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专题 3.2 行程问题
【典例1】甲、乙两地相距72km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v km/h、
1
v km/h的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此
2
时洒水车也恰好到达乙地．
（1）v =______，v =______；
1 2
（2）求出发多长时间后，两车相遇？
（3）求出发多长时间后，两车相距30km？
【思路点拨】
（1）根据路程除以时间即可求得速度；
（2）根据两车的路程和为甲、乙两地距离的2倍建立一元一次方程，解方程求解即可；
（3）设出发t小时后两车相距30km，分情况讨论：①在工程车还未到达乙地,即当0＜t＜2时, ②在工程车
在乙地停留，即当2≤t≤4时，③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t≤6时，分相遇前后相距30km，根据题
意建立一元一次方程，解方程求解即可．
【解题过程】
72×2
解：（1）由题意得：v = =36(km/h)
1 12−6−2
72
v = =12(km/h)
2 12−6
故答案为：36,12；
（2）设出发x小时后两车相遇，
根据题意得：36(x－2)＋12x＝72×2,
9
解得x=
2
9
答：出发 小时后两车相遇；
2
（3）设出发t小时后两车相距30km，
①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时，5
36t-12t=30,解得t= ，
4
②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，
7
12t＋30＝72,解得t＝ ，
2
③在工程车返回甲地的途中,即当4＜t≤6时，
相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2，
31
解得t= （舍）
8
相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2，
41
解得t=
8
5 7 41
答：出发 ， ， 小时，两车相距30km.
4 2 8
1．（2022·全国·七年级）桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥
共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】
设火车车身长为xm，根据题意，列出方程，即可求解．
【解题过程】
解：设火车车身长为xm，根据题意，得：
1200+x 1200−x
= ，
50 30
解得：x＝300，
1200+x 1200+300
所以 = =30．
50 50
答：火车的长度是300m，车速是30m/s．
2．（2022·全国·七年级专题练习）数学课上，小明和小颖对一道应用题进行了合作探究：一列火车匀速行
驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的长度．
（1）请补全小明的探究过程：设火车的长度为x米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为
1000+x
（1000+x）米，所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒；由题意，火车的平均速度还可以表示为
50米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程 ，解方程后可得火车的长度为 米．
（2）小颖认为：也可以通过设火车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请按小颖的思路完成探究
过程．
【思路点拨】
（1）根据速度＝路程÷时间，火车穿过隧道，走过的路程＝隧道长度+火车长度建立方程即可求解；
（2）设火车的平均速度为v米/秒，根据隧道的长度不变列出方程．
【解题过程】
1000−x
解：（1）由题意，得：火车的平均速度＝ ．
30
1000+x 1000−x
由题意，得： ＝
50 30
解得x＝250．
1000−x 1000+x 1000−x
故答案是： ； ＝ ；250；
30 50 30
（2）根据题意列方程得：50v﹣1000＝1000﹣3v
解得：v＝25．
火车长度：50v﹣1000＝250（米）
答：火车的长度为250米．
3．（2022·全国·七年级专题练习）在一条河中有甲、乙两船，现同时从A顺流而下，乙船到B地时接到通
知要立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流而行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/小时，
水流速度是2.5千米/小时，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A经B再到C共用4小时，问乙船
从B到C时，甲船驶离B地多远？
【思路点拨】
x x+10
由题意可分①当C地在BA的延长线上时，则设AB=x千米，则有 + =4；②当C地在
7.5+2.5 7.5−2.5
x+10 x
A、B两地之间时，则设BC=x千米，则有 + =4，然后问题分别求解即可．
7.5+2.5 7.5−2.5
【解题过程】
解：当C地在BA的延长线上时，则设AB=x千米，由题意得：
x x+10
+ =4，
7.5+2.5 7.5−2.5
20
解得：x= ，
320
+10
∴此时甲驶离B地 3 100千米；
×(7.5+2.5)=
7.5−2.5 3
当C地在A、B两地之间时，则设BC=x千米，由题意得：
x+10 x
+ =4，
7.5+2.5 7.5−2.5
解得：x=10，
10
∴此时甲驶离B地： ×(7.5+2.5)=20千米；
7.5−2.5
100
答：甲驶离B地 千米或20千米．
3
4．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）A、B两地相距360km，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从A
地出发驶往B地，已知货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发，
小轿车到达B地后在原地等货车．
（1）求小轿车出发多长时间追上货车？
（2）当两车相距50km时，求小轿车行驶的时间？
【思路点拨】
（1）乙车追上甲车则两车的路程相等，设时间为未知数列方程求解即可；
（2）乙车出发后与甲车相距50km，在整个运动过程中存在三种情况：乙车在追上甲车之前；乙车超过甲
车且未到B地之前；乙车到达B地而甲车未到B地．根据三种情况利用两车路程之间的关系列方程即可求
