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第 22 章 二次函数能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=2x+2 B．y=−x2 C．y=−x2+2 D．y=2x2+2
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟
知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答．
【详解】A：y=2x+2为一次函数，斜率k=2>0，故当x增大时，y始终增大，不符合
条件．
B：y=−x2是开口向下的抛物线，顶点在原点．当x<0时，函数在对称轴左侧随x增大
而递增，不符合条件．
C：y=−x2+2开口向下，顶点为(0,2)．当x<0时，函数同样随x增大而递增，不符合
条件．
D：y=2x2+2是开口向上的抛物线，顶点为(0,2)．当x<0时，函数在对称轴左侧随x
增大而递减，符合条件．
故选：D．
2．将函数y=2x2的图象向左平移1个单位后，得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A．y=2(x−1) 2 B．y=2x2−1 C．y=2(x+1) 2 D．y=2x2+1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数图象平移的规律，左加右减，
确定平移后的函数表达式．
【详解】解：将函数y=2x2的图象向左平移1个单位后，根据“左加右减”的原则可
知，平移后的函数表达式为y=2(x+1) 2．
故选C．
3．关于抛物线y=−(x+2) 2+3，下列说法中正确的是（）．
A．开口向上 B．对称轴是直线x=2C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像
开口，对称轴，与x，y轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键．
根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案．
【详解】A．在抛物线y=−(x+2) 2+3中，由于a=−1<0，所以该抛物线开口向下，故
该选项错误，不符合题意；
B．在抛物线y=−(x+2) 2+3中，对称轴是直线x=−2，而不是直线x=2，故该选项错
误，不符合题意；
C．令y=0，即−(x+2) 2+3=0，解得x=−2±❑√3．这表明抛物线与x轴有两个交点，
故该选项错误，不符合题意；
D．因为抛物线y=−(x+2) 2+3中a=−1<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值．
当x=−2时，函数的最大值是3，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
1
4．二次函数y=− x2−2x−5可变形为（ ）
3
1 1
A．y=− (x−1) 2−4 B．y=− (x+3) 2−2
3 3
1 1
C．y=− (x+3) 2+6 D．y=− (x−1) 2+6
3 3
【答案】B
【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法
将二次函数化成顶点式即可得．
1 1
【详解】解：− x2−2x−5=− (x2+6x+9−9)−5
3 3
1
=− [(x+3) 2−9)−5
3
1
=− (x+3) 2+3−5
31
=− (x+3) 2−2，
3
1 1
则二次函数y=− x2−2x−5可变形为y=− (x+3) 2−2，
3 3
故选：B．
5．飞机着陆后滑行的距离s(m)关于滑行的时间t(s)的函数关系式是s=−1.5t2+60t，则飞
机着陆后滑行（ ）秒才能停下来？
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转
化为顶点式，求出t为何值时s取最大值即可求解．
【详解】解：∵ ，
s=−1.5t2+60t=−1.5(t−20) 2+600
又∵a=−1.5<0，
∴当t=20时，s有最大值，
即飞机着陆后滑行20秒才能停下来．
故选：C．
6．已知二次函数 ，点 ， 均在该二次函数图象上．
y=(x−a−3)(x+a) A(−1,y ) B(x ,y )
1 2 2
若y ≥ y ，则x 的取值范围为（ ）
1 2 2
A．−4≤x ≤−1 B．−1≤x ≤4 C．4≤x ≤6 D．6≤x ≤8
2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出该二次函数的图象与x轴的交点分别
3
(a+3,0)，(−a,0)，从而得出该二次函数图象的对称轴为直线x= ，根据对称性得出
2
3
A(−1,y )关于直线x= 的对称点为A′ (4,y )，根据二次函数性质，求出结果即可．
1 2 1
【详解】解：当y=0时，(x−a−3)(x+a)=0，
解得：x=a+3或x=−a，
∴该二次函数的图象与x轴的交点分别为(a+3,0)，(−a,0)，
a+3−a 3
∴该二次函数图象的对称轴为直线x= = ，
2 2
∵该二次函数的图象开口向上，3
∴当x≤ 时，y的值随x的值增大而减小，
2
3
∵A(−1,y )关于直线x= 的对称点为A′ (4,y )，
1 2 1
∴y ≥ y 时，−1≤x ≤4．
1 2 2
故选：B．
7．若关于x的一元二次方程mx2−6mx+3=0有两个实数根，则m的取值范围为（ ）
1 1 1 1
A．m< B．00
的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，
求出m的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一
元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为0这个隐含条件．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2−6mx+3=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=36m2−12m≥0，
1
解得：m≤0或m≥ ，
3
又∵m≠0，
1
∴m<0或m≥ ．
3
故选：D．
8．已知点P(m,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的
取值范围是（ ）
A．−30，b>0，由一次函数图象可知：
a>0，b<0，故选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数图象可知：a>0，b>0，由一次函数图象可知：a>0，b>0，故选项
B正确，符合题意；C、由二次函数图象可知：a>0，b<0，由一次函数图象可知：a<0，b>0，故选项
C错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知：a>0，b<0，由一次函数图象可知：a<0，b<0，故选项
D错误，不符合题意．
