文档内容
第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）
【考试范围：一元二次方程、二次函数】
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25九年级上·北京·开学考试）方程 的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2和3 B．1和 C．2和 D．2和
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案．
【详解】解：
整理得，
∴二次项系数和一次项系数分别为2和 ．
故选：C．
2．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和
自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加
一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按
规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定
“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有
91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ，
故选：D．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的性质，分 和 两种情况根据二次函数与一
次函数图象分析判断即可得解．
【详解】解：对称轴为直线 ，
时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点 ，一次函数 经过第
一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点 ，
时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点 ，一次函数 经过第
二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点 ．
故选：D．
4．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）对于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线
C．当 时，y取最大值 D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的
性质是解此题的关键．【详解】解：A、∵ ，∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意；
B、它的图象的对称轴是直线 ，故该选项错误，符合题意；
C、当 时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意；
D、当 时，y随x的增大而减小，故当 时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
5．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）设 是抛物线 上的三
点，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把点的坐标分别代入可求得 的值，比较大小可求得答案．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键
【详解】解： 是抛物线 上的三点，
，
，
故选：A．
6．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第四象限，则关于x
的方程 的实数根的情况为（ ）
A．无解 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，
方程无实数根．由直线解析式求得 ，然后确定 的符号即可．
【详解】解： 直线 不经过第四象限，，
关于 的方程 ，
，
关于 的方程 有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如果关于 的一元二次方程 满足 ，那么
我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知 是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下
列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程 的根的判别式 ，掌握根的判别式与根的
关系成为解题的关键．
由判别式的意义可得 ，根据“阿凡达”方程的定义可得 ，即 ，把
代入 可得到 ，则 ，然后再逐项判断即可．
【详解】解：∵ 是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，
∴ ， ，即 ，
∴ ，即 ，即
∴
∴ ．
故选：A．
8．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．只有②③④ D．只有①②
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键．
根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中 有两个实数根、 有两个不相等的实
数根、 无解，以及求根公式 和等式的性质逐个排除即可．
【详解】解：①若 ，即 ，
则 是原方程的解，即方程至少有一个根，
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知： ，
故①正确；
②∵方程 有两个不相等的实根，
∴ ，
∴ ，
又∵方程 的判别式为 ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，
故②正确；
③ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，即有两种可能性，
故③错误；
④若 是一元二次方程 的根，
∴根据求根公式得： 或 ，
∴ 或 ，
∴ ，
故④正确．
故选：A．9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数 （ 为常数，且 ），当
时，函数的最大值与最小值的差为9，则 的值为（ ）
A．－6 B．4 C． 或0 D．0或
【答案】D
【分析】根据题意可知二次函数 ，故该函数的对称轴为直线 函数
的最大值为2，然后根据对称轴 所在的位置进行分类讨论计算即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当 时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决
问题是关键．
【详解】解：二次函数
∴该函数的对称轴为直线 ， 函数的最大值为2，
当 时，
时， 函数有最大值 ，
时，函数有最小值 ，
∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得： (舍去)，
当 时，
时，函数有最大值 ，
时，函数有最小值 ，
∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得： (舍去) ，
当 时， 时，函数有最小值 ，函数有最大值 ，，
解得： 或 (舍去)，
当 时， 时，函数有最小值 ，函数有最大值 ，
，
解得 或4(舍去)，
或 ，
故选：D．
10．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数 （x小于或等于2m，m为常
数）的图象记为G．当图象G与x轴有两个交点时，设左侧交点的横坐标为a，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理
解题意，先根据图象G与x轴有两个交点可求得 ，再求出当抛物线顶点在x轴上时的m值，利用图象
法判断即可．