得．
【解题过程】
解：（1）设小轿车出发x小时追上货车．
根据题意得：60+60x=90x
解得：x=2
答：小轿车出发2小时追上货车．
（2）设小轿车出发y小时与货车相距50km．
①当小轿车出发后在追上货车之前，两车相距50km．
则有：60+60 y=90 y+50
1
解得：y=
3
②当小轿车超过货车且未到B地之前，两车相距50km．
则有：60+60 y+50=90 y11
解得：y=
3
③当小轿车到达B地而货车未到B地，两车相距50km．
则有：60+60 y+50=360
25
解得：y= ．
6
1 11 25
综上得：当小轿车出发 小时、 小时或 小时两车相距50km．
3 3 6
5．（2022·河北·平山县教育局教研室七年级期末）某中学学生步行到郊外旅行．七年级（1）班学生组成
前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才
出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．
（1）后队追上前队需要多长时间？
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
（3）两队何时相距2千米？
【思路点拨】
（1）设后队追上前队需要x小时，根据后队比前队快的速度×时间=前队比后队先走的路程可列出方程，
解出即可得出时间；
（2）先计算出联络员所走的时间，再由路程=速度×时间即可得出联络员走的路程．
（3）要分三种情况讨论：①当（1）班出发半小时后，相距2千米；②当（2）班还没有超过（1）班时，
相距2千米；③当（2）班超过（1）班后，（1）班与（2）班再次相距2千米，分别列出方程，求解即
可．
【解题过程】
解：（1）设后队追上前队需要x小时，
由题意得：（6﹣4）x=4×1，
解得：x=2．
故后队追上前队需要2小时；
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程就是在这2小时内所走的路，
所以10×2=20（千米）．
答：后队追上前队时间内，联络员走的路程是20千米；
（3）要分三种情况讨论：
1
①当七年级（1）班出发半小时后，两队相距4× =2（千米）
2②当七年级（2）班还没有超过（1）班时，相距2千米，
设七年级（2）班需y小时与七年级（1）相距2千米，
由题意得：（6﹣4）y=2，
解得：y=1；
所以当七年级（2）班出发1小时后两队相距2千米；
③当七年级（2）班超过七年级（1）班后，七年级（1）班与七年级（2）班再次相距2千米时
（6﹣4）y=4+2，
解得：y=3．
答：当七年级（1）班出发0.5小时或当七年级（2）班出发1小时后或3小时后，两队相距2千米．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某学校组织学生去香炉山春游，某班学生分别乘
大、小两辆车去看炉山，早晨6点钟从学校出发，计划2小时到达．
(1)若大车速度为80km/h，正好可以在规定时间到达，而小车速度为100km/h，如果两车同时到达，那么小
车可以晚出发多少分钟？
(2)若小车每小时能比大车多行30千米，且大车在规定时间到达，小车要提前30分钟到达，求大小车速
度．
(3)若小车与大车同时以相同速度出发，但走了20分钟以后，发现有物品遗忘，小车准备提速返回取物品
并按此速度直到到达，若小车仍想与大车同时在规定时间到达，应提速到原来的多少倍？
【思路点拨】
x
（1）设小车可以晚x分钟到达，根据等量关系：大车的速度×2=小车的速度×（2− ），即可求解；
60
（2）设大车速度为xkm/h，则小车速度为（x+30）km/h；根据等量关系：大车的速度×2=小车的速度×
30
（2− ），即可求解；
60
20
（3）设应提速到原来的a倍，令小车原来速度为m，根据等量关系：原来的速度×2+原来的速度× =提
60
20
速后的速度×（2− ），即可求解．
60
【解题过程】
（1）解：设小车可以晚x分钟到达；
x
80×2=100×（2− ）
60
解得：x=24答：小车可以晚24分钟出发．
（2）解：设大车速度为xkm/h，则小车速度为（x+30）km/h；
30
x×2=（x+30）×（2− ）
60
解得：x=90
∴x+30=120，
答：设大车速度为90km/h，则小车速度为120km/h；
（3）解：设应提速到原来的a倍，令小车原来速度为m，
20 20
m×2+m× =am×（2− ）
60 60
解得：a=1.4
答：应提速到原来的1.4倍．
7．（2022·山东省枣庄市第四十一中学七年级阶段练习）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数
学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴
上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足|4b+12|+|a−5|=0．
(1)直接写出a、b的值；
(2)P从B出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动5秒，求此时P点表示的数及P点与A点之间的
距离；
(3)应用：小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校
的西面距学校300米．
①以学校为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示100米，小华家为A点，小明家为B点，在
数轴上表示出小华家和小明家的位置；
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，问__________分钟后两人相距100
米？此时小明在数轴上的位置对应的数为____________．
【思路点拨】
(1)根据绝对值的非负性质即可求解；
(2)首先根据B点对应的数字及P点运动时间可得P点表示的数，再根据A点对应的数字即可得P点与A点
之间的距离；
(3)①利用数轴结合实际意义可得答案；②设x分钟后两人相遇100米，根据题意分两种情况，利用等量关系列出方程，再解即可．
【解题过程】
（1）解：∵|4b+12|+|a−5|=0，
∴4b+12=0，a-5=0，
解得a=5，b=-3；
（2）解：由(1)知：点A表示的数为5，点B表示的数为-3，
根据题意得：P点表示的数为：-3+3×5=12，
P点与A点之间的距离为：12-5=7，
答：此时P点表示的数为12，P点与A点之间的距离为7；
（3）解：①在数轴上表示如下：
②设x分钟后两人相遇100米，由题意得：
相遇前：50x+50x=300+500−100，
解得：x=7，
相遇后：50x+50x=300+500+100，
解得：x=9，
∴7或9分钟后两人相距100米；
此时小明在数轴上的位置对应的数为：−3+0.5×7=0.5或−3+0.5×9=1.5，
