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专题 28.4 锐角三角函数（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
与 相交于点P，则 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 ▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=8，AD=10，BE为∠ABC的平分线.利用尺
规在 ▱ABCD中作图，作图痕迹如图所示，AF交BE于点F，连接FD，则FD的长为（ ）
A．3 B．3 C．5 D．2
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=
（ ）
A． B． C． D．4．如图，四边形 为矩形，点 为边 一点，将 沿 折叠，点 落在
矩形 内的点 处，连接 ，且 ， 的正弦值为 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE， ，P是
AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点 处，当 是
直角三角形时，PD的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．如图，在Rt 和Rt 中， ， ，
AB=AE=5．连接BD，CE，将△ 绕点A旋转一周，在旋转的过程中当 最大时，
△ACE的面积为（ ）．A．6 B． C．9 D．
7．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE、AF，DE
与AF交于点O．连接OC，则OC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，
于E点，交BD于M点，反比例函数 的图象经过线段DC的中点N，
若 ，则ME的长为（ ）
A． B．C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 、 分别在 轴和 轴上，已
知对角线 ． ． 是 边上一点，过点 的反比例函数
的图象与 边交于点 ，若将 沿 翻折后，点 恰好落在 上的点 处，则
的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．在正方形 中， ，点E是 边的中点，连接 ，延长 至点F，
使得 ，过点F作 ，分别交 、 于N、G两点，连接 、 、
，下列正确的是：① ；② ；③ ；④
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，在矩形 中，点 在边 上， 于点 ，若 ，则
的值为________．12．如图，在 中， ， 的垂直平分线 交 边于点 ，垂足为
，若 ， ，则 的长为______．
13．如图，已知点 ，点 为直线 上的一动点，点 ， ，
于点 ，连接 ．若直线 与 正半轴所夹的锐角为 ，那么当 的值最大
时， 的值为________．
14．如图，在菱形纸片ABCD中， ， ，将菱形纸片翻折，使点A落在
CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为__________．15．已知A是双曲线 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点
B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图像
上运动，则这个函数解析式为__________________．
16．如图所示， ， ， 于点B，点D是线段BC上一个动点，且
于点D， ，连接CE，则CE长的最小值是______．
17．如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ，点 是
边上一动点．将 沿 翻折得到 ， 交 于点 ，且点 在 下
方，连接 ．当 是直角三角形时， 的周长为_______________________．18．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合）， ，将 绕
点A逆时针旋转 得到 ，再将 沿直线DE折叠得到 ．下列结论：
①连接AM，则 ；
②连接FE，当F、E、M三点共线时， ；
③连接EF、EC、FC，若 是等腰三角形，则 ；
④连接EF，设FC、ED交于点O，若EF平分 ，则O是FC的中点，且
；
其中正确结论的序号为__________．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点P为线段 外一动点，且 ．
点B为x轴上一点，现在以B为中心，将 顺时针旋转 至 ，连接 ．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）当 轴， 时，求 的长；（3）当点B的坐标为 时，求线段 的最大值（直接写出结果即可）．
20．如图，在 中，点 是 边上的动点，点 是 的中点， ，垂足
为 ， ，垂足为 ，连接 ， .
（1）求证： ：
（Il）若 ， ，连接 ，求 周长的最小值.
