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第二十一章 四边形（高效培优单元自测·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．240° B．230° C．220° D．210°
【答案】A
【解答】解：∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，而∠B+∠C＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠1+∠2＝180°+60°＝240°，
故选：A．
2．如图，在 ABCD中，过点A分别作BC，CD的垂线段，垂足为E，F，若 BC＝4，AE＝4，CE＝1，
则线段AF▱的长为（ ）
A．3 B．3.2 C．3.6 D．4
【答案】B
【解答】解：∵BC＝4，CE＝1，
∴BE＝4﹣1＝3．
∵AE⊥BE，AE＝4，
∴AB=❑√32+42=5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5．∵CD•AF＝BC•AE，
∴5AF＝4×4，
∴AF＝3.2．
故选：B．
3．某公园有一个正多边形花池，小明绕花池沿着边沿行走一周，每次经过顶点都需要转弯调整方向，若
每次转弯角度是60°，则这个正多边形花池的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】D
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形的每一个外角为60°，
∴6n＝360，
∴n＝6．
∴这个正多边形花池的内角和为180°×（6﹣2）＝720°．
故选：D．
4．如图， ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定 ABCD是正方形的是（ ）
▱ ▱
A．AC＝BD，AC⊥BD B．AB＝BC，AC⊥BD
C．AD＝DC，AB⊥BC D．OA＝OD，AC⊥BD
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
A、添加AC＝BD，AC⊥BD，能判定 ABCD是正方形，故不符合题意；
B、添加AB＝BC，AC⊥BD，能判定▱ABCD是菱形，但不能判定 ABCD是正方形，故符合题意；
C、添加AD＝DC，AB⊥BC，能判定▱ABCD是正方形，故不符合▱题意；
D、添加OA＝OD，AC⊥BD，能判定▱ABCD是正方形，故不符合题意；
故选：B． ▱
5．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，
滑动过程中OM的变化规律是（ ）A．变小 B．不变
C．变大 D．先变小再变大
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝90°，M为AB的中点，
1
∴OM= AB．
2
1
同理OM= CD．
2
∵AB＝CD．
∴OM的长度不变．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝13，BD＝10，CD＝11，E，F分别是AC，BD的中点，
则EF的长为（ ）
A．12 B．10 C．13 D．11.5
【答案】B
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AD＝13，F是BD中点，BD＝10，∴∠AFD＝90°，BF＝FD＝5，
∴AF=❑√AD2−FD2=❑√132−52=12，
∵FC＝FD+CD，CD＝11，
∴FC＝5+11＝16，
∴AC=❑√AF2+FC2=❑√122+162=20，
∵E是AC中点，
1
∴在RtAFC中，EF= AC＝10．
2
故选：B．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，以点A为圆心，AB为半径画弧与AD交于点F，然后以大于
1
BF为半径，分别以B、F为圆心画弧交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB＝4，则
2
AE的长为（ ）
A．❑√7 B．2❑√7 C．5 D．10
【答案】B
【解答】解：如图所示：连接EF，AE交于BF于点O，
由题中作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
..AF＝BE，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
1 1
∴AE⊥BF，AO＝OE= AE，BO＝OF= BF＝3，
2 2
在Rt△AOB中，
∵AO2＝AB2﹣OB2，
∴AO=❑√AB2−OB2=❑√7，
∴AE＝2OA＝2❑√7，
故选：B．
8．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝40°，则∠BCE的度数
为（ ）
A．10° B．12° C．15° D．20°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCB，CD∥AB，
∵DE＝AD，
∴DE＝AD＝CD，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝∠DEA＝70°，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA＝70°，
∵DC＝DE，∴∠DCE＝55°，
∵∠DCB＝∠A＝70°，
∴∠BCE＝15°，
故选：C．
9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝6，BD＝8，点E，F，分别是边AB，CD的中点，
则EF的长度是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：取AD的中点H，连接EH、FH，
∵点E，H分别是边AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
1
∴EH= BD＝4，EH∥BD，
2
1
同理可得：FH= AC＝3，FH∥AC，
2
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
由勾股定理得：EF=❑√EH2+FH2=❑√32+42=5，
故选：B．
10．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（1，1），C（3，3）．若第一象限内的点M与A，B，C
构成平行四边形，则M的坐标为（ ）
A．M（3，5） B．M（4，6） C．M（4，7） D．M（5，7）
【答案】B
【解答】解：∵第一象限内的点M与A，B，C构成平行四边形，∴AB∥CM，
∵A（2，4），B（1，1），C（3，3），
∴M的坐标为（4，6），
故选：B．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AC，AB为边向外作正方形ACDE，正方
形ABMN，连结NE，则NE的长为（ ）
A．10 B．9 C．❑√73 D．❑√41
【答案】C
【解答】解：过点E作EP∥AM，交CA的延长线于点P，设AQ交NE于点Q，如图所示：
∴∠P＝∠PAN，∠PEQ＝∠ANQ，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得：AB＝AC2+BC2＝42+32＝5，
∵四边形ACDE和四边形ABMN都是正方形，
∴AN＝AB＝5，AE＝AC＝4，∠NAB＝∠EAC＝90°，
∴∠EAQ＝180°﹣∠EAC＝90°，
∴∠EAQ＝∠ACB＝90°，△EAP和△EQA都是直角三角形，
在Rt△EAP中，∠PEA+∠P＝90°，
∵∠P＝∠PAN，
∴∠PEA+∠PAN＝90°，
又∵∠PAN+∠BAC＝180°﹣∠NAB＝90°，
∠PEA＝∠BAC，
在△EPA和△ABC中，{∠EAQ=∠ACB=90°
)
