文档内容
专题 7.6 平行线中的常见四大模型
【人教版2024】
【模型1 “猪蹄”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD，O是平行线间的一点，连接OB,0C,且两条线段凹进去
图示
结论 ∠BOC=∠B+∠C(已知角之间的数量关系，则平行也成立)
讲解二：结论证明
(方法1)如图,过点O作 OE//AB，∴∠B=∠1.
∵AB//CD，OE//AB，∴OE//CD，∴∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B+∠C
(方法 2)如图，延长 BO 交 DC 于点E.
∵AB//CD，∴∠B=∠BEC.
∵∠BOC=∠C+∠BEC，∴∠BOC=∠B+∠C
也可以延长 CO,方法同证法2.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
∠O₁+∠O₂+∠O₃+…+∠0n= (n-1) · 180°+
结论 ∠O₁+∠O₂=180°+(∠B+∠C)
(∠B+∠C)
1．（23-24七年级·甘肃张掖·期末）如图，直线l ∥l ，∠EAB=125°,∠FBA=85°，则∠1+∠2=
❑1 ❑2
1
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学科网（北京）股份有限公司( )
A．30° B．35° C．36° D．40°
2．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，a∥b，∠3=70°，∠1−∠2=10°，则∠1的度数是（ ）
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
3．（23-24七年级·北京昌平·期末）如图，AB∥DE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 ( )
A．30° B．150° C．100° D．120°
4．（23-24七年级·江苏无锡·期中）如图，AB∥EF，∠C=90°，则α，β和γ的数量关系是 ．
5．（23-24七年级·江苏镇江·期中）如图，a∥b，∠3=65°，∠1=∠2+15°，则∠2= °．
2
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学科网（北京）股份有限公司6．（23-24七年级·辽宁鞍山·期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∠BAD=80°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为 ．（用含n的式子表示）
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直
线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
8．（23-24七年级·江苏·周测）如图，AB∥CD，∠1+∠2=110°，求∠G的度数．
9．（23-24七年级·北京西城·阶段练习）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解
决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，
今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC=∠A+∠C
3
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学科网（北京）股份有限公司小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作EF∥AB
∵∠1=∠A
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD
∴∠2=∠C
∴∠AEC=∠1+∠2
∴∠AEC=∠A+∠C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若AB∥CD，∠E=60∘，求∠B+∠C+∠F；
(2)如图，AB∥CD， BE平分∠ABG， CF平分∠DCG，∠G=∠H+27∘，求∠H．
10．（23-24七年级·江苏常州·期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；
(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【模型2 “铅笔头”模型】
讲解一：模型特征
条件 AB//CD,点0在平行线之间，连接OB,0C,且两条线段凸出来
图示
结论 ∠ +∠ +∠ = °
BOC B C 360
讲解二：结论证明
(方法1:过拐点作平行线)
如图，过点0作OE//AB.
∵AB//CD，∴OE//AB//CD.
【链知识】平行于同一条直线的两条直线互相平行.
∴∠B+∠1=180°，∠C+∠2=180°，
∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠B+∠BOC+∠C=360°
(方法2:作延长线)
如图，延长AB，CO，使其相交于点E.
∵AB//CD，∴∠E+∠C=180°
∵∠ABO+∠EBO=180°
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学科网（北京）股份有限公司∴.∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=360°
∵∠E+∠EBO=∠BOC，
∴∠C+∠ABO+∠BOC=360°
也可以延长 BO，DC，方法同证法2.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
拐点个数 2个 n个
图示
∠O₁+∠O₂+∠O₃+…+∠0n+ (∠B+∠C)=(n+1) ·
结论 ∠O₁+∠O₂+(∠B+∠C)= 3×180
180°
1．（23-24七年级·广东茂名·期中）如图，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（ ）
A．180° B．360° C．540° D．270°
2．（2024七年级·江苏·专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系
是（ ）
A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
3．（23-24七年级·浙江杭州·期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．α+β+γ B．β+γ−α C．180°−α−γ+β D．180°+α+β−γ
4．（23-24七年级·全国·课后作业）如图，如果AB∥CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D= °．
5．（23-24七年级·陕西西安·期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，
其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，
CG∥EF，∠BAG=150°，∠≝=130°，则∠AGC的度数是 ．
6．（23-24七年级·江苏常州·期中）如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CD∥AE，则
∠ABC+∠BCD＝ 度；
7．（23-24七年级·江苏盐城·期中）如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直
线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝ ．
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学科网（北京）股份有限公司8．（23-24七年级·内蒙古·期中）综合与探究：
（1）问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．
∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．
∵AB∥CD．∴PE∥CD．
…………
请你帮助小明完成剩余的解答．
（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：
如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．当点P在A，B两点之间时，
∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系？请说明理由．
9．（23-24七年级·广东东莞·期中）如图，已知AB∥CD．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
10．（23-24七年级·广东汕头·期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB//CD，AB和CD都不经过点
P，探索∠P与∠A、∠C的数量关系．
发现：在图1中，∠APC=∠A+∠C；如图5
小明是这样证明的：过点Р作PQ//AB
∴∠APQ=∠A___________
∵PQ//AB，AB//CD．
∴PQ//CD__________
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
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学科网（北京）股份有限公司（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为_____________________；
②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究∠P与∠A、∠C的数量关系，并说明理由．
【模型3 “锯齿”模型】
讲解一：模型特征
AB//CD,点E,F在平行线的内部，连接BE,EF,FC,且图形中至 少有两个拐
条件
点
图示
结论 ∠B+∠F=∠E+∠C
讲解二：结论证明
如图，过点E作MN//AB，过点F作 PQ//AB.