21．如图1，矩形ABCD，点E在射线AB上，将 沿ED翻折，使得点A与点G
重合，连接AG交DE于点F．(1)求证： ．
(2)如图2，若点G落在BC边上，且 ，求BE的长．
(3)如图3，点P为BG中点，连接AP， ，点E在射线AB上运动过程中，
求AP长的最大值．
22．定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”，例如：凸四边
形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．
(1)如图（1）A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，
使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求证：四边形AQBC是准平行四边形；
(2)如图（2），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为
5，AB＝6，求四边形ABCD的面积；(3)如图（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准
平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，求BD长的最大值．
23．已知抛物线 （b，c为常数）的图象与x轴交于 ，B两点
（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；
(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为 ，对称轴交x轴于点E，点Q是线段
DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求 的最小值．
24．已知：如图，在 中， ， cm， cm， 为 边
上的高，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 cm/s；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 cm/s．设运动时间为 ．
解答下列问题：
(1) 当 为何值时， ；
(2) 当 中点在 上时，求 的值；
(3) 设四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式，并求 最小值；
(4) 是否存在某一时刻 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
参考答案1．D
【分析】取格点 ，连接 、 ，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得
，求得 ，再根据题意证得 即可求解．
解：取格点 ，连接 、 ，设网格中每个小正方形的边长为1，
则 ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：
【点拨】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
2．D
【分析】通过分析作图痕迹的除相应的作图，可分析出图中做的是角的角平分线，根
据角平分线的性质，结合平行四边形的性质，三角函数，即可解决本题．
解：过 点作 于点 ，如题所示，由作图痕迹可知， 为 的平分线，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，且 ，
∴ ，
∴在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
故选D．
【点拨】本题考查尺规作图，平行四边的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质
和判定，锐角三角函数，勾股定理，能够再图中构造合适的辅助线是解决本题的关键．
3．B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．根据等边对等角，三角形内角
和定理求出∠ABC和∠C，根据角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD，根据三角形外角的
性质求出∠BDC，根据等角对等边确定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示
出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示AE的长度，根据相似三角形的判定定
理和性质列出比例式，并用a表示b，进而用a表示AD的长度，最后根据余弦的定义即可求解．
解：如下图所示，过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴ ．
∵BD平分∠ABC，
∴ ．
∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
∴∠BDC=∠C，AD=BD．
∴AD=BD=BC=b．
∴ ．
∵DE⊥AB，
∴ ．
∵∠ACB=∠BCD，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴用a表示b得 ， （舍）．
∴ ．∴ ．
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，
三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的
定义，综合应用这些知识点是解题关键．
4．A
【分析】过点F作FP⊥AB于点P，根据折叠的性质及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，
从而可得△ADE∽△PFB，由 的正弦值为 ，设EF=25a，则PF=24a，由勾股定理求
得PE=7a，从而可得BP，则由相似可得 ，再由折叠的性质可得点E是AB的中点，
从而可求得结果．
解：如图，过点F作FP⊥AB于点P
由折叠的性质可得：AE=EF，∠AED=∠FED
∵BE=EF
∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF
∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜
∴∠AED=∠EBF
∵四边形ABCD为矩形，PF⊥AB
∴∠A=∠FPB=90゜
∴△ADE∽△PFB
∴
∵在 中，
∴设EF=25a，则PF=24a
由勾股定理求得∴BP=BE－PE=18a
∴
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角
函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，关键是由正弦值出发设EF与PF的长，难点
是证明△ADE∽△PFB．
5．B
【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°，根据勾股定理求得
AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况①当∠AD'P＝90°时②当∠APD'＝90°时分类计
算即可；
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵BC=6，E是BC的中点，
∴BE＝3，
∵ ，
∴ ，
∴CD＝4，
在Rt△ABE中，AE ，
∵四边形ABCD是矩形，
，由折叠可知，PD＝PD'，
设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x，
当△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P＝90°时，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴ ，
∴ ，
∴x ，
∴PD ；
②当∠APD'＝90°时，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴ ，
∴ ，
∴x ，
∴PD ；
综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为 或 ；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的
判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键．
6．A【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，
∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面
积公式求解即可．
解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= ，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即 ，
解得：CF= ，
∴此时三角形ACE的面积= =6，
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较
强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．
7．B