∠PEA=∠BAC ，
AE=AC
∴△EPA≌△ABC（AAS），
∴PE＝AB＝5，PA＝BC＝3，
∴PE＝AN＝5，
在△PEQ和△ANQ中，
{
∠P=∠PAN
)
∠PEQ=∠ANQ ，
PE=AN
∴△PEQ≌△ANQ（AAS），
1 3
∴PQ＝AQ= PA= ，EQ＝NQ，
2 2
∴NE＝EQ+NQ＝2EQ，
√ 3 ❑√73
在Rt△EQA中，由勾股定理得：EQ=❑√AE2+AQ2=❑42+( ) 2= ，
2 2
∴NE＝2EQ=❑√73．
故选：C．
12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且
PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OB=❑√3OA；③∠MPN
1
＝60°； ④PM+PN= BD．其中正确的有（ ）个．
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴OB=❑√3OA，故②正确；
∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴∠AMP＝∠ANP＝90°，
∵AD∥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠MPN＝60°，故③正确；
如图，延长NP交BC于点G，
∵AD∥BC，PN⊥AD，
∴PG⊥BC，
∵PM⊥AB，BP平分∠ABC，
∴PM＝PG，
∴PM+PN＝PG+PN＝NG，
∵∠PBG＝∠PDN＝30°，
∴PB＝2PG，PD＝2PN，
1 1 1 1
∴PM+PN＝PG+PN= PB+ PD= （PB+PD）= BD，
2 2 2 2
1
∴PM+PN= BD，故④正确，
2
综上所述：正确的有4个．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为 2 4 ．
【答案】24．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
1
∴菱形的面积为 ×6×8=24．
2故答案为：24．
14．在 ABCD中，若∠B+∠D＝3（∠A+∠C），则∠A＝ 4 5 °．
【答▱案】45．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
∵∠B+∠D＝3（∠A+∠C），
∴∠B+∠D+∠A+∠C＝4（∠A+∠C）＝360°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝45°，
故答案为：45．
15．一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为 150 ° ．
【答案】150°．
【解答】解：设多边形的一个内角的度数是x°，根据题意得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍，
则x°＝5（180°﹣x°），
∴x°＝150°，
故答案为：150°．
16．如图，将长为 5cm，宽为 3cm 的长方形 ABCD 先向右平移 2cm，再向下平移 1cm，得到长方形
A′B′C′D′，则阴影部分的面积为 2 2 cm2．
【答案】22．
【解答】解：由平移的性质可知，空白部分是长方形，
长为5﹣2＝3（cm），宽为4﹣1＝3（cm），
阴影部分的面积为5×4﹣3×3+5×4﹣3×3＝22（cm2）．
故答案为：22．
17．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4，AD＝5，点E为BC一点，连接DE，F为DE的中点，
若OF＝1，则CF的长为 2. 5 ．【答案】2.5．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BCD＝90°，OD＝OB，AD＝BC＝5，DC＝AB＝4，
∵F为DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴BE＝2OF＝2，
∵CD＝4，BC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，
∴DE=❑√CD2+CE2=❑√42+32=5，
∵F为DE的中点，
1
∴CF= DE＝2.5，
2
故答案为：2.5．
18．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P在线
段BC上从点B向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是
2cm/s．则点Q运动速度为 1 或 4 cm/s时，△BPE与△CQP全等．
【答案】1或4．
【解答】解：分两种情况：
①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，
∴t＝2÷2＝1（s）；
②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，
由题意得：2t＝16﹣2t，
解得：t＝4（s），
故答案为：1或4．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
【答案】（1）16；
（2）5．
【解答】解：（1）由多边形内角和的计算方法可得，
180°×（x﹣2）＝1080°，
解得x＝8，
即这个正多边形为正八边形，
所以正八边形的周长为8×2＝16；
（2）由于正八边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°，
正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n的值为5．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB，交边AB于点D，点E是边BC的中点，连接DE．
（1）若∠ACD＝15°，求∠DEC的度数；
（2）猜想∠ACD与∠DEC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）60°；（2）∠DEC＝4∠ACD，理由如下见解答．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣15°＝75°，
∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠A＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠BCA＝30°，
∵∠BDC＝90°，E是BC的中点，
1
∴DE= BC，
2
∴DE＝BE，
∴∠B＝∠BDE＝30°，
∴∠DEC＝∠B+∠BDE＝60°；
（2）∠DEC＝4∠ACD，理由如下：
由（1）知∠A＝∠BCA，
∵∠B+∠A+∠BCA＝180°，
∴∠B+2∠A＝180°，
∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝2∠ACD，
由（1）知∠DEC＝2∠B，
∴∠DEC＝4∠ACD．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？证明你的结论；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求BC的长．
【答案】（1）△BEC是等腰三角形，证明如下见解答；
（2）❑√2．
【解答】解：（1）△BEC是等腰三角形，证明如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
∴△BEC是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴△ABE是直角三角形，
又∵∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=❑√AB2+AE2=❑√12+12=❑√2，
由（1）的结论得：BC＝BE=❑√2.