故选：B．
10． 已知二次函数y=−x2+4x+5及一次函数y=−x+b，将该二次函数在x轴上方的图
象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直
线y=−x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是（ ）
29 29
A．−9
11 1 2 1 2
”“<”或=”）．
【答案】=
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性比较函数
值的大小即可．
3
【详解】解：抛物线y= (x−5) 2的对称轴为直线x=5，
11
点 关于直线 对称，
∴ A(4,y ),B(6,y ) x=5
1 2
∴y = y ，
1 2
故答案为：=．
14．当n≤x≤n+1时，若二次函数y=x2−4x+3的最大值为2，则n的值为
．
【答案】2−❑√3或1+❑√3
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的
关键．依据题意，由 ，可得抛物线开口向上，当 时，
y=x2−4x+3=(x−2) 2−1 x=2
y取最小值为−1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x=n时或当2n+1 3
x=n+1时，y取最大值，进而分当x=n时，y取最大值，此时 <2，即n< 和当
2 2
2n+1 3
x=n+1时，y取最大值，此时 >2，即n> ，分别进行计算可以得解．
2 2
【详解】解：由题意，∵ ，
y=x2−4x+3=(x−2) 2−1
∴抛物线开口向上，当x=2时，y取最小值为−1．
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．
∴当x=n时或当x=n+1时，y取最大值．
2n+1 3
①当x=n时，y取最大值，此时 <2，即n< ．
2 2
又∵此时y最大值为n2−4n+3=2，
∴n=2+❑√3（不合题意，舍去）或n=2−❑√3．
2n+1 3
②当x=n+1时，y取最大值，此时 >2，即n> ．
2 2
又∵此时y最大值为 ，
(n+1) 2−4(n+1)+3=n2−2n=2
∴n=1+❑√3或n=1−❑√3（不合题意，舍去）．
综上，n=2−❑√3或1+❑√3．
故答案为：2−❑√3或1+❑√3．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点
C．
(1)求抛物线的解析式，并求抛物线的顶点坐标；
(2)求△ABC的面积．
【答案】(1)y=−x2+2x+3，顶点坐标为(1,4)；
(2)6【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法去抛物线的解析式、求三角形面积，
掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将A、B点的坐标代入解析式求出y=−x2+2x+3，然后配方成顶点式即可求出
顶点坐标；
（2）首先求出OC=3，AB=3−(−1)=4，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）将A(−1,0)、B(3,0)代入解析式，得
{−(−1) 2+b×(−1)+c=0)，
−32+3b+c=0
{b=2)
解得：
c=3
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
∵ ，
y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4
∴顶点坐标为(1,4)；
（2）如图，连接BC
当x=0时，y=−x2+2x+3=3
∴C(0,3)
∴OC=3
∵A(−1,0)、B(3,0)，
∴AB=3−(−1)=4
1 1
∴△ABC的面积= AB⋅OC= ×4×3=6．
2 2
16．（8分）某工厂现有40台机器，每台机器平均每天生产192件产品，现准备增加一批
同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一
台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
【答案】(1)
y=−4x2+32x+7680(00，
解得：x<48，
则 ；
y=−4x2+32x+7680(03，
9 9
∴能通过．
18．（8分）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，
能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是
抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐
标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，
当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线
宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．2
【答案】(1)y=− (x−6) 2+8(0≤x≤12)
9
(2)能安全通过，见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入(12,0)即可求解a，继而得到函数解析
式；
（2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到
的差值与0.5比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点为(12 )，即 ，
,8 (6,8)
2
设抛物线的解析式为：
y=a(x−6) 2+8(a≠0)
代入点 得 ，
(12,0) a(12−6) 2+8=0
2
解得：a=− ，
9
2
∴抛物线解析式为y=− (x−6) 2+8(0≤x≤12)；
9
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
12 2
由题意得：x = − −3=2，
A 2 2
2
将x=2代入y=− (x−6) 2+8，
9
2 40
则y=− ×(2−6) 2+8= ，
9 9
40 17
∵ −3.5= >0.5，
9 18∴能安全通过．
19．（8分）【问题背景】（1）小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地
上进行课外实践活动，现有A、B两种农作物的相关信息如表：
A作物 B作物
每平方米种植株数 2 10
（株）
单株产量（千克） 1.2 0.5
（2）经调研发现：种植A作物，每平方米每增加1株，A作物的单株产量就减少0.1千
克；
（3）若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植．
【问题解决】
(1)种植A作物，设每平方米增加x株（x为正整数），用含x的代数式表示：
①每平方米有________株；②单株产量为________千克．