【分析】证明△ADE≌△BAF(SAS)可得到∠AOD=90°，证明△ADO≌△DCG(AAS)，得
AO=DG，同三角函数得DO=2AO=2DG，可得CG为DO的垂直平分线，可得结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE(SAS)，
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAD=∠BAF+∠DAO=90°，
∴∠ADE+∠DAO=90°，
∴∠AOD=90°，
∵E、F分别为AB，BC的中点，
∴AE= AB，BF= BC，
∵AB=BC，
∴AE=BF，
过C作CG⊥DE于G，
∵∠OAD+∠ADO=∠ADO+∠CDG=90°，
∴∠OAD=∠CDG，
在△ADO和△DCG中，
，
∴△ADO≌△DCG(AAS)，
∴AO=DG，
∵ ，∴DO=2AO=2DG，
∴DG=OG，
∴CG为DO的垂直平分线，
∴OC=DC=1，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，
能正确作出辅助线，构建三角形全等是解题的关键．
8．D
【分析】根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数 的图象经过
线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出 ；根据菱形的性质可得
， ，可判定 是等边三角形；最后找到ME、
AM、AE、OB之间的数量关系求解．
解：∵菱形ABCD，
∴
∴D点的坐标为（0，2）
设C点坐标为（ ，0）
∵线段DC的中点N
∴设N点坐标为（ ，1）
又∵反比例函数 的图象经过线段DC的中点N
∴ ，解得
即C点坐标为（ ，0），
在 中，
∴∵菱形ABCD
∴ ， ，
∴ 是等边三角形
又∵ 于E点， 于O点
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵在 中，
∴
∴
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角 的三角函数．菱形的
性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一
个角为 角的等腰三角形是等边三角形．特殊角 的三角函数， ，
， ．
9．D
【分析】作 交OB于点G，利用 ． ．求出 ，
，表示出 ， ，进一步求出 ， ，
，证明 ，利用相似的性质求出 ，再利用勾股定理
即可求出k的值．
解：作 交OB于点G，∵矩形 的对角线 ． ．
∴ ， ，即 ，
∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数 上，
∴ ， ，
∵将 沿 翻折后，点 恰好落在 上的点 处，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，
又∵ ，
即 ，解得： ．
故选：D
【点拨】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边
长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出 ， ，表示出
， ， ，利用相似的性质求出 ．
10．B【分析】解：①中由 即可得到 ，再由正切等于对边比邻边即
可求解；
②中先证明 得到EM=EC，DM=FC，再证明 即可求
解；
③中先证明GE CM，得到 即可求解；
④中由 得到 ，再由
即可求解．
解：①∵ ，
∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF，
∴∠GFB=∠EDC，
∵ABCD为正方形，E是BC的中点，
∴BC=CD，
∴ ，①正确；
②由①知 ，
又 ，已知 ，
∴ ( )，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ( )，
∴ ，故②正确；
③∵ ， ，
∴BE=ME，
且∠B=∠GME=90°，GE为 和 的公共边，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，∴ ，
由三角形外角定理可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故③错误；
④由上述可知： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
故选B．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定
理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．
【分析】先证得△ABE≌△FCB，可得 设 ， ，则
，分别表示出 ，证明 ，根
据相似三角形的性质得出 ，解一元二次方程，根据锐角三角形函数值为
正取舍即可求解．．
解：在矩形 中，∠BAE =90°，AE BC，AD=BC，
∴∠CBF=∠AEB，∵ ，
∴∠BFC=∠BAE=90°，
∵ ，
∴△ABE≌△FCB，
, ，
设 ， ，则 ，
，
，
中， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得 （负值舍去）
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求正弦，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的
性质与判定，解一元二次方程，根据题意建立方程是解题的关键．
12．
【分析】如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，设AB=2x，则AC=2x，根据等角的
余弦列式可得CE和AE的长，利用勾股定理列方程可得x的值，最后根据勾股定理计算可
得MN的长．
解：如图，连接AN，过点N作NE⊥AC于E，设AB=2x，则AC=2x，
∵AB的垂直平分线MN交BC边于点N，
∴AN=BN=6，BM=x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴cos∠B=cos∠C，
∴ ，
即 ，
∴
∴ ，
由勾股定理得： ，
，
解得： （负值舍去），
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，正确
作出辅助线是解答本题的关键．
13．
【分析】设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝ ，由三角函数的定义得到 ，根据相似三角
α
形的性质得到比例式 ，于是得到GB （n+2）（3﹣n） （n ）2
，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于
F，
∵BH∥x轴，
∴∠ABH＝ ，
α
在Rt△ABH中， , ，
即 =
∵sin 随BA的减小而增大，
∴当αBA最小时sin 有最大值；即BH最小时，sin 有最大值，即BG最大时，sin 有
最大值， α α α
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，
∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴BG （n+2）（3﹣n） （n ）2 ，
∵
∴当n 时，BG最大值
故答案为： ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正
确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．
14．
【分析】连接BE，BD，根据菱形的性质可得△BCD是等边三角形，结合E是CD的
中点，可得DE，BE，再根据CD∥AB可得BE⊥AB，利用勾股定理即可求解．
解：如图，连接BE，BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=BC=CD=2，∠A=∠C=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE=1，BE⊥CD，∠EBC=30°，
∴BE=BC×cos∠EBC=2× ，
∵CD∥AB，BE⊥CD，
∴BE⊥AB，
由折叠的性质可得AF=EF，在Rt△BEF中， ，
∴ ，即 ，解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，余弦等知识，解题
的关键是根据题意作出辅助线．
15． （ ）．
解：设A（a， ），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC= AO，
∵AO= ，
∴CO= ，
过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，即 ，解得： ，
在Rt△COD中， ，即 ，
将 代入，可得： ，故 ， ，则 ，
故可得： （ ），
故答案为 （ ）．16．3
【分析】在BC上截取 ，构造相似，可得出 ，过C点作CH⊥EQ可
得出
即可求出CE的长
解：在BC上截取 ，则 ，
中， ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的角度固定不变，
∴CH为CE的最小值．
过C点作CH⊥EQ
∴∠CHQ=∠ABQ=90°
∵
∴∠CQH=∠QAB∴ ，
∵ ，
∴ ，
CE的最小值是3.
