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期末培优检测二
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
1
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+1=a(a+ )
a
试题分析：直接利用分解因式的定义分析得出答案．
答案详解：解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法运算，故此选项错误；
B、x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
C、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是分解因式，符合题意；
1
D、a2+1＝a（a+ ），不符合分解因式的定义，故此选项错误；
a
所以选：C．
2．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．3a2•a﹣1＝3a B．（ab2）3＝ab6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．6x8÷2x2＝3x4
试题分析：根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
答案详解：解：∵3a2•a﹣1＝3a，故本选项符合题意；
∵（ab2）3＝a3b6，故本选项不符合题意；
∵（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故本选项不符合题意；
∵6x8÷2x2＝3x6，故本选项不符合题意；
所以选：A．
3．（3分）若a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，则△ABC的形状是（
）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
试题分析：已知等式整理后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b，c的值，
判断即可．答案详解：解：已知等式整理得：2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
即（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
变形得：（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
则△ABC为等边三角形，
所以选：C．
4．（3分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，CE是△ADC的边AD上的中线，若△ABD
的面积为16cm2，则△CDE的面积为（ ）
A．32 cm2 B．16cm2 C．8cm2 D．4cm2
试题分析：根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
答案详解：解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为16cm2，
∴△ADC的面积为16cm2，
∵CE是△ADC的边AD上的中线，
∴△CDE的面积为8cm2，
所以选：C．
5．（3分）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）
A．70° B．68° C．65° D．60°
试题分析：依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等
腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
答案详解：解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，180°−40°
∴△ABE中，∠B= =70°，
2
∴∠AED＝70°，
所以选：A．
1
6．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了
3
乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，如果乙队单独完成总工程需多少个月？设
乙队单独完成总工程共需x个月，则下列方程正确的是（ ）
1 1 1 1 1 1
A． + + =1 B． + + =1
3 2 x 3 6 x
1 1 1 1 1 1 1
C． + + =1 D． + ( + )=1
3 2 2x 3 2 3 x
1 1
试题分析：设乙队单独施1个月能完成总工程的 ，甲1个月完成的工作量为 ，根据甲队完成
x 3
的任务量+乙队完成的任务量＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
1 1
答案详解：解：设乙队单独施1个月能完成总工程的 ，甲1个月完成的工作量为 ，甲和乙
x 3
1 1 1
半个月完成的工作量为 ( + )，
2 3 x
1 1 1 1
根据题意得： + ( + )=1，
3 2 3 x
所以选：D．
a b 1 1
7．（3分）已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M= + ，N= + ．
a+1 b+1 a+1 b+1
①若ab＝1时，M＝N
②若ab＞1时，M＞N
③若ab＜1时，M＜N
④若a+b＝0，则M•N≤0
则上述四个结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
试题分析：①根据分式的加法法则计算即可得结论；
②根据分式的加法法则计算即可得结论；
③根据分式的加法法则计算即可得结论；④根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
a b 1 1
答案详解：解：∵M= + ，N= + ，
a+1 b+1 a+1 b+1
a b 1 1
∴ M﹣ N= + −（ + ）
a+1 b+1 a+1 b+1
a−1 b−1 (a−1)(b+1)+(b−1)(a+1) 2ab−2
= + = = ，
a+1 b+1 (a+1)(b+1) (a+1)(b+1)
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，故①正确；
②当ab＞1时，2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N，故②错误；
③当ab＜1时，a和b可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab﹣2＜0，
∴M＞N或M＜N，故③错误；
a b 1 1
④M•N＝（ + ）•（ + ）
a+1 b+1 a+1 b+1
a a+b b
= + +
，
(a+1) 2 (a+1)(b+1) (b+1) 2
∵a+b＝0，
∴原式 a b a(b+1) 2+b(a+1) 2 4ab ，
= + = =