故答案为：7或9；0.5或1.5．
8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，AO∥BC得到一条
“折线数轴”，图中点A表示－20，点B表示20，点C表示36，动点M从点A出发，以2个单位/秒的速
度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同
时，动点N从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动从点B运动到点O期间的速
度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
(1)填空：点A和点C在数轴上相距 个单位长度；
(2)当t为何值时，点M与点N相遇？(3)当t为何值时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．
【思路点拨】
（1）由点A表示－20，点C表示36，即可求出点A和点C在数轴上相距56个单位长度；
（2）首先根据题意计算出点N从C到B用时16s，M从A到O用时10秒，进而判断出点M、N在OB段相
遇，然后列方程求解即可；
（3）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵点A表示－20，点C表示36，
∴36-(-20)=56，
故答案为：56；
（2）由题意可得N从C到B用时16s，M从A到O用时10秒，即M、N在OB段相遇．
∴20+(t−10)+16+2(t−16)=56
2
∴t=20 （秒）
3
2
∴当t为20 秒时，点M与点N相遇
3
（3）根据题意，有4种情况：
①当点M在AO上，点N在CB上时，OM=20−2t，BN=16−t
∵OM=BN．
∴20−2t=16−t，
解得t=4；
②当点M在OB上时，点N在CB上时，OM=t−10，BN=16−t，
∵OM=BN，
∴t−10=16−t，
解得t=13；
③当点M在OB上时，点N在OB上时，OM=t−10，BN=2(t−16)
∵OM=BN，
∴t−10=2(t−16)解得t=22；
④当点M在BC上时，点N在OA上时，
得：20+2(t−30)=20+(t−26)，
解得t=34；
综上所述：t的值为4，13，22，34．
9．（2022·广东·江门市第二中学七年级开学考试）如图，城乡公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有
A，B，C三个站点，已知相邻两站之间的距离分别为AB=8千米，BC=4千米，且每个站点的停靠时间为
4分钟．已知甲、乙两车于上午8：00分别从A站，C站出发相向而行，两车的速度均为30千米/小时，设
两车出发t小时后，问：
（1）甲、乙两车到达B站分别用时多少？
（2）求两车相遇的时刻．
（3）当两车相距4千米时，求t的值．
【思路点拨】
（1）根据时间=路程÷速度列式即可求值；
4
（2）根据题意列出方程30t+30(t− )=8+4，进行求值即可 ；
60
（3）分三种情况：①两车相遇前，乙车刚到B站时，两车相距4千米，②两车相遇后，乙车经过B站，甲
车还没有到B站时，③两车相遇后，甲乙两车都经过B站时，分别列出式子表示即可；
【解题过程】
8 4
解：（1）甲车到B站用时 = （小时）=16（分钟）．
30 15
4 2
乙车到B站用时 = （小时）=8（分钟）．
30 15
4
（2）由题意可列方程30t+30(t− )=8+4
60
14
解得：t= 小时=14分钟．
60
所以两车在8：14两车相遇．
（3）分三种情况：①两车相遇前，乙车刚到B站时，两车相距4千米，
2
此时t= （小时）
15
②两车相遇后，乙车经过B站，甲车还没有到B站时，
4
30t+30(t− )=12+4，
60
3 4
解得：t= > ，此时甲车已经过B站，与假设矛盾（舍去）．
10 15
③两车相遇后，甲乙两车都经过B站时，
4 4
30(t− )+30(t− )=12+4，
60 60
1
解得：t= （小时）
3
2 1
综上所述：当t= 小时或 小时时，两车相距4千米．
15 3
10．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到
原点的距离是5，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)动点M、N分别从点A、B的位置同时出发，在数轴上做无折返的运动．已知动点M的运动速度是2个
单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒，点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒，点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒，点M、N相距15个单位长度？
【思路点拨】
（1）根据题意确定A点坐标，再确定B点坐标；
（2）先求出AB的长度，①若M，N相向而行，设x秒相遇，根据题意列出一元一次方程即可求解；
②当点M，N都向左运动，设y秒点N追上点M，根据题意列出一元一次方程即可求解；
③设经过t秒点M，N相距15个单位长度，此时需分类讨论，注意N点速度大于M点速度，第一种情况：
当点M，N相向运动，且M在N左边时；第二种情况：当点M，N相向运动，且M在N右边时；第三种情
况：当M，N都向左运动，且M在N左边时；第四种情况：当M，N都向左运动，且M在N右边时．四种
情况均利用一元一次方程即可求解．【解题过程】
解：（1）∵点A在原点的左侧且到原点的距离是5，
∴点A表示的数是﹣5．
∵点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍，
∴点B表示的数是5×6＝30．
故答案为：﹣5，30；
（2）AB＝b﹣a＝30﹣（﹣5）＝35．
①若M，N相向而行，设x秒相遇，
则2x＋3x＝35，解得x＝7．
答：经过7秒，点M与N相遇．
②当点M，N都向左运动，设y秒点N追上点M，
则3y＝35＋2y，解得y＝35．
答：经过35秒，点N追上点M．
③设经过t秒点M，N相距15个单位长度．
当点M，N相向运动，且M在N左边时，
35﹣2t﹣3t＝15，解得t＝4；
当点M，N相向运动，且M在N右边时，
2t＋3t﹣35＝15，解得t＝10．
当M，N都向左运动，且M在N左边时，
则3t﹣2t＝35﹣15，解得t＝20．
当M，N都向左运动，且M在N右边时，
3t﹣2t＝35＋15，解得t＝50．
综上所述，经过4，10，20或50秒，点M、N相距15个单位长度．
11．（2022·陕西咸阳·七年级期末）列方程解应用题，已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩
托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米.甲比乙早出发3小时，乙出
发1小时后刚好追上甲.