【点拨】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17． 或
【分析】根据矩形和勾股定理的性质，计算得 ，结合等腰三角形性质，得
；结合题意，根据轴对称的性质，得 ，
， ， ；根据三角形内角和，推导得
，结合三角形外角性质，得 ；分 和
两种情况分析；根据勾股定理、三角函数的性质分析，即可得到答案．
解：在矩形 中，
沿 翻折得到 ，
， ， ，
，
分两种情况：①如图 ，当 时，即
∵
∴
∴
．
的周长为： ；
②如图 ，
当 时， ．
， ，
．
的周长为： ．的周长为 或 ．
【点拨】本题考查了矩形、等腰三角形、三角形内角和、三角形外角、勾股定理、三
角函数、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、等腰三角形、三角形内角和、勾股
定理、三角函数的性质，从而完成求解．
18．①②③④
【分析】①连接AM，延长DE交BF于J．证明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可．
②当F、E、M共线时，易证∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一点J，使得ME＝
MJ，连接EJ，设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD＝ x，构建方程即可解决问题．
③连接EC，CF，只有EF＝CE，设AE＝AF＝m，利用勾股定理构建方程即可解决问
题．
④连接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，连接EN，易证 BFE≌△BNE（SSS），则
∠BNE＝∠BFE，证出∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，得出△∠OCD＝∠ODC，得出OC
＝OD，证出∠OFD＝∠ODF，得出OF＝OD＝OC，即O是FC的中点，设AE＝AF＝n．
根据tan∠CFD＝tan∠EDA，构建方程即可解决问题．
解：①如图1中，连接AM，延长DE交BF于J．
由旋转的性质得： BAF≌△DAE，
∴∠ABF＝∠ADE，△∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ＝90°，
∴∠BJE＝90°，
∴DJ⊥BF，
由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，∠AED＝∠MED，
∴DE垂直平分线段AM，∴AM BF，故①正确，
②如图2中，当F、E、M共线时，
∵AE＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴∠DEA＝∠DEM＝67.5°，
在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，
∵∠MEJ＝∠MJE＝45°，
∴∠JED＝∠JDE＝ ∠MJE＝22.5°，
∴EJ＝JD，
设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD＝ x，
则有x+ x＝4，
∴x＝4 ﹣4，
∴AE＝4 ﹣4，故②正确，
③如图3中，连接EC，CF，
∵∠CEF＞∠CBF＞90°，△FEC是等腰三角形，
∴EF＝CE，设AE＝AF＝m，
则有：2m2＝42+（4﹣m）2，
∴m＝4 ﹣4或﹣4 ﹣4（舍弃），
∴AE＝4 ﹣4，故③正确，
④如图4中，连接AC、BD，在AD上截取AN＝AE，连接EN，
则∠DAC＝∠ACD＝∠BDC＝∠BDA＝45°，∠AEN＝45°，
∴AN＝AE＝AF，∠BEN＝135°，
则BF＝BN，EF＝EN，
易证 BFE≌△BNE（SSS），
则∠△BNE＝∠BFE，
∵∠AFE＝45°＝∠DAC，
∴EF∥AC，
∴∠CFE＝∠ACF，
∴∠OCD＝45°+∠ACF，
∵∠BEN+∠BDA＝180°，
∴D、B、E、N四点共圆，
∴∠BNE＝∠BDE，
∵EF平分∠BFC，
∴∠BFE＝∠CFE，
∴∠BDE＝∠BFE＝∠CFE＝∠ACF，
∵∠ODC＝45°+∠BDE，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∵∠OCD+∠OFD＝∠ODC+∠ODF，
∴∠OFD＝∠ODF，∴OF＝OD＝OC，即O是FC的中点，
设AE＝AF＝n．
∵∠FDC＝90°，OF＝OC，
∴OF＝OD，
∴∠OFD＝∠ODF，
∴tan∠CFD＝tan∠EDA，
∴ ，
∴n＝2 ﹣2或﹣2 ﹣2（舍去），
∴AE＝2 ﹣2，故④正确．
故答案为：①②③④．
【点拨】此题考查了旋转变换的性质，翻折变换的性质，正方形的性质，全等三角形
的性质，勾股定理，锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是学会学会添加常用辅
助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
19．（1）见分析；（2） ；（3）5
【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的判定解答即可；
（2）由勾股定理求得PB=4，再根据正切定义求得 ，进而可证得
， ，由勾股定理求解即可；
（3）分情况讨论，当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，
