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专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞
BC，如果 ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，
AB＝2，则分割后较短线段长为（ ）
A． B． C． D．
2．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄
金分割”，如图，塔高AB为339米，观光区P为塔AB的黄金分割点(AP＞PB)，那么AP
的高度大约为（ ）米．
A．200 B．210 C．300 D．130
3．点 是线段 的黄金分割点，且 ，则 的长为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
4．已知点 是线段 的黄金分割点， ，则 的值为（ ）
A． B． C．0.618 D．
5．如图，线段AB＝1，点P 是线段AB的黄金分割点(且AP＜BP，即PB2＝AP•AB)，点
1 1 1 1 1
P 是线段AP 的黄金分割点(AP＜PP)，点P 是线段AP 的黄金分割点(AP＜PP)，…，
2 1 2 1 2 3 2 3 2 3
依此类推，则线段AP 的长度是( )
20173−√5 √5−1 1
A．( )2017 B．( )2017 C．( )2017 D．(√5﹣2)1008
2 2 2
6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点
G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段
的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，
把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，
若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．有以下命题：
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ；
②如果点 是线段 的中点，那么 是 、 的比例中项；
③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 是 与 的比例中项；
④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，则 ．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
8．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B做
BD⊥AB，使 ；连接DA，在DA上取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE．点C即
为线段AB的黄金分割点，若BD＝2，则BC的长为（ ）A． B． C． D．
9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（ ，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，
最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个
黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， 为 的黄金分
割点 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是______ ．11．人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 法就应用了
黄金分割数．设 ， ，则 ，记 ， ，
…， ．则 ____．
12．点 是线段 的黄金分割点， ，若 ，则 __．
13．如图，线段AB＝1，点P 是线段AB的黄金分割点（AP <BP ），点P 是线段AP 的
1 1 1 2 1
黄金分割点（AP <P P），点P 是线段AP 的黄金分割点（AP <P P），…，依次类推，
2 1 2 3 2 3 2 3
则AP 的长度是______．
n
14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， 为
的黄金分割点 ，如果 的长度为 ，那么 的长度是_____________．
15．已知线段 ，点c是线段 的黄金分割点， ．那么
________．
16．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如
图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是
_____．17．若线段 ， 是 的黄金分割点，且 ，则
．（判断对错）
18．已知点 为线段 的黄金分割点，且 ，则线段 的长为________．
19．点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），若 AC＝2则AB⋅BC ＝______．
20．（如图 1），点 P 将线段 AB 分成一条较小线段 AP 和一条较大线段 BP，如果
，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设 =k，则k就是黄金比，并
且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角
形，黄金三角形的定义为：满足 ≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，
请你给出黄金矩形的定义： ；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定
义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S 和面积为S 的两部分（设S ＜S ），如果
1 2 1 2
，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割
点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
21．如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M，N，P，Q，R，它们分别是各条对
角线的黄金分割点．若AB＝2，则MN的长为__．
三、解答题
AC BC
22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果 = ，那么点C为线段AB的黄
AB AC
金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给
出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分
S S
别为S、S，如果
1= 2
，那么称直线l为该图形的黄金分割线.
1 2 S S
1
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线
CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
23．如图①，点C将线段 分成两部分，如果 ，那么称点C为线段 的黄金
分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给
出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 ， ，如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在 中，若点D为 边上的黄金分割点（如图②），则直线
是 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）在（1）中的 中，研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交
于点E，再过点D作直线 ，交AC于点F，连接 （如图③），则直线 也是
的黄金分割线．请你说明理由；
（4）如图④，点E是平行四边形 的边 的黄金分割点，过点E作 ，交
于点F，显然直线 是平行四边形 的黄金分割线．请你画一条平行四边形
的黄金分割线，使它不经过平行四边形 各边黄金分割点．
24．一般地，点 把线段 分成两条线段 和 ，如果 ，那么称线段 被
点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比．请计算黄金
比．25．阅读与思考
黄金分割
黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一
个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论．后来欧几里得进一步系统论述
了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割指的是把一条线
段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．
黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用．如埃及的金字塔、印度的
泰姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学
家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就
如图1的作法是由《几何原本》中给出：
（1）以线段 为边作正方形 ．
（2）取 的中点 ，连接 ．
（3）在 的延长线上取点 ，使 ．
（4）以线段 为边作正方形 ．
点 就是线段 的黄金分割点．
以下是证明点 是线段 的黄金分割点的部分过程．
证明：设正方形 的边长为1，则 ．
∵点 是 的中点，∴ ．
在 中，由勾股定理得： ．
…
任务：
（1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整．（2）如图2，点 ， 是线段 的两个黄金分割点，且 ，则 _____，
_____．
参考答案
1．B
【分析】
根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比．
【详解】
解：根据黄金分割点的概念得：AC=
∴BC=AB-AC= ；
故选：B．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键．
2．B
【分析】
根据黄金分割比代入求值即可．
【详解】
由题意知： ，
∵AB=339，
∴BP=AB-PA=339-PA，
代入得： ，
解得： ，
故选：B．
【点拨】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般．
3．C
【分析】
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段
分割叫做黄金分割，黄金比为 ，据此进行解答即可得答案.