（1）求甲的速度；
（2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米；
18
（3）若丙骑自行车与甲同时出发，沿着这条笔直的公路由B地匀速行驶到A地.经过 小时与乙相遇，求
5
此时甲、丙两人之间距离.【思路点拨】
（1）设甲的速度为x，根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相等，列出方程求解即可；
（2）根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相差6千米(分追上前和追上后两种情况讨论)，列出方程求解即
可；
18
（3）根据题意，乙行驶的时间为( −3)小时，根据甲行驶的路程+丙行驶的路程＝60，求得丙的速度，
5
再用60-甲、丙两人的路程和，就可求得甲、丙两人之间距离.
【解题过程】
解：（1）设甲的速度为x，
依题意得 ：(1+3)x=x+30
解得：x=10
∴甲的速度为每小时10千米；
（2）设乙出发之后t小时，甲乙两人相距6千米，
由（1）的结论：甲的速度为每小时10千米，乙的速度为每小时40千米；
未追上前：
依题意得 ：10(t+3)−40t=6
解得：t=0.8
追上并超过后：
依题意得 ：40t−10(t+3)=6
解得：t=1.2
此时：1.2×40=48<60，乙未到达B地，t=1.2符合题意；
∴乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙两人相距6千米；
18
（3）丙骑自行车与甲同时出发，则乙行驶的时间为( −3)小时，
5
设丙的速度为y，
(18 ) 18
依题意得：40× −3 + y＝60
5 5
解得：y=10
18
∴甲、丙两人之间距离为：60− ×(10+10)=−12
5
∴此时甲、丙两人之间距离为12千米.
12．（2022·安徽·合肥寿春中学七年级期末）已知：甲、乙两辆车在一条公路上匀速行驶．为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标．并作如下约定：位置为正，表示汽车位于零千
米的右侧；位置为负，表示汽车位于零千米的左侧；位置为零，表示汽车位于零千米处．下表给出了部分
时刻以及甲、乙两车在该时刻的对应位置：
(1)根据题意．补全表格：
时间（时） 0 3 5 t
甲车位置
150 ① -150 ②
（km）
乙车位置
③ 70 150 ④
（km）
(2)甲、乙两车能否相遇．如果相遇．求相遇时的时刻及在公路上的位置；如果不能相遇．请说明理由
(3)若忽略车的形状和大小．可将其看做一点．则是否存在这样的 t．使得甲、乙、原点O三点中的一个点
是以其余两点为端点的线段的中点如果存在．请求出t的值；如果不存在．请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据速度＝路程÷时间，可求出甲乙两车的速度，从而可填写表格；
（2）相遇，则两车的位置相等，得出方程，求解即可；
（3）分甲在中点、乙在中点、O在中点三种情况讨论即可.
【解题过程】
(1)解：填表如下：
时间（时） 0 3 5 t
甲车位置
150 -30 -150 150-60t
（km）
乙车位置
-50 70 150 -50+40t
（km）
故答案为：① -30；② 150-60t；③ -50；④ -50+40t
(2)解：由题意得：150−60x＝−50＋40x，
解得：x＝2，
150−60×2＝30．
答：相遇时刻为2小时，且位于零千米右侧30km处；
−50+40t 35
(3)①当甲在中点时： =150−60t，解得t= ；
2 16
150−60t 25
②当乙在中点时： =−50+40t，解得t= ；
2 14150−60t−50+40t
③ 当O在中点时： =0，解得t=5；
2
35 25
故t的值为： ，或 ，或5.