∵ AB//CD，∴ AB//MN//PQ//CD.
∴∠B=∠BEN，∠EFP=∠FEN，∠PFC=∠C，
∴∠B+∠EFP+∠PFC=∠BEN+∠FEN+∠C，
∴∠B+∠EFC=∠BEF+∠C.
讲解三：模型拓展
拓展方向 研究拐点较多时的情况
图示
拆分思路 拆分成“猪蹄”模型和内错角 拆分成2个“猪蹄”模型
1．（23-24七年级·新疆克拉玛依·期末）（1）如图1，l∥l，求∠A+∠A+∠A＝______．（直接写出结
1 2 1 2 3
果）
（2）如图2，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l∥l，求∠A+∠A+…+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 n
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、
CD上，连接PE、EQ．
(1)如图1，直接写出∠APE、∠PEQ、∠CQE之间的数量关系；
(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=150°时，求出∠PFQ的度数；
(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当
∠PEQ=60°时，直接写出∠PFQ的度数．
3．（23-24七年级·重庆九龙坡·期中）如图1，直线MN∥PQ，直线AB分别交MN、PQ于A、B点，
∠ABP<90°，点D在线段BQ上（不在端点处），点C在直线AB上，点E在直线MN上，连接CD、CE．
(1)如图1，点C在线段AB上，若EC⊥CD，∠AEC=65°，则∠CDB的度数为________；
(2)如图2，点C在线段AB上，点K为直线MN与PQ之间区域的一点，点E在线段AN上（不与端点重合），
1 1
连EK、KD．若∠ECD=60°，∠NEK= ∠CEN，∠KDQ= ∠CDQ，求∠EKD的度数；
3 3
(3)如图3，DH⊥AB于点H，EC⊥CD，点C在射线HA上运动(C不与H重合），∠AEC与∠CDB的
角平分线所在直线交于点G，∠AEC与∠CDQ的角平分线所在直线交于点F，∠FGD与∠GFD的角平
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学科网（北京）股份有限公司分线交于点T，直接写出∠FEN、∠CDG与∠FGT的数量关系．
4．（23-24七年级·湖北黄冈·开学考试）如图，AB∥CD．
(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知∠A=24°．
①如图2，若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；
②如图3，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．
5．（23-24七年级·四川宜宾·期末）已知，过∠ECF内一点A作AD∥EC交CF于点D，作AB∥CF交
CE于点B．
(1)如图1，求证：∠ABE=∠ADF；
(2)如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延
长AQ交BM于点P，如果∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=50°，求∠MPA+∠PQF的度
数．
6．（23-24七年级·山东济南·期末）如图，已知AB∥DE．
(1)感知与探究：
如图1，已知∠B=45°,∠BCD=110°,请求出∠CDE的度数；
(2)问题迁移：
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学科网（北京）股份有限公司如图2，BG、DF分别是∠ABC、∠CDE的角平分线，BG的反向延长线与DF相交于点F，猜想∠F与
∠BCD之间的数量关系，并说明理由；
(3)联想拓展：
在（2）的条件下，若∠BCD=100∘，则∠F的度数是_____________．
7．（23-24七年级·湖北武汉·期中）已知直线AB∥CD，点P是AB上方一点，E是AB上一点，F是CD
上一点连接PE、PF．
(1)如图①，求证：∠P=∠PEB−∠PFD
(2)如图②，∠PEB，∠CFP的平外线所在直线交于点Q，若∠P=50°，求∠Q的度数．
(3)如图③，∠PEB、∠PFD的平分线交于H点，且∠P−∠H=15°，直接写出∠PFD−∠PEB=___．
8．（23-24七年级·山东滨州·期末）感知发现：（1）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣
的模型图，如图1，当AB∥CD时，可以得到结论：∠BED=∠B+∠D．请你写出证明过程；
探索思考：（2）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如
图1，∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥CD．请你写出证明过程；
综合与实线：（3）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一
个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且a∥b，在直
角△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠B=60°．“启智”兴趣小组的同学们发现
∠2=120°+∠1，说明理由；
实践探究：（4）如图3，当AB∥CD时，F是EM上一点，NE平分∠FND，FH平分∠NFE，试探究
∠NHF与∠BME之间的数量关系？并证明你的结论．
9．（23-24七年级·山东烟台·期中）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲
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学科网（北京）股份有限公司身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重
要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE=60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度
数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
10．（23-24七年级·山东德州·期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点
F，FG平分∠DFK，∠AEF=α．
(1)如图1，当α=70°时，∠GFK=________°；
(2)点P为射线FE上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．
①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；
②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出
此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．
【模型4 “三角尺”模型】
讲解一：模型特征
类 型 1： 单一三角尺
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学科网（北京）股份有限公司类型2 ：常见角度的拼接
讲解二：模型拓展
拓展方向：常见的直尺与三角尺的拼接
1．（2024·云南·模拟预测）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=56°，