连接AD，根据旋转的性质可求得AM的最大值，当点P在第四象限时，同理求得AM的最
大值即可．
解：（1）∵线段 绕B点顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，且 ，
∴ 为等边三角形．
（2）∵ ， ，
∴PA=2，
∵ 轴，∴∠PAB=90°，AB= ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图，当点P在第一象限时，将△APM绕点P顺时针旋转60°到△DPB，连接
AD，
则△DPB≌△APM，
∴AM=BD，∠DPA=60°，PA=PD，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=PA=2，
由BD≤AD+AB知，当点D在BA的延长线上时BD最长，
∵B（5，0）,A（2，0），
∴AB=3，
∴BD≤AD+AB=2+3=5，
即AM的最大值为5；
当点P在第四象限时，同理可得AM的最大值为5，
综上，AM的最大值为5．
【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转的性质、勾股定理、
三角形的三边关系等知识，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用，利用旋转构造
全等三角形，学会转化和分类讨论的思想解决问题．20．（Ⅰ）见分析；（Ⅱ） 周长最小值为 .
【分析】（Ⅰ）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DM＝EM＝ AP＝
AM，再由等边对等角得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，最后结合三角形外角的性质即可证明；
（Ⅱ）根据∠B＝45°，∠C＝75°以及第（Ⅰ）问的结论可知 MDE为顶角为120度的
等腰三角形，过点M作MN⊥DE于N，由特殊角的三角函数值可△将 MDE的周长表示为
△
（2＋ ）× AP，进而将周长最小转换为AP最短的问题，根据垂线段最短即可求解．
解：（Ⅰ）∵ ， ， 为 中点，
∴ .
∴ ， .
∴ ， .
∴ .
（Ⅱ）过点 作 于 ，
由（Ⅰ）知 ，
∴ ， .
∵ ， ，
∴ .
由（Ⅰ）知 .
∴ .
∴∴ .
周长
.
∴当 最短时， 周长最小.
此时 .
当 时，
∵ ， . .
∴ 周长最小值为 .
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，垂线段最短，正确的用AP表示出三角形
MDE的周长是解题的关键．
21．(1)见分析(2) (3)
【分析】（1）根据折叠的性质，得到DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，结合DF=DF，
证明 ADF≌ GDF即可．
△（2）证△明 ADF∽ EDA，求得DF、AE=EG的长，再利用三角函数，确定DC=AB=
△ △
BG，再利用勾股定理计算即可．
（3）连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，根据中位线定理计算OP=3，根据勾股定理计算BD= ，利用直角三角形斜边上的中线性质，计算AO= ，根据两点之间
线段最短，得到AO+OP≥AP，计算最大值即可．
解：（1）∵ 沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°，
∵DF=DF，
∴ ADF≌ GDF，
∴△AF=FG．△
（2）∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=90°，
∵ 沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF=∠EDA，
∴ ADF∽ EDA，
△ △
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得DF=2或DF=-3（舍去），
故DE=DF+EF=3,
∴AE= = =EG，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE=∠B=90°，
∵ 沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F，
∴∠EGD=90°，
∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°，
∴∠DGC=∠BEGO，
∴sin∠DGC= sin∠BEG，
∴ ，∴ ，
∴DC=AB= BG，
∴BE=AB-AE= ，
∴ ，
解得BG= 或BG=0（舍去），
∴BE= ．
（3）如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP，则OP是 BDG的中位线，
△
∴OP= ．
∵四边形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4，
∴BD= ，
∵AO是直角三角形ABD斜边BD上的中线，∴AO= = ，
根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP，
当A、O、P三点共线时，AP最大，最大为 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的相似，勾股定理，三角函数，
线段最短原理，三角形中位线定理，熟练掌握折叠性质，三角形相似，三角函数，勾股定