16 14
13．（2022·全国·七年级专题练习）小明有一套火车玩具，有两列火车、一副轨道、一个隧道模型及一个
站牌．特别之处：隧道模型也可以像火车一样移动，当火车头进入隧道一瞬间会响起音乐，当火车完全穿
过隧道的一瞬间音乐会结束．已知甲火车长20厘米，甲乙两列火车的速度均为5厘米/秒，轨道长3米．
（1）将轨道围成一个圆圈，将甲、乙两列火车紧挨站牌放置，车头方向相反，同时启动，到两车相撞用
时24秒，求乙火车的长度？
（2）在（1）的条件下，乙火车穿过静止的隧道音乐响起了14秒，求隧道的长度；
（3）在（1）（2）的条件下，轨道铺成一条直线，把隧道模型、甲火车依次放在站牌的右侧，站牌静止
不动，甲火车头与隧道相距10cm(即AD=10cm)．当甲火车向左运动，隧道模型以不变的速度运动，音乐
却响了25秒；当音乐结束的一瞬间，甲火车头A与站牌相距乙火车车身的长度，请同学们思考一下，以站
牌所在地为原点建立数轴，你能确定甲火车、隧道在运动前的位置吗？如果可以，请画出数轴并标出
A，B，C，D运动前的位置．
【思路点拨】
（1）设乙火车的长度为x厘米，根据等量关系“甲火车运动的路程+乙火车运动的路程+甲火车的长度+乙
火车的长度=轨道长度”列方程求解即可；
（2）设隧道的长为y厘米，根据等量关系“隧道的长度+乙火车的长度=乙穿过隧道行驶的路程”列方程求
解即可；
（3）根据隧道以不变的速度运动，音乐却响了25秒，25秒＞14秒，可知隧道和甲火车一定是同向运动，
设隧道移动的速度为z厘米/秒，根据等量关系“甲火车通过隧道的时间×（甲火车的速度-隧道移动的速
度）=甲火车的长度+隧道长度”列方程求出隧道移动的速度；再求出甲火车运动的路程，分音乐结束时甲
火车头在站牌的左、右两侧，分别求出A，B，C，D各点到站牌的距离，进而画出数轴即可．
【解题过程】
解：（1）设乙火车的长度为x厘米，依题意得，2×24×5+20+x=300，解得x=40，
答：乙火车的长度为40厘米；
（2）设隧道的长为y厘米，依题意得，
y+40=14×5，解得y=30，
答：隧道的长度为30厘米；
（3）能．设隧道移动的速度为z厘米/秒，
由25大于14知，隧道和甲火车一定是同向运动，
∴25(5−z)=30+20，解得z=3；
10
∴火车追上隧道的时间为： =5（秒），
5−3
甲火车运动的距离：5×(5+25)=150(cm)，
以站牌为数轴的原点，分以下两种情况：
①音乐结束时甲火车头在站牌右侧，则运动前，
AO=40+150=190(cm)，BO=190+20=210(cm)，DO=190-10=180(cm)，CO=180-30=150(cm)，
∴A，B，C，D运动前的位置在数轴上表示如下：
②音乐结束时甲火车头在站牌左侧，则运动前，
AO=150-40=110(cm)，BO=110+20=130(cm)，DO=110-10=100(cm)，CO=100-30=70(cm)，
∴A，B，C，D运动前的位置在数轴上表示如下：
14．（2022·全国·七年级专题练习）
(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环
运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．
②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速
度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请
求出t的值．
【思路点拨】
（1）①点P和点Q第一次相遇，P比Q多运动10个单位，可得3x−x=5×2，即可解得答案；
②点P和点Q第二次相遇，P比Q多运动30个单位，列方程即可解得答案；
1
（2）由已知可得CE=2，分三种情况分别列方程：①当M在AB上，即t⩽2时， ×2t×6=9，②当M
2
1 1 1
在BC上，即2<t⩽5时， ×(2+4)×6− ×4×(2t−4)− ×2×(4+6−2t)=9，③当M在CE上，
2 2 2
1
即5<t⩽6时， ×(4+6+2−2t)×6=9，即可解得答案．
2
【解题过程】
解：（1）①根据题意得：3x−x=5×2，
解得x=5，
答：当x为5时，点P和点Q第一次相遇，
②根据题意得：3x−x=5×2+4×5，
解得x=15，
答：当x为15时，点P和点Q第二次相遇；
（2）由已知可得CE=2，
①当M在AB上，即t⩽2时，如图：1
根据题意得： ×2t×6=9，
2
3
解得t= ，
2
②当M在BC上，即2<t⩽5时，如图：
1 1 1
根据题意得： ×(2+4)×6− ×4×(2t−4)− ×2×(4+6−2t)=9，
2 2 2
7
解得t= ，
2
③当M在CE上，即5<t⩽6时，如图：
1
根据题意得： ×(4+6+2−2t)×6=9，
2
9
解得t= （不符合题意，舍去），
2
3 7
综上所述，当ΔAME的面积等于9时，t的值为 秒或 秒．
2 2
15．（2022·湖北武汉·七年级期末）在武汉市乘坐出租车的收费标准是：路程不超过3千米计费10元；路
程超过3千米但不超过10千米时，超出3千米部分按每千米1.5元计费加上10元；路程超过10千米时，
超出10千米部分按每千米1元计费，3千米到10千米部分按每千米1.5元计费，再加上10元乘坐滴滴专
车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元．
(1)李老师从家到学校的距离是15千米，如果乘坐出租车，费用是______元；如果乘坐滴滴专车，费用是
______元；
(2)周末外出李老师乘坐出租车和滴滴滴专车各一次，且每次乘车路程大于3千米．①如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千
米？
②如果李老师乘坐出租车的路程超过10千米，他两次乘车的费用共36.1元，且两次乘车的路程都是整数
千米，那么李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？
【思路点拨】
