高空抛物是一种不文明的危险行为，
据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t(s)和高度ℎ(m)近似满足公式t=❑
√ℎ
（不
5
考虑阻力的影响）．
(1)求物体从40m的高空落到地面的时间．
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）E=10×物体质量(kg)×高度(m)，某质
量为0．05kg的鸡蛋经过6s落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能
得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量）
考点5：分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
【题型6 分母有理化】
【典例6】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在进行二次根式运算时，我们有时会碰
5 √2 2
到形如 ，❑ ， 的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
❑√3 3 ❑√3+1
5 5×❑√3 5
= = ❑√3①；
❑√3 ❑√3×❑√3 3√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ②；
3 3×3 3
2 = 2(❑√3−1) = 2(❑√3−1) =❑√3−1 ③；
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
2
以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 还可以用以下方法化简：
❑√3+1
2 3−1 (❑√3) 2 −12 (❑√3+1)(❑√3−1) ④；
= = = =❑√3−1
❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1 ❑√3+1
2
(1)请用不同的方法化简： ：
❑√5+❑√3
2
a：参照③式得 = ；
❑√5+❑√3
2
b：参照④式得 = ；
❑√5+❑√3
2 1
(2)化简 + ；
❑√10+3 3+2❑√2
1 1 1 1
(3)化简： + + +⋯+ （n为正整数）．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1
【变式6-1】（24-25八年级上·福建宁德·期中）我们已经知道 ，因此
(4+❑√5)(4−❑√5)=11
3 3(4+❑√5) 12+3❑√5像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理
= =
4−❑√5 (4−❑√5)(4+❑√5) 11
数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题
1
(1)计算： ；
❑√6−❑√5
2 3
(2)比较： 与 的大小；
❑√2026−❑√2024 ❑√2028−❑√2025
1 1 1 1
(3)化简： + + +⋅⋅⋅+ ．
❑√9+❑√10 ❑√10+❑√11 ❑√11+❑√12 ❑√24+❑√251 1
【变式6-2】（24-25八年级上·全国·期末）已知x= ，y= ，
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
(1)求xy及x+ y的值；
(2)求x2−3xy+ y2的值．
【变式6-3】（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我们知道平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2，当a≥0,b≥0时，有
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=a−b．
在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如
1 ❑√5−2 ❑√5−2
= = =❑√5−2．
❑√5+2 (❑√5+2)×(❑√5−2) (❑√5) 2 −22
任务：
1
(1)化简： =________．
❑√2−1
1 1
(2)计算： + ．
❑√3−2 2+❑√3
1 1 1
(3)计算： + +...+ ．
❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√48+❑√50
一、单选题
1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列根式中能与❑√3合并的二次根式是（ ）A．❑√8 B．❑√9 C．❑√12 D．❑√18
2．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A．❑√20=2❑√10 B．❑√2+❑√3=❑√5
C．❑√2×❑√3=❑√6 D．❑√12÷❑√2=2❑√3
3.（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为
32cm2和2cm2的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．6❑√2cm2 D．12cm2
二、填空题
4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）化简：❑√27−❑√12= ．
5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）比较大小：2❑√3 ❑√11（填“>”、“=
”、“<”）．
6．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）❑√2与最简二次根式4❑√a−2是同类二次根式，则a=
．
7．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式❑ 2a−4❑√3a+b与❑√a−b是同类
根式，则2a−b= ．
三、解答题
8．（24-25八年级上·上海·期中）计算：先化简，再求值： x2−4 (x2+4x 4)，其中
÷ +
x2−2x x x
x=❑√2−1．
9．（24-25八年级上·福建三明·期中）计算：
(1) √3 (−8)+❑√4−❑√(−3) 2+|1−❑√2) (2) (❑√5−1) 2 −(5+2❑√5)÷❑√5 ．10.（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图是学校的一块正方形绿地，其边长为
(❑√50+2)
m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为
m，宽为 m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上
(❑√6+1) (❑√6−1)
造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参
考数据：❑√2≈1.41）
