文档内容
第 12 章 全等三角形 章节整合练习（8 个知识点+40
题练习）
章节知识清单练习
知识点1．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位
置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的
角叫做对应角．
知识点2．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三
角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是
指边的对角．
知识点3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，
若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组
对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一
组对应邻边．
知识点4．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角
形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．
所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三
角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅
助线构造三角形．
知识点6．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需
要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联
系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解
决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把
已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
知识点7．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线
段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直
角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
知识点8．作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有
限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一
起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
章节题型整合练习
一．全等图形
1．（2023秋•东湖区校级期末）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为
1，则 和 的关系为A． B． C． D．
2．（2024春•蒲县期末）下列说法中，不正确的是
A．两个全等形的对应边相等，对应角相等
B．两个全等三角形的周长一定相等
C．两个全等形一定关于某条直线翻折后重合
D．两个全等三角形的面积一定相等
3．（2024 春•蒸湘区校级期末）如图是由 4 个相同的小正方形组成的网格图，则
．
4．如图，画在透明纸上的 和△ 是全等图形吗？你是怎么判断的？
5．（2024春•周口期末）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形
二．全等三角形的性质
6．（2023秋•昭阳区月考）如图所示， ， ， ，则 的长是
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（2024•开福区校级二模）如图， ，点 ， ， 在同一条直线上，且
， ，则 的长是 ．
8．（2024春•姑苏区校级月考）如图， ， 的延长线交 于点 ，
， ， ，则 ．9．（2024春•揭西县期末）如图， ， ， ， ，
．
（1）求 的长．
（2）求 的度数．
10．（2024春•新郑市期末）如图，已知 ，其中 和 ， 与 是对
应边，点 在边 上， 与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．三．全等三角形的判定
11．（2024•海淀区校级开学）如图， ，点 ， 分别在 与 上， 与
相交于点 ．只填一个条件使得△ △ ，添加的条件是： ．
12．（2023秋•宜宾期末）如图所示，在△ 和△ 中， ，要使△
△ ，可以添加的条件是
A． B． C． D．
13．（2023秋•南阳期末）如图， 与 交于 ， ，添加一个条件，仍不能使
的是A． B． C． D．
14．（2024•兴隆台区校级开学）如图， △ 中， ， ， ，射
线 于点 ，点 ， 分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ．
要使△ 和△ 全等，则 的长为 ．
15．（2023秋•昭阳区期末）已知：如图， ， 、 分别是 、 的中点．求
证： ．
四．直角三角形全等的判定
16．（2022秋•南关区校级期末）如图，在 和 中， ， ，
若要用“斜边直角边 ”直接证明 ，则还需补充条件： ．
17．（2024春•临渭区期末）如图， ， ，垂足分别为 、 ， 、相交于点 ．如果 ，那么图中全等的直角三角形的对数是
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（2023春•汨罗市月考）如图，在 与 中，已知 ，为了
使 ，需添加的条件是 （不添加字母和辅助线，只写一个）．
19．（2023秋•疏勒县期中）已知：如图 为 的高， 为 上一点 交 于
且有 ， ．
求证： ．
20．（2024春•莲湖区期中）如图， ， ， 于点 ， 于
点 ．求证： ．五．全等三角形的判定与性质
21．（2023秋•齐齐哈尔期末）如图，在等腰 中， ， ， 上一点
使 ，过点 作 且 ，连接 、 ，则 的度数为
A． B． C． D．
22．（2024•海淀区校级开学）如图， 、 是锐角△ 的高，相交于点 ，若
， ， ，则 的长为 ．
23．（2024•大庆一模）如图， 是 的边 上的中线， ， ，则的取值范围为
A． B． C． D．
24．（2024•南岗区校级开学）已知，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ，
， ，则点 坐标为 ．
25．（2024春•西安校级期中）如图，在 △ 中， ，点 在 的延长
线上，且 ．过点 作 ，与 的垂线 交于点 ．
（1）求证：△ △
（2）若 ， ，求 的长．六．全等三角形的应用
26．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不
用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点 处，选对岸正对的一棵树 ，然后
沿河岸直行 到达树 ，继续前行 到达点 处，再从点 处沿河岸垂直的方向行走．
当到达树 正好被树 速挡住的点 处时，停止行走，此时 的长度即为河岸 的宽
度．小开这样判断的依据是
A． B． C． D．
27．（2024春•二七区期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店
去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第 块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
A．① B．② C．③ D．①②③
28．（2024春•中宁县期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即 ，左边滑梯的高
度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，则 ．29．（2024春•月湖区期末）如图，两车从路段 的两端同时出发，沿平行路线以相同的
速度行驶，相同时间后分别到达 ， 两地． ， 两地到路段 的距离相等吗？为什
么？
30．（2023秋•凤阳县校级月考）在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图
所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为
1，最大的等腰直角三角形的顶点位于 轴上，依次为 ， ， ， ， ．
（1） 的坐标为 ， 的坐标为 ， 的坐标为 ．
（2）若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的 3种等腰直角三角形墙砖，
最小的等腰直角三角形的斜边长为 ，围墙总长为 按照图中的排列方式，则3种墙
砖各需要多少块？七．角平分线的性质
31．（2024春•泰山区期中）如图所示，若有 ， ，则下列结
论中错误的是
A． 是 的平分线 B． 是 的平分线
C． D．
32．（2024春•西安期末）如图，在△ 中， ，点 是 、 平分线
的交点，且 ， ， ，则点 到边 的距离为
A． B． C． D．
33．（2024•道里区校级开学）如图，△ 的角平分线 、 交于点 ．延长 至
， 与 的延长线相交于点 ，且 ， ，若△ 的面积
为6， ，则线段 的长度为 ．
34．（2024春•潮阳区期末）已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点，和 的角平分线交于点 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2， 和 的角平分线交于点 ，求 的度数；
（3）如图3，若 ，延长线段 得射线 ，延长线段 得射线 ，射线
绕点 以每秒 的速度逆时针旋转 后停止，射线 绕点 以每秒 的速度顺
时针旋转 以后停止．设它们同时开始旋转，当射线 时，求满足条件的 的值
为多少．
35．（2024春•大祥区期末）如图，在 中， ， 平分 ，
于点 ，点 在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）请你判断 、 与 之间的数量关系，并说明理由．八．作图—尺规作图的定义
36．（2017秋•新化县期末）四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过
， ， 三点，且点 在点 与点 之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线
段 ， 相交于点 ”画出图形（2）；丙同学读语句“点 在直线 上，点 在直线
外”画出图形（3）；丁同学读语句“点 在线段 的延长线上，点 在线段 的反向
延 长 线 上 ” 画 出 图 形 （ 4 ） ． 其 中 画 的 不 正 确 的 是
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
37．（2023秋•蓬江区校级月考）尺规作图的画图工具是
A．尺、量角器 B．没有刻度的三角板、量角器
C．没有刻度的直尺和圆规 D．量角器
38．定义：利用 的直尺和 作图，简称为尺规作图．
39．（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知 ，用直尺和圆规作：（保留作图
痕迹，不要求写作法）
① 的角平分线 ；② 边上的中线 ．
40．（2023秋•思明区期末）如图，点 ， ， 是不在一条直线上的三个点，过 ，
两点作直线，并连接 ， ．
（1）尺规作图：延长 至 ，使得点 为 的中点，作射线 ，在射线 上截取
．（作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹）
（2）若 ， ，求 的长．