【详解】解：设图象G的最低点为P(x ,y )，
0 0
当 时，如图，
∵ ，
∴图形G是抛物线在直线 的左侧部分（包括点D），
此时，图象G于x轴有两个交点，最低点为 ，当 时，函数为 ，
此时函数图象与x轴只有一个交点，显然不符合题意，
当 时，如图，
图象G是抛物线在直线 的左侧部分（包括点D），
此时图形G与x轴的交点只有一个，不符合题意，
∴当图象与轴有两个交点时， ，
当抛物线顶点在x轴上时， ，
解得： 或 （舍去），
∵ ，
∴当 ，即 时， ，
∴原抛物线过定点 ，
如下图所示，
∴观察图形可知，当图形G与x轴有两个交点时， ，故选：B．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25九年级上·北京·开学考试）把一元二次方程 化成一般形式为
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是 ，其中a是二次项系数，
b是一次项系数，c是常数项，掌握一元二次方程的基本形式是解题关键．将方程两边展开，然后移项合并
同类项，即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴
∴ ．
故答案为： ．
12．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）一元二次方程 的两根和为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到 ，即可得出结果．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）将抛物线 向上平移4个单位长度，再向左平移
2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减，上加下减即可得
出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线 向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ，即 ，
故答案为： ．
14．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，抛物线 与直线 交于
两点，则关于 的一元二次方程 的解是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查抛物线与一次函数的关系，一次函数与抛物线的两个交点的横坐标即为二者联立得到的
一元二次方程的两个解，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 两点，
∴点 横坐标分别为 ，
关于 的一元二次方程 的解是 或 ．
故答案为： 或 ．
15．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某涵洞的截面是抛物线形状，抛物线在如图所示的
平面直角坐标系中，对应的函数解析式为 ，当涵洞水面宽 为16m时，涵洞顶点O至水面的距
离为 ．【答案】16
【分析】本题考查二次函数的应用．根据抛物线的对称性及解析式求解．
【详解】解：依题意，设 点坐标为 ，
代入抛物线方程得： ，
即水面到桥拱顶点 的距离为16米．
故答案为：16．
16．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，直线 与函数
的图象有两个公共点，若 为无理数，则 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数图象与一元二次方程，令 ，得到方程有两个不相等的非负实数
根，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：令 ，则： ，
由题意，得：方程 有两个不相等的非负实数根，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
17．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P 和点Q 在抛物线
上，若 ，则m的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题的
关键．分两种情况：当对称轴 在y轴右侧时，当对称轴 在y轴左侧时，结合二次函数图象的
特性分别进行解答即可．
【详解】解：∵当 时， ，
抛物线与y轴的交点为(0,1)，当 时，则 ，即 ，
或 ，
∴ 与(0,1)关于对称轴对称，
当对称轴 在y轴右侧时， ，此时 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当对称轴 在y轴左侧时， ，
当P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，此时 ，不符合题意；
当P、Q两点都在对称轴的两侧，点P关于 的对称点的横坐标值为 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴综上，m的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线的
顶点为C，点 D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若 的面积为3，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式是解题的关键．
令 ，即 ，可求 或 ，即 ， ，由 ，可得
，如图，记直线 与 轴的交点为 ，设 ，且 ，待定系数法求直线
的解析式为 ，当 时， ，可求 ，即 ，则
，计算求出满足要求的解，进而
可得结果．
【详解】解：令 ，即 ，
解得， 或 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
如图，记直线 与 轴的交点为 ，
设 ，且 ，设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，当 时， ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）因式分解法求解．
【详解】（1）解：
，
∴ 或 ，解得： 或 ，
∴原方程的解为： ， ；
（2）解：
，
，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴原方程的解为： ， ．
20．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）已知关于x的方程 有两个实数根 ， ，其中
，求另一个根 和k的值．
【答案】 ，
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．
由题意得， ， ，由 代入求出 ，再求出k．
【详解】解：由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ．
21．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)画出该函数的图象；
(3)当 时，直接写出y的取值范围．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，画出二次函数图象等知识，
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）见详解；
（3）数形结合，根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：将 代入
得： ，
解得： ，
∴解析式为： ；
（2）解：列表：
x …… 0 1 2 3 4 5 ……
y …… 8 3 0 0 3 8 ……
描出点 ，再连线可得，图象如图所示：（3）解：由函数图象得，顶点为 ，
∴当 ， ，
∴y的取值范围为 ．
22．（23-24九年级上·云南红河·期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)判断该方程实数根的情况；
(2)若实数k及该方程的根均为整数，求k的值．
【答案】(1)该方程总有两个实数根