（1）根据出租车及滴滴专车的收费标准，可分别求出乘坐15千米所需费用；
（2）①设乘坐出租车的路程是x千米，则乘坐滴滴专车的路程是（50﹣x）千米，分3＜x≤10及x＞10两
种情况考虑，根据两次乘坐共付费71.3元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出李老师乘坐出
租车的路程，再将其代入（50﹣x）中即可求出李老师乘坐滴滴专车的路程；
5
②设李老师乘坐出租车的路程是m（m＞10）千米，则乘坐滴滴专车的路程是（18﹣ m）千米，根据两次
6
乘车的路程都是整数千米且李老师乘坐出租车的路程超过10千米，即可求出李老师乘坐出租车的路程，再
5
将其代入（18﹣ m）中即可求出李老师乘坐滴滴专车的路程．
6
【解题过程】
(1)解：乘坐出租车所需费用为10+1.5×（10﹣3）+1×（15﹣10）
＝10+1.5×7+1×5
＝10+10.5+5
＝25.5（元）；
乘坐滴滴专车所需费用为4+1.2×15
＝4+18
＝22（元）．
故答案为：25.5；22．
(2)解：①设乘坐出租车的路程是x千米，则乘坐滴滴专车的路程是（50﹣x）千米．
当3＜x≤10时，10+1.5（x﹣3）+4+1.2（50﹣x）＝71.3，
解得：x＝6，
∴50﹣x＝50﹣6＝44；
当x＞10时，10+1.5×（10﹣3）+（x﹣10）+4+1.2（50﹣x）＝71.3，
解得：x＝16，
∴50﹣x＝50﹣16＝34．
答：李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是6千米、44千米或16千米、34千米．②设李老师乘坐出租车的路程是m（m＞10）千米，则乘坐滴滴专车的路程是
36.1−[10+1.5×(10−3)+(m−10)]−4 5
＝（18﹣ m）千米，
1.2 6
5
∵m，（18﹣ m）均为正整数，且m＞10，
6
∴m＝12或m＝18，
5 5
当m＝12时，18﹣ m＝18﹣ ×12＝8；
6 6
5 5
当m＝18时，18﹣ m＝18﹣ ×18＝3，不合题意，舍去．
6 6
答：李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是12千米、8千米．
16．（2022·广东茂名·七年级期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直
公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地
骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千
米/小时，甲、乙两人同时出发．
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
（2）求两人出发后经过多少时间相遇？
（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？
【思路点拨】
（1）分段求出所需时间，相加即可得到甲从A到B地所需要的时间；
（2）先判断在哪段相遇，再根据题意列出正确的方程即可求解；
（3）先判定甲从A地前往B地的过程中，甲、乙有两次相距10千米的机会，分情况求解即可．
【解题过程】
60 1
解：（1）甲在AC段所需时间为：t = = 小时，
1 120 2
10 1
甲在CD段所需时间为：t = = 小时，
2 100 10
20 1
甲在DB段所需时间为：t = = 小时，
3 120 61 1 1 23
所以甲从A到B地所需要的时间为t +t +t = + + = 小时．
1 2 3 2 10 6 30
23
答：甲从A到B地所需要的时间为 小时．
30
20 1
（2）乙在BD段所需时间为：t = = 小时，
4 60 3
10 1
乙在DC段所需时间为：t = = 小时，
5 80 8
1 1 11 1 1
∵ + = < ，甲在AC段所需时间为 ，
3 8 24 2 2
∴甲乙会在AC段相遇，
11 11
∵同时出发，则甲走了 小时，走了 ×120=55千米，
24 24
60−55 11 35
甲乙相遇时间为t= + = 小时．
120+60 24 72
35
答：两人出发后经过 小时相遇．
72
（3）设甲，乙经过x小时后，两人相距10千米，
①相遇前，相距10千米，甲在AC上，乙在CD上，
1
此时，甲走的路程为：120x，乙走的路程为：20+80(x− )，
3
1
∴ 120x+10+20+80(x− )=90，
3
13
解得：x=
30
②相遇后，相距10千米，甲在CD上，乙在AC上，
1 11
此时，甲的路程为60+100(x− )，乙的路程为30+60(x− )，
2 24
1 11
∴60+100(x− )+30+60(x− )=100，
2 24
35
解得：x=
64
13 35
∴甲从A地前往B地的过程中，甲，乙经过 或 小时相距10千米．
30 64
13 35
答：甲从A地前往B地的过程中，甲，乙经过 或 小时相距10千米．
30 6417．（2022·全国·七年级专题练习）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿
着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，
若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．
(1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
(3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过
多少秒，乙追上甲？
(4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的
地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相
遇时点P的位置．
【思路点拨】
（1）根据路程=速度×时间列式即可；