【详解】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，∴BC= AB= ×6=3 -3，
或BC=6- AB=9-3 ，
故选C．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键.
4．B
【分析】
根据黄金分割比求出AP，PB计算即可；
【详解】
∵点 是线段 的黄金分割点， ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
，
∴ ；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键．
5．A
【分析】
√5−1 3−√5 3−√5
根据黄金分割的定义的BP= AB，则AP =AB-BP= AB= ，利用同样的
1 2 1 1 2 2
2 3
3−√5 (3−√5) (3−√5)
方法可得到AP = AP = ，AP = ，按此规律易得AP 的长度=
2 2 1 2 3 2 nn
(3−√5)
2
【详解】
解答：解：∵线段AB=1，点P 是线段AB的黄金分割点（AP ＜BP），
1 1 1
√5−1
∴BP = AB
1 2
3−√5 3−√5
∴AP =AB-BP= AB= ，
1 1 2 2
∵点P 是线段AP 的黄金分割点（AP ＜PP），
2 1 2 1 2
√5−1
∴P P = AP
1 2 2 1
2
(3−√5)
∴AP =AP-P P=
2 1 1 2 2
3
(3−√5)
同理可得AP =
3
2
2017
(3−√5)
∴AP =
2017
2
故选A.
【点拨】此题重点考察学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.
6．A
【分析】
作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出
BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ,AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故选：A.
【点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三
角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
7．C
【分析】
根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得．
【详解】
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ，正确；
②如果点 是线段 的中点，则 ，
所以 ，
所以 不是 、 的比例中项，错误；
③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 是 与 的比例中项，正确；
④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，
则 ，即 ，
所以 ，正确；
综上，正确的判断有①③④，
故选：C．
【点拨】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键．
8．B
【分析】
由勾股定理求出AD＝2 ，则AC＝AE＝AD﹣DE＝2 ﹣2，得BC＝AB﹣AC＝6﹣2
即可．
【详解】
解：∵BD⊥AB， ，BD＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝ ＝ ＝2 ，
∵DE＝BD＝2，
∴AC＝AE＝AD﹣DE＝2 ﹣2，
∴BC＝AB﹣AC＝4﹣（2 ﹣2）＝6﹣2 ；
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
9．B
【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得
，解得 ，根据 得到
，由此得到答案.
【详解】
解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得
，解得 .
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得 ，
解得 .
由已知可得 ，
解得 .
综上，此人身高m满足 .
所以其身高可能为175cm.
故选：B
【点拨】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答
问题是解答此题的关键.
10．
【分析】
先根据黄金分割的定义求出AP，然后把AP的长度代入求出AB的长即可．
【详解】
解： 为 的黄金分割点（ ），
，
．故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了黄金分割点的定义，若把线段AB分成两条线段AC和BC
（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段
AB的黄金分割点，其中 ．
11．10
【分析】
先根据 求出 （ 为正整数）的值，从而可得 的值，再
求和即可得．
【详解】
解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
12．
【分析】
根据黄金分割的定义即可进行计算解答．
【详解】点 是线段 的黄金分割点，且 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了黄金分割的知识，把线段 分成两条线段 和 ，且使
是 和 的比例中项，叫做把线段 黄金分割．
13．
【解析】
试题分析：若点 是线段 的黄金分割点 ,则 有
,同理点 是线段 的黄金分割点 ,则
也 ,点 是线段 的黄金分割点 ,则
也 .
考点：黄金分割点.
14．（ ）cm
【分析】
利用黄金分割的定义计算出AP.
【详解】
为 的黄金分割点 ，故答案为：（ ）cm.
【点拨】此题考查黄金分割的定义，黄金分割物体的较大部分等于与整体的 .
15．
【分析】
根据黄金比值为 进行计算即可得到答案．
【详解】
解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=6，
∴AC= ×6=3 -3，
BC=6-（3 -3）=9-3 ，
AC-BC=3 -3-（9-3 ）=6 -12；
故答案为：
【点拨】本题考查的是黄金分割的知识和二次根式的计算，理解黄金分割的概念，找出黄
金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
16． ﹣2
【分析】
过A作AH⊥BC于H，先由黄金分割点的定义得BE=CD= BC，然后表示出BD、DE
的长，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝ BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣ BC＝ BC，
∴DE＝BE﹣BD＝ BC﹣ BC＝( ﹣2)AB，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝ ＝ ＝ ＝ ﹣2，
故答案为： ﹣2．
【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC
是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线
段AB的黄金分割点．其中AC= AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
17．错误
【解析】
【分析】
先根据黄金分割的定义列式计算AC的长，再进行比较即可判断．
【详解】
由已知可得 .