(a+1) 2 (b+1) 2 (a+1) 2 (b+1) 2 (a+1) 2 (b+1) 2
∵a≠﹣1，b≠﹣1，
∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M•N≤0，故④正确．
所以选：B．
8．（3分）如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，其中正确
的有（ ）
①AE＝CD；②BF＝BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC＝60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
试题分析：由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出
△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
答案详解：解：∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
即AB＝BC，BD＝BE，∠ABE＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴S△ABE ＝S△CBD ，AE＝CD，∠BDC＝∠AEB，
又∵∠DBG＝∠FBE＝60°，
∴△BGD≌△BFE（ASA），
∴BG＝BF，∠BFG＝∠BGF＝60°，
过B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，
∵S△ABE ＝S△CBD ，AE＝CD，
1 1
∴ ×AE×BM= ×CD×BN，
2 2
∴BM＝BN，
∴BH平分∠AHD，∴①②③正确；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠EAB＝∠BCD，
∵∠CBA＝60°，
∴∠AHC＝∠CDB+∠EAB＝∠CDB+∠BCD＝∠CBA＝60°，∴④正确；
∵BF＝BG，∠FBG＝60°，
∴△BFG是等边三角形，∴⑤正确；
∴∠GFB＝∠CBA＝60°，
∴FG∥AD，∴⑥正确；所以选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．（4分）已知x+y＝4，x﹣3y＝3，xy＝2，则代数式x3y﹣2x2y2﹣3xy3的值是 2 4 ．
试题分析：将所求的代数式因式分解，再将已知条件代入即可．
答案详解：解：x3y﹣2x2y2﹣3xy3
＝xy（x2﹣2xy﹣3y2）
＝xy（x﹣3y）（x+y），
∵x+y＝4，x﹣3y＝3，xy＝2，
∴原式＝2×3×4＝24，
所以答案是：24．
3a a2−1 a(a−1)
10．（4分）计算(a− )• 的结果是 ．
a+1 3a−6 3
试题分析：直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
a(a+1)−3a (a−1)(a+1)
答案详解：解：原式= •
a+1 3(a−2)
a(a−2) (a−1)(a+1)
= •
a+1 3(a−2)
a(a−1)
= ．
3
a(a−1)
所以答案是： ．
3
11．（4分）已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为 1 2 ．
试题分析：先求出对应的外角，再求出多边形的边数即可．
答案详解：解：∵一个凸多边形的每个内角都是150°，
∴对应的外角度数为180°﹣150°＝30°，
360°
∴多边形的边数是 =12，
30
所以答案是：12．12．（4分）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则
∠APB的度数为 75 ° 或 15 ° ．
试题分析：首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为
点P在边BC上或在CB的延长线上．
答案详解：解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
180°−30°
∴∠APB= =75°；
2
如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
1
∴∠APB= ∠ABC＝15°．
2
综上所述：∠APB的度数为75°或15°．
所以答案是：75°或15°．
13．（4分）如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC
＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是 ①③④
．
试题分析：根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
答案详解：解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②错误；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正确；
∴BD平分∠ABC，故④正确；
所以答案是：①③④．
14．（4分）如图，在矩形中ABCD，AB＝3，BC＝5，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重
合，点D落在点D′处，则△AD′F的周长为 8 ．
试题分析：由折叠的性质可得CD＝AD'，DF'＝DF，即可求解．
答案详解：解：∵将矩形ABCD沿EF折叠，
∴CD＝AD'，DF'＝DF，
∵△AD′F的周长＝AF+AD'+D'F＝AF+CD+DF＝AD+CD，
∴△AD′F的周长＝5+3＝8，
所以答案是8．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段
1 3
AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+ CE的最小值为
2 2
．
试题分析：可以作CG∥AB构造∠GCA＝∠CAB＝30°，再过点D作DF⊥CG交AC于点E，得1 1
EF= CE，所以DE+ CE＝DE+EF＝DF最小，根据特殊角三角函数值即可求得DF的长．
2 2
答案详解：解：如图，
在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
作CG∥AB
∴∠GCA＝∠CAB＝30°
过点D作DF⊥CG交AC于点E，
1
∴EF= CE
2
1
所以DE+ CE＝DE+EF＝DF最小，
2
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，
3
∴AB= =2√3
cos30°
∵D为AB的中点，
1
∴CD＝AD= AB=√3
2
∵∠DCF＝60°
3
∴DF＝DC•cos60°=
2
1 3
所以DE+ CE的最小值为 ．
2 2
3
所以答案是 ．
2
16．（4分）观察以下等式：
1 1
（﹣1）× =（﹣1）+ ，
2 2
2 2
（﹣2）× =（﹣2）+ ，
3 33 3
（﹣3）× =（﹣3）+ ，
4 4
4 4
（﹣4）× =（﹣4）+ ，