（2）设经过t秒甲、乙两人第一次相遇，根据速度×时间=路程结合题意，即可得出关于t的一元一次方
程，解之即可得出t值，
（3）设经过t秒乙追上甲，根据乙跑的路程-甲跑的路程=BC+CDd+DA=130,列方程求解即可；
（4）先求出（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方，若乙第n次追上甲的时间为a秒，根
据乙跑的路程-甲跑的路程=160(n-1)，列方程为3a-2a=160(n-1)，又因为 2a=320(n-1)，即可得证第n次乙追
上甲时，甲又跑了2(n-1)圈．即可得出结论．
【解题过程】
（1）解： 甲的路程=2t米；
故答案为：2t；
（2）解：设经过t秒甲、乙两人第一次相遇 ，根据题意得
3t+2t=50×2+30 ；
t=26
答：经过26秒（3）解：设经过t秒乙追上甲，根据题意得
3t-2t=130
解得t=130
答：经过130秒，乙追上甲
（4）解：130×2=260（米）
260-（50+30）×2=100（米）
100-30-50=20（米）
所以（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方；
若乙第n次追上甲的时间为a秒,则
3a-2a=160(n-1)，
解得a=160(n-1)
160(n-1)×2=320(n-1)（米）
320(n-1)÷160=2(n-1)（圈）
第n次乙追上甲时，甲又跑了2(n-1)圈．
所以第n次乙追上甲的地方跟（3）一样，在CD上，离C点20米的地方；
P点如图
18．（2022·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）已知，a，b满足|3a−b|+(a−3) 2=0，分别对应着数
轴上的A，B两点．
(1)a=________，b=________；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离
是点P到点B距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为28，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每
秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．
【思路点拨】
（1）利用绝对值和偶次方的非负性求出a、b的值即可解决问题；
（2）利用PA=2PB构建方程即可解决问题；
（3）分四种情形分别构建方程即可解决问题．
【解题过程】
解：（1）∵a，b满足|3a-b|+(a-3)2=0，
∴3a-b=0；a-3=0
∴a=3，b=9，
故答案为：3，9，
（2）设运动时间为ts．则点P表示的数为：3t+3，
∵PA=2PB，
∴|3t+3−3|=2|3t+3−9|，
∴3t=2(3t−12)或3t=−2(3t−12)，
8
解得t=8或 ，
3
8
∴运动时间为8或 秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；
3
（3）设运动时间为ts．
当点P在到达点C前，则点P表示的数为：3t+3，点Q表示的数为：t+9，
①点P还未追上点Q：则t+9− (3t+3)=4，
解得：t=1(秒)，点Q表示的数为10；
②点P追上点Q后：则3t+3− (t+9)=4，
解得：t=5(秒) ，点Q表示的数为14；
当点P在到达点C返回时，
则点P表示的数为：28− (3t+3−28)=53−3 t，点Q表示的数为：t+9，
③点P与点Q还未相遇：53−3t−(t+9)=4，
解得：t=10(秒) ，点Q表示的数为19；
④点P与点Q相遇后：t+9− (56−3t)=4，
解得：t=12(秒) ，点Q表示的数为21；
综上，t=1秒，点Q表示的数为20；t=5秒，点Q表示的数为14；t=10秒，点Q表示的数为19；t=12秒，
点Q表示的数为21，此时P，Q两点之间的距离为4．19．（2022·江苏·七年级期中）已知多项式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，
点A表示数a，点B表示数b．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若小蚂蚁甲从点A处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时小蚂蚁乙从点B处以1.8个单位长
度/秒的速度向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，甲
在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，乙在碰到饭粒后立即停止运动．设运动的时
间为t秒，则t＝ 时，甲、乙两只小蚂蚁的距离为8个单位长度．
（3）若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时
间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t（s）时的速度为v（mm/s），
v与t之间的关系如下图．（其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米）
t（s） 0＜t≤2 2＜t≤5 5＜t≤16
v（mm/s） 10 16 8
①当2＜t≤5时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有t的代数式表示）；
②当t为 时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．（请直接写出答案）
【思路点拨】
（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；
（2）分两种情况讨论：①甲向右，乙向左向左运动，即0≤t≤1时，此时甲表示的数为-2+2t，乙表示的数