则∠2的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．30° B．34° C．42° D．58°
2．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设∠1=30°，则∠2的度
数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
3．（2024·山西大同·模拟预测）一副三角尺按如图摆放，若EF∥AC，DF交AB于点M，则∠DMB的度
数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
4．（23-24七年级·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，
∠BAC=∠DAE=90°，∠C=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．
（1）若BC⊥AD，则∠DAC的度数为 ；
（2）若将三角形ADE绕点A转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则∠DAC的度数为 ．
5．（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B， D在同一条直
线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为 度
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学科网（北京）股份有限公司6．（23-24七年级·山东济南·期末）将一副三角尺按照如图方式摆放，其中有一个角为30的直角三角形的
长直角边与等腰直角三角形的斜边平行，则∠α的度数为 ．
7．（23-24七年级·山东临沂·期末）如图，MN∥PQ．将两块直角三角尺（一块含30°，一块含45°）按
如下方式进行摆放，恰好满足∠MAE=∠CBQ．
(1)若∠NAC=16°，求∠CBQ的度数；
(2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
8．（23-24七年级·浙江台州·期末）数学课上，老师要求同学们利用三角尺画两条平行线．
(1)如图1，小颖用两个含30°的三角尺画出平行线a，b．那么小颖得到a∥b的直接依据是______．
(2)同桌小亮用一个含45°的三角尺和两个含30°的三角尺按如图2方式摆放，并画出平行线a，b．
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学科网（北京）股份有限公司请帮助小亮完成下面的证明：
由题意得∠ABC＝90°，∠1＝30°，∠2＝60°，过点B作BD∥a，
又∵∠2＝60°（已知），∴______＝∠2＝60°（______）．
∵∠ABC＝90°（已知），∴∠CBD＝______°．
又∵∠1＝30°（已知），∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴______∥______（内错角相等，两直线平行）．
∵BD∥a，∴a∥b（______）．
9．（23-24七年级·湖北襄阳·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一
起，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后OD绕点O按顺时针方向以10°/秒的速度转动．（设OD边
再次与OA边重合时停止，转动时间为t秒）
(1)如图（1），若∠BOD=50°，则t=______秒，∠AOC=______．
(2)如图（2），在转动过程中“AB//OD”与“OB//CD”会不会同时成立？请说明理由．
(3)将三角尺COD的OD边与OA边重合，OA绕点O按顺时针方向以m°/秒的速度与OD同时转动，在30
秒后这两块三角尺的斜边互相平行，求m的值．
10．（23-24七年级·四川遂宁·阶段练习）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线
PQ，MN上）的一个动点．
(1)若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明原因；
(2)若把一块三角尺（∠A=30°，∠C=90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的
交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数；
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学科网（北京）股份有限公司(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连
∠GEN
接EG，且有∠CEG=∠CEM，求 的值．
∠BDF
11．（23-24七年级·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DE∥BC，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DA
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．
方法运用：
如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的
直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求∠1的度数．
12．（23-24七年级·全国·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，
其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．
(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；
【探究】
(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【应用】
(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存
在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
13．（23-24七年级·四川成都·期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中
∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋
转，记旋转角∠CAE＝α(0°＜α＜180°)．
(1)当α为 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值．
14．（23-24七年级·四川资阳·期末）将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C
按顺时针方向旋转，其中∠A=45°，∠D=30°，设旋转角为α，(0°”“ <”或“=”）．
(2)如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．
①当NO∥EF∥PM时，求α的度数．
②小安将三角尺PMN保持EF∥PM并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的代数式表
示）．
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