理是解题的关键．
22．(1)证明见分析(2)49(3)2 +2
【分析】（1）根据题意，利用等边三角形的判定定理可得 是等边三角形，可得
，由 ，可证四边形AQBC是准平行四边形；
（2）连接BD，由准平行四边形的性质可得 ， ，
得出BD是直径，利用勾股定理可得 ， ，结合图形，四边形ABCD的面积
为 与 的面积和，求解即可得；
（3）根据题意作 ，然后作 的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC于E，
OF⊥BC延长线于F，利用三角形内角和定理及锐角三角函数解三角形可得 ，
，根据四边形ABCD是准平行四边形，得出 ，
由等边对等角及三线合一性质可得 ， ，利用锐
角三角函数可得 ， ，由矩形的判定可得四边形CFOE是矩形，
，利用勾股定理得出 ，结合图形可得：当点D在BO的延长线
时，BD的长有最大值，求解即可得．
（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
∵四边形APBC是圆的内接四边形，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形AQBC是准平行四边形；
（2）如图所示：连接BD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ， ，
∵AC不是直径，
∴ ，
∵四边形ABCD是准平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴BD是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形ABCD的面积为：
，
；，
，
∴四边形ABCD的面积为49；
（3）如图所示：根据题意作 ，然后作 的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AC
于E，OF⊥BC交BC延长线于F，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵四边形ABCD是准平行四边形，且 ，
∴ ，
∴ ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形CFOE是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵当点D在BO的延长线时，BD的长有最大值，
∴BD长的最大值为： ．【点拨】题目主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直径所对的
圆周角为直角，利用勾股定理，锐角三角函数解三角形，等腰三角形的性质，矩形的判定
和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
23．(1) (2) (3)
【分析】（1）当b＝2时，把 ，代入即可求出抛物线的表达式为
，即可求解；
（2）由OP=2，PB=PC即 得： 或
，即可求解；
（3）如图，连接AD，过点Q作QF⊥AD于点F，把线段长表示出来即可，
解：(1)∵抛物线 经过点 ，
∴ ，解得 ，
当 时， ，
∴ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
(2)由（1）知，抛物线的解析式为 ，
∵抛物线的对称轴为直线x=b，
∴点B的坐标为 ．
∵点P在y轴上，OP=2，
∴点P的坐标为 或 ．∵点 在y轴负半轴上，
∴ 或 ．
在Rt△POB中，由勾股定理得
．
∵PB=PC，即 ，
∴ 或 ．
解得 或 或 ．
∵ 在y轴负半轴上，
∴ ，解得 ，
∴ ；
(3)如图，连接AD，过点Q作QF⊥AD于点F，抛物线与x轴交于 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴顶点 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵AN=2BN，
∴ ，AN=2，
过点N作NG⊥AD于点G，连DN，则QF+NQ的最小值为NG，
由面积相等知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．
要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长
度，从而求出线段之间的关系．
24．(1) ；(2) s；(3) ， 取得最小值为 ；(4)存在某一时
刻 s，使得
【分析】（1）证明 得到 ，即 ，求出t即可；
（2）设 与 相交与点 ，则 为 中点，过 作 于点 ，利用三角函数求出 ，进而得到 ， ， ，求出
，得到 ，求出t；
（3）根据 求出函数解析式，利用二次函数的性质解答；
（4）当 时，过 作 交 于 ，利用等腰三角形三线合一的性质得
到 ，表示出AN、AP，利用三角函数求出t．
解：（1）由题意可知 ， ， ，
，
，
，
解得 ，
当 时， ；
（2）设 与 相交与点 ，则 为 中点，
过 作 于点 ，
， ， ，
∴cosA= ，
，
， ， ，
，
，，
，
，
s；
（3）
当 s时，S取得最小值为 ；
（4）当 时，过 作 交 于 ，
则 ，
， ，
，
解得： s．
所以存在某一时刻 s，使得 ．【点拨】此题考查了相似三角形的判定及性质，三角函数，求函数解析式，二次函数
的最值，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