为8-1.8t；②甲乙两小蚂蚁均向左运动，即t＞1时，此时甲表示的数为2-2t，乙表示的数为8-1.8t；根据
甲、乙两只小蚂蚁的距离为8个单位长度，列方程即可求解；
（3）①先得出小蚂蚁甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，则可求得小蚂蚁甲与乙之间的距离；
②设a秒时小蚂蚁甲和乙开始返程，由题意得关于a的方程，解得a的值，再分类求得符合题意的t值即
可．
【解题过程】
解：（1）∵多项式4x6y2-3x2y-x-7，次数是b，
∴b=8；
∵4a与b互为相反数，
∴4a+8=0，∴a=-2．
故答案为：-2，8；
（2）分两种情况讨论：
①甲向右，乙向左向左运动，即0≤t≤1时，此时甲表示的数为-2+2t，乙表示的数为8-1.8t，
∵甲、乙两只小蚂蚁的距离为8个单位长度，
∴8-1.8t –(-2+2t) =8，
10
解得：t= ；
19
②甲乙两小蚂蚁均向左运动，即t＞1时，此时甲表示的数为2-2t，乙表示的数为8-1.8t，
∵甲、乙两只小蚂蚁的距离为8个单位长度，
∴8-1.8t –(2-2t) =8，
解得：t=10；
10
∴t= 或10秒时，甲、乙两只小蚂蚁的距离为8个单位长度；
19
（3）①∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，
∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：
10×2+16×3+8×11=156（mm），
∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，
∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，
∴甲乙之间的距离为：8-（-2）+10×2×2+16×（t-2）×2=32t-14；
②设a秒时小蚂蚁甲和乙开始返程，由（3）①可知：
10×2+16×3+8（a-5）=78，
25
解得：a= ；
4
以下分情况讨论：
当8-（-2）+10t×2=42，
解得：t=1.6；
7
当32t-14=42时，解得：t= ；
4
7 7
当t= 时，小蚂蚁甲和乙还没有开始返程，故舍去t= ；
4 4
25 25
当t＞ 时，8-（-2）+78×2-8（t- ）×2=42，
4 4解得：t=14；
综上所述，当t=1.6秒或14秒时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．
故答案为：1.6秒或14秒．
20．（2022·浙江·七年级单元测试）小王和小李每天从A地到B地上班，小王坐公交车以40km/h的速度匀
速行驶，小李开汽车以50km/h的速度匀速行驶．
(1)若他们同时从A地出发，15分钟后，两人相距______km；
(2)假设途中设有9个站点P ，P ，…，P 公交车在每个站点都停靠0.5分钟．
1 2 9
①若两车同时从A地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求A，B两地的距离．
②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从A地前往B地，8分钟
后小李开汽车也从A地前往B地，求小李追上小王的时刻．
【思路点拨】
（1）先求出小王和小李在15分钟内的路程，然后求得两个间的距离；
（2）①先设A、B两地相距x千米，然后分别用含有x的式子表示两人从A地到B地的时间，再结合“汽
车比公交车早10.5分钟到达”列出方程求解，即可得到A、B两地间的距离；
②先由①得到每两个站点间的距离，然后计算得到公交车在每两个站点间的时间，进而初步判断8分钟后
公交车的位置，然后设时间为m分钟，再分段进行讨论即可．
【解题过程】
（1）解：15分钟＝0.25小时，
∴小王的路程为40×0.25＝10（km），
小李的路程为50×0.25＝12.5（km），
∴两人间的距离为12.5﹣10＝2.5（km），
故答案为：2.5．
x
（2）解：①设两地距离为x千米，则小李的从A地到B地的时间为 小时，小王的时间为
50
( x 0.5 )
+ ×9 小时，
40 60
∵汽车比公交车早10.5分钟到达，
( x 0.5 ) x 10.5
∴ + ×9 − = ，
40 60 50 60
解得：x＝20，
∴A、B两地相距20千米．②由①得，A、B两地相距20千米，
∵每两个站点间的距离相等，
∴每两个站点间的距离为20÷10＝2（千米），
∴小王经过两个站点间的时间为2÷40＝0.05小时＝3分钟，
∵3+0.5+3+0.5＝7＜8，
∴8分钟时，公交车在P 与P 之间，
2 3
设小李经过m分钟追上小王，
当小李在P 与P 之间追上小王，即m≤2时，
2 3
m 8+m−1
×50= ×40 ，
60 60
解得：m＝28（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即2.5＜m≤5.5时，
3 4
m 8+m−1.5
×50= ×40，
60 60
解得：m＝26（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即6＜m≤9时，
4 5
m 8+m−2
×50= ×40，
60 60
解得：m＝24（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即9.5＜m≤12.5时，
5 6
m 8+m−2.5
×50= ×40，
60 60
解得：m＝22（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即13＜m≤16时，
6 7
m 8+m−3
×50= ×40，
60 60
解得：m＝20（舍）；
当小李在P 与P 之间追上小王，即16.5＜m≤19.5时，
7 8
m 8+m−3.5
×50= ×40，
60 60
解得：m＝18；
∴经过18分钟，小李追上小王，
此时的时刻为4：48．