5 5
5 5
（1）依此规律进行下去，第5个等式为 （﹣ 5 ） × = （﹣ 5 ） + ，猜想第n个等式为
6 6
n n
（﹣ n ） • = （﹣ n ） + （n为正整数）；
n+1 n+1
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
试题分析：（1）仿照阅读材料中的等式得到第5个等式，进而确定出第n个等式即可；
（2）验证所得的等式即可．
5 5
答案详解：解：（1）根据题意得：第5个等式为（﹣5）× =（﹣5）+ ，第n个等式为（﹣
6 6
n n
n）• =（﹣n）+ ；
n+1 n+1
5 5 n n
所以答案是：（﹣5）× =（﹣5）+ ；（﹣n）• =（﹣n）+ ；
6 6 n+1 n+1
n2 −n(n+1)+n −n2−n+n n2
（2）左边=− ，右边= = =− ，
n+1 n+1 n+1 n+1
n n
则左边＝右边，即（﹣n）• =（﹣n）+ ．
n+1 n+1
三．解答题（共10小题，满分84分）
17．（10分）分解因式：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．
试题分析：（1）直接提取公因式4ab2，进而分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．
答案详解：解：（1）8a3b2+12ab3c
＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝3（x+y）（x﹣y）．x 2
18．（10分）（1）先化简再求值：(1− )÷ ，其中x＝﹣3；
x+1 x2−1
4 a2
（2）如果a2+2a﹣1＝0，求代数式(a− )⋅ 的值．
a a−2
试题分析：（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变
形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式
变形后代入计算即可求出值．
x+1−x (x+1)(x−1) 1 (x+1)(x−1) x−1
答案详解：解：（1）原式= • = • = ，
x+1 2 x+1 2 2
当x＝﹣3时，原式＝﹣2；
（2）∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
a2−4 a2 (a+2)(a−2) a2
则原式= • = • =a2+2a＝1．
a a−2 a a−2
4 x+2
19．（4分）解方程： + =−1．
x2−1 1−x
试题分析：两边都乘以（x+1）（x﹣1）化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可
得．
答案详解：解：两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：4﹣（x+2）（x+1）＝﹣（x+1）（x﹣
1），
1
解得：x= ，
3
1
检验：当x= 时，（x+1）（x﹣1）≠0，
3
1
所以原分式方程的解为x= ．
3
20．（8分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽
种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购
买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第
一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
试题分析：（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据
等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求
解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过 1500元，
列出不等式求解即可．
答案详解：解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依
题意有
480 360
= ，
x+10 x
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
7
解得y≤11 ，
13
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．
（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点
向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明
理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与
△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时
针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？试题分析：（1）①由“SAS”可证△BPD≌△CQP；
1
②由全等三角形的性质可得BP＝PC= BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，可求解；
2
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，列出方程可求解．
答案详解：解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，
∴AD＝12cm，BD＝6cm，∠B＝∠C，
∵经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，
在△BPD和△CQP中，
{
BD=CP
∠B=∠C，
BP=CQ
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，
1
∴BP＝PC= BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，
2
5
∴t= ，
2
6 12
= =
∴点Q的运动速度 5 5 cm/s，
212
∴当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；
5
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，
12
由题意可得： x﹣2x＝36，
5
解得：x＝90，
12
∴ ×90÷（36+10）＝4•••••32，
5
∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．
22．（8分）如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：AB＝
AC．
试题分析：根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
答案详解：解：∵AD＝AE，
∴∠1＝∠2，