故答案为：错误
【点拨】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比，
熟记定义是解题的关键．
18． 或
【分析】
根据黄金分割点的定义，分线段AC为较长的线段和较短的线段两种情况解答即可.
【详解】
①若AC是较长的线段，∵AC=1cm，
∴AB• =AC=1，
解得AB= ；
②若AC是较短的线段，∵AC=1cm，
∴AB• =AC=1，
解得AB= ，
综上所述，AB的长是 或 ．
故答案为 或 ．
【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，解题时注意这里的AC可能是较长线段，也可能
是较短线段；熟记黄金比的值进行计算是解题的关键．
19．4
【解析】
【分析】
根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比
例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
【详解】由题意得：AB⋅BC=AC❑ 2=4.
故答案为：4.
【点拨】此题考查黄金分割，解题关键可知与掌握其概念.
20．（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
（4）无数条
【解析】解：
（1）满足 ≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由 =k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，
由 得，BP2=AP×AB，
即k2=（1﹣k）×1，
解得k= ，
∵k＞0，
∴k= ≈0.618；
（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以 ，
设△ABC的AB上的高为h，则
，
∴
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ
与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
（1）类比黄金三角形的定义进行定义；
（2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；
（4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条．
21．3﹣
【分析】
首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABNE为平行四边形，进而求出EN的长度，再
根据黄金分割点进行计算即可得到MN的长.
【详解】
解：∵五边形ABCDE为正五边形
∴AE＝AB，
∴
同理可得
∴
∵
∴AE∥BD
同理可证明EC∥AB
∴四边形ABNE为平行四边形
∴EN＝AB＝2
∵M、N为CE的黄金分割点
∴M点为EN的黄金分割点
∴EM＝ EN＝
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，黄金分割点等
相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.
22．(1)见解析;(2)见解析.【解析】
【分析】
(1)结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；
(2)根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄金分割线的
概念．
【详解】
S AD S BD
解：∵ ΔACD= , ΔBCD= ，
S AB S AD
ΔABC ΔACD
又∵D是AB的黄金分割点，
AD BD S S
∴ = ， ΔACD= ΔBCD ，
AB AD S S
ΔABC ΔACD
∴CD是△ABC的黄金分割线；
(2)不是．
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，
S 1
∴
ΔACD=
，
S 2
ΔABC
S
而
ΔBCD=1，
S
ΔBCD
S S
∴
ΔACD≠ ΔBCD
，
S s
ΔABC ΔACD
∴中线不是黄金分割线．
【点拨】考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式．
23．（1）对；理由见解析；（2）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；（3）理
由见解析；（4）图见解析．
【详解】
（1）解：直线 是 的黄金分割线．理由如下：
设 的边 上的高为h．
则 ， ， ，∴ ， ．
又∵点D为边 的黄金分割点，
∴ ，
∴ ．
故直线 是 的黄金分割线；
（2）解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴ ，即
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）解：∵ ，
∴ 和 的公共边 上的高也相等，
∴ ，
∴ ，
．
又∵ ，
∴ ．
因此，直线 也是 的黄金分割线；
（4）解：画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如解图①，取 的中点G，再过点G作一条直线分别交 ， 于M，N点，
则直线 就是平行四边形 的黄金分割线．
画法二：如解图②，在 上取一点N，连接 ，再过点F作 交 于点M，连
接 ，则直线 就是平行四边形 的黄金分割线．24．
【分析】
设AB=1，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】
解：设 ， ，则 ，
由 ，得 ，
则 ，
整理得； ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
故黄金比为： ．
【点拨】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线
段是解决问题的关键，注意方程思想的正确运用．
25．（1）见解析；（2）4， ．
【分析】
（1）由图形可知 ， ，即可求证
．即证明点 是线段 的黄金分割点．
（2）根据（1）可得 ，又由题意 ，即可求出 的长，最后由
即可求出BC长．
【详解】
（1）证明：设正方形 的边长为1，则 ．
∵点 是 的中点，
∴ ．在 中，由勾股定理得： ，
则 ，
∴ ，
∴ ， ，
即 ．
故点 是线段 的黄金分割点．
（2）解：∵点 是 的黄金分割点，
根据（1）可得 ，解得 ，
则 ．
故答案为4， ．
【点拨】本题考查正方形的性质，勾股定理以及理解黄金分割的定义．解题的关键是正确
理解题意，明确黄金分割的意义．