(2)要使A作物每平方产量达到4.8千克，则每平方米A作物应种植多少株？
(3)设这100平方米的土地中有a平方米用来种植A作物（a≥10），且要求每平方米种
植A作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植10株B作物，当这100平方米的总
产量不低于496千克时，求a的取值范围．
【答案】(1)(2+x)，(1.2−0.1x)
(2)每平方米应种植6株或8株
(3)10≤a≤40
【分析】本题考查二次函数，一元二次方程以及一元一次不等式的应用，关键是找到
等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
（1）根据题意直接得出结论；
（2）根据单株产量×每平米的株数=4.8列出方程，解方程即可；
（3）现根据种植A作物每平米的产量=单株产量×每平米的株数列出函数解析式，根
据函数的性质求出种植A作物每平米的最高产量，再根据100平米种植A作物和B作物
的产量之和≥496列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有(2+x)株，
单株产量为(1.2−0.1x)千克，
故答案为：(2+x)，(1.2−0.1x)；
（2）根据题意得：(2+x)(1.2−0.1x)=4.8，整理得：x2−10x+24=0，
解得：x =4，x =6，
1 2
∴x +2=4+2=6或x +2=6+2=8，
1 2
答：每平方米应种植6株或8株；
（3）设种植A作物每平方米的产量为y千克，
根据题意得： ，
y=(2+x)(1.2−0.1x)=−0.1x2+x+2.4=−0.1(x−5) 2+4.9
∵−0.1<0，
∴当x=5时，y有最大值，最大值为4.9，
∴种植A作物每平方米最大产量为4.9千克，
根据题意得：4.9a+(100−a)×10×0.5≥496，
解得a≤40，
又∵a≥10
则a的取值范围是10≤a≤40，
故答案为：10≤a≤40．
20．（8分）综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动
问题．如图，轨道起始段（AC段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（CB段）粗糙，
存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度v（单位：cm/s）与时间t
（单位：s）的关系（如图1所示），以及路程s（单位：cm）与时间t（单位：s）的
1
关系（如图2所示）．其中，图2中PQ段是抛物线s=− t2+mt+n的一部分．已知
4
小球初速度v =10cm/s．
0【建立模型】
任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段AC的长度为_____cm；
任务2：①求小球在粗糙轨道（射线CB对应部分）上运动时，速度v(cm/s)与时间
t(s)之间的函数关系式．
②求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线CB上）是否存在
一节长为9.75cm的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，
请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
1
【答案】任务1：40；任务2：① v=− t+12；②行进的总路程为140cm；任务
2
3：轨道起点与点A之间的距离为40cm
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数
解析式．
任务1：由图2可以得出轨道初段AC的总长；
任务2：①用待定系数法求出v与t的函数解析式；②先求出抛物线的解析式，由①
中解析式求出运动停止的时间，即可解答；
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第(m+1)秒行驶至轨道
终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s，求出m的值，再把m的值代入
抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离．
【详解】解：任务1：由题意得：轨道初段AC的总长为10×4=40(cm)
故答案为：40；
任务2：①设v=kt+b，
{4k+b=10)
则 ，
16k+b=4{ k=− 1 )
解得 2 ，
b=12
1
∴v=− t+12；
2
1
{ 40=− ×42+4m+n )
根据题意将 代入 1 得： 4 ，
② (4,40),(16,124) s=− t2+mt+n
4 1
124=− ×162+16m+n
4
{m=12)
解得 ，
n=−4
1
∴s=− t2+12t−4；
4
1
由①知小球在CB段速度v(cm/s)与时间t(s)之间的函数关系式为v=− t+12，
2
1
当v=− t+12=0时，解得t=24，
2
1 1
将t=24代入s=− t2+12t−4得s=− ×242+12×24−4=140cm，
4 4
∴行进的总路程为140cm；
任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第(m+1)
秒行驶至轨道终点，
由题意得： − 1 (m+1) 2+12(m+1)−4− ( − 1 m2+12m−4 ) =9.75 ，
4 4
解得：m=4，
1 1
当m=4时，− m2+12m−4=− ×16+12×4−4=40cm，即这节轨道的起点刚好
4 4
为C点（符合题意），
∴轨道起点与点A之间的距离为40cm．
21．（10分）已知二次函数 的图象与 轴的交于 、 两点，与
y=x2+bx+c(a≠0) x A B(1,0)
y轴交于点C(0,−3)，(1)求二次函数的表达式及A点坐标；
(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积最大时点D的坐标；
(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、
B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）
【答案】(1)
y=x2+2x−3,A(−3,0)
(2) ( 3 15)
D − ,−
2 4
(3)有，满足条件的点N的坐标为(−2,−3)或(0,−3)或(2,5)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的
几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标；
（2）连接AD、CD，求出直线AC的表达式为y=−x−3，过点D作x轴的垂线，交
1 1 3
AC于点G，得S =S +S = DG⋅OA= DG×3= DG，可知当DG
△ACD △ADG △CDG 2 2 2
取最大值时， 的面积最大，设 ，则 ，可得
△ACD D(m,m2+2m−3) G(m,−m−3)
−3