∴180°，﹣∠1＝180°﹣∠2．
即∠3＝∠4，
在△ABD与△ACE中，
{∠BAD=∠CAE
AD=AE ，
∠3=∠4
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AB＝AC．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ，并写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）求△ABC的面积．
试题分析：（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．
答案详解：解：（1）如图所示：△A B C 即为所求，A （2，﹣4），B （3，﹣1），C （﹣
1 1 1 1 1 1
2，1）．
1 1 1 17
（2）S△ABC ＝5×5− ×4×5− ×1×3− ×2×5= ．
2 2 2 2
24．（8分）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段m，n及∠O．
求 作 ： △ ABC ， 使 得 线 段 m ， n 及 ∠ O 分 别 是 它 的 两 边 和 一 角 ．作法：如图，
①以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M，N；
②画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：
（1）步骤③得到两条线段相等，即 BD ＝ MN ；
（2）∠A＝∠O的作图依据是 三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等 ；
（3）小红说小明的作图不全面，原因是 小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论 ．
试题分析：根据作图步骤一一判断即可．
答案详解：解：（1）BD，MN．
（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等
（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
所以答案是BD，MN，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有
对已知中的边和角的位置关系分类讨论．
25．（10分）如图所示，点O是线段AC的中点，OB⊥AC，OA＝9．
（1）如图1，若∠ABO＝30°，求证△ABC是等边三角形；
（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且△BDQ是等边三
角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；
（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线
段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等边三角形的判定定理证明结
论；
（2）证明△BAD≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到∠BCQ＝∠BAD＝60°，根据含30°的直
角三角形的性质计算即可；
（3）取BC的中点H，连接OH，连接CN，分M在BH上、M在HC上两种情况，根据等边三
角形的性质解答即可．
答案详解：解：（1）∵∠ABO＝30°，OB⊥AC，
∴∠BAO＝60°，
∵O是线段AC中点，OB⊥AC，
∴BA＝BC，又∠BAO＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC和△BDQ为等边三角形，
∴BA＝BC，BD＝BQ，∠BAC＝60°，∠DBQ＝60°，
∴∠ABD＝∠CBQ，
在△BAD和△BCQ中，
{
BA=BC
∠ABD=∠CBQ，
BD=BQ
∴△BAD≌△BCQ（SAS）
∴∠BCQ＝∠BAD＝60°，
∵∠BCA＝60°，
∴∠OCP＝60°，
∵∠POC＝90°，∴∠OPC＝30°，
∴PC＝2OC＝18；
（3）取BC的中点H，连接OH，连接CN，
1
则OH= BC＝BH＝CH，
2
∴△HOC为等边三角形，
∴∠HOC＝∠OHC＝60°，OH＝OC，
当M在BH上时，∠MON＝60°，∠HOC＝60°，
∴∠MOH＝∠NOC，
在△OMH和△ONC中，
{
OM=ON
∠MOH=∠NOC，
OH=OC
∴△OMH≌△ONC（SAS），
∴∠OCN＝∠OHM＝120°，
当点M与点B重合时，
在△OBC和△N′BC中，
{
BO=BN'
∠OBC=∠N'BC=30°，
BC=BC
∴△OBC≌△N′BC（SAS）
∴∠BCN′＝∠BCO＝60°，
∴∠OCN′＝120°，即C、N、N′在同一条直线上，
∴CN′＝OC＝9，
∴点N从起点到C做直线运动路径为9，
当M在HC上时，△OCN为等边三角形，
∴CN＝OC＝9，
∴点N从C到终点做直线运动路径长为9
综上所述，N的路径长度为：9+9＝18．26．（12分）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运
动．在点M运动的过程中，连接AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连接
CN．
（1）当∠BAM＝ 3 0 °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： AB ＝ AC ，使得△ABC为等边三角形；
①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变
（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．
试题分析：（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定解答；
①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．
答案详解：解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；
所以答案是：30；
（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；
所以答案是：AB＝AC；
①如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
{
AB=AC
∠BAM=∠CAN，
AM=AN
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝CN+MC．
②结论：AC＝CN﹣CM．
理由：如图2中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
{
AB=AC
∠BAM=∠CAN，
AM=AN
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝BM﹣CM＝CN﹣CM．