(2) 或 或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）只需要求出判别式的符号即可得到结论；
（2）设方程的两个根为a、b，由根与系数的关系得到 ，根据题意可得 都是整
数，据此求解即可．
【详解】（1）解：，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两个根为a、b，
∴ ，
∵a、b、k都是整数，
∴ 都是整数，
∴ 或 或 ．
23．（2024·湖南长沙·模拟预测）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规
定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(单位：
件)与销售单价x(单位：元/件)满足一次函数关系，部分数据如表所示：
4
销售单价x/(元/件) … 35 45 …
0
8
每天销售数量y/件 … 90 70 …
0
(1)【探究】
根据上表中的数据，请判断 和 (k，b为常数)哪一个能正确反映每天的销售数量y与销售单
价x的函数关系？并求出y关于x的解析式；
(2)【应用】
若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
【答案】(1) 能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系 ，
(2)销售单价应定为50元
【分析】（1）依题意，能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系： ，用待定系数法
可得 ；
（2）由题意：每天销售所得利润为1200元，列出方程，解方程并由销售单价不低于成本且不高于52元，
即可得出结论；
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）正确求出函数关系式；
（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【详解】（1）解：依题意，能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系：
把 ， 代入 得：
，
解得 ，
；
（2）根据题意得： ，
解得： ， ，
规定销售单价不低于成本且不高于52元，
，
答：销售单价应定为50元；
24．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、点 ，
与 轴交于点 ，其中 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点 在二次函数图象上，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或 或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点 的坐标，进而求出 的面积，则由三角形面积公式可求出点 的纵坐标，进而求出
点 的坐标即可．
本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，把 ， 代入 中，
得 ，
，
二次函数解析式为 ；
（2）解：当 时，则 ，
解得 或 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
当 时，
解得 ，
即 ；
当 时，
解得 或 ，
即 或 ；综上所述，点 的坐标为(1,4)或 或 ．
25．（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石
为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已
知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度 为40米，桥拱最高点到水面的距离为10
米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽 为16米，露出水面的高 为7米．
四边形 为矩形， ．现以点O为原点，以 所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角
坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)这艘货船能否安全过桥？
(3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
【答案】(1)
(2)该船能安全通过
(3)此时该货船能安全过桥
【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先根据经过 ，设抛物线的解析式为 ，再把 代入进行计算，即可作答．
（2）先求出点D的横坐标，再代入 ，得出 ，即可作答．
（3）依题意，得平移后抛物线的解析式为 ，把 代入 ，进行计算
，即可作答．【详解】（1）由题易知， ，抛物线的顶点为点
设抛物线的解析式为 ，
将 分别代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由题易知，点D的横坐标为 ，
把 代入 ，
得
∵ ，
∴该船能安全通过．
（3）由题易知，水位上升 米，相当于将抛物线 向下平移 个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为
把 代入 ，
得 ．
∵ ，
∴此时该货船能安全过桥
26．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为 ，与直
线 交于点 和点 ．(1)直接写出点 的坐标 ；
(2)求抛物线的解析式，并求出点 的坐标；
(3)如图2，点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，交抛
物线于点 ，以 为一边，在 的右侧作矩形 ，且 ．当矩形 的面积随着 的增大
而增大时，求 的取值范围．
【答案】(1)(8，0)
(2) ，
(3) 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、待定系数法求二次函数的解析
式、矩形的性质、二次函数的综合等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，
是解此题的关键．
（1）作 交 于点D，则 ，得到 ，由二次函数的性质可得 ，即可
得出点B的坐标，
（2）设抛物线的解析式为 ，将 代入抛物线得： ，求出a的值，即
可得出抛物线解析式，联立 ．即可求出点C的坐标．
（3）根据题意得 ， ，分两种情况：当点D在点C的左侧时；当点D在点C的右侧时，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）如图1，作 交 于点D，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、B为二次函数与x轴的交点，
∴ 、B关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）设抛物线解析式为 ，
将 代入抛物线得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
联立 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
当 时， ，∴ ．
（3）∵点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，交抛物线于点 ，
∴ ， ，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，矩形 的面积随着 的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
老师您好，我这边又再次看了一下题干的小问（3）条件，点D是和直线的交点，点E是和抛物线的交点，
辛苦老师看下是否需要修改。（下图是按照老师要求修改后的），
∴ ，
∴ ，
∴当 时，矩形 的面积随着 的增大而增大．
综上所述，当 或 时，矩形 的面积随着 的增大而增大．