22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作
CF∥BD，交BE的延长线于点F，连接DF交AC于点G．
（1）判断四边形DBCF的形状，并说明理由；
（2）若∠A＝30°，AC=4❑√3，CF＝6．求AD的长．
【答案】（1）四边形DBCF是平行四边形，理由如下见解答；
（2）2．
【解答】解：（1）四边形DBCF是平行四边形，理由如下：
∵FC∥AB，
∴∠CFE＝∠DBE，∠FCE＝∠BDE，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，∴△FCE≌△BDE（AAS），
∴FC＝BD，
∵FC∥DB，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
1
∴CB= AB，
2
∵AB2﹣BC2＝AC2，
1
∴AB2− AB2=(4❑√3) 2 ，
4
∴AB＝8（舍去负值），
由（1）知BD＝CF＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝2．
23．（10分）如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是
DE、BE、BC的中点．
（1）若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
【答案】（1）FG＝GH且FG⊥GH，理由如下见解答．
（2）5．
【解答】解：（1）FG＝GH且FG⊥GH．理由如下：
∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
1 1
∴FG= BD，GH= EC，FG∥DB，GH∥EC，
2 2∵DB＝EC，
∴FG＝GH．
∵GH∥EC，FG∥DB，
∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠AEB＝90°，
∴FG＝GH且FG⊥GH．
（2）如图所示：连接FM、HM，
∵M、H分别是BC和DC的中点，
1
∴MH∥BD，MH= BD，
2
1
由（1）可知：GF∥BD，GF= BD，
2
∴GF∥HM，
∵FG⊥GH，
∴∠GHM＝180°﹣90°＝90°，
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
1 1
∴GH= EC=3，HM= BD=4，
2 2
∴GM=❑√GH2+H M2=❑√32+42=5．
24．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长CD至点E，使得CE＝2BC，连接BE
1
交AD边于点F，点D、F分别是CE、BE的中点，DF= AD．
2
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，OB+BC＝9，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解答；
（2）24．
1
【解答】（1）证明：∵点D、F分别是CE、BE的中点，DF= AD，
2
∴BF＝EF，AF＝FD，CD＝DE，
又∵∠AFB＝∠DFE，
在△AFB和△DFE中，
{
AF=DF
)
∠AFB=∠DFE ，
BF=EF
∴△AFB≌△DFE（SAS），
∴∠ABF＝∠DEF，AB＝DE＝CD，
∴AB∥DE，即AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE＝2BC，CE＝2CD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
1
∴AO=OC= AC=3，AC⊥BD，
2
∵OB+BC＝9，
∴设OB＝x，则BC＝9﹣x，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，
∴x2+33＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴OB＝4，
∵四边形ABCD是菱形，1 1
∴S =4S =4× ×OB×OC=4× ×4×3=24．
四 边 形ABCD△BOC 2 2
25．（10分）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝
45°．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝12，QH＝4，则HR的长度为多少？
【答案】（1）见解答；
（2）6．
【解答】（1）解：延长CB到T，使得BT＝DF，连接AT，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABE＝∠ABT＝90°，AD＝AB，
{
DF=BT
)
∵ ∠ABT=∠ADF ，
AB=AD
∴△ADF≌△ABT（SAS），
∴AF＝AT（全等三角形对应边相等），∠DAF＝∠BAT（全等三角形对应角相等），
∴∠FAT＝∠DAB＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠EAT＝45°，
{
AF=AT
)
∵ ∠TAE=∠FAE ，
AE=AE
∴△EAF≌△EAT（SAS），∴EF＝ET（全等三角形对应边相等），∠AEF＝∠AET（全等三角形对应角相等），
∴AE平分∠BEF；
（2）解：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ，MR，二线交于点
G，
根据题意，得∠D＝∠PHQ＝90°，∠M＝∠PHR＝90°，∠QPD＝∠QPH，∠RPM＝∠RPH，
∴∠QPD+∠QPH+∠RPM+∠RPH＝2（∠QPH+∠RPH）＝2∠QPR，
又∠QPR＝45°，
∴∠DPM＝90°，
故四边形PDGM是矩形，
∴PD＝PH＝PM，QD＝QH，RH＝RM（矩形的性质），
故四边形PDGM是正方形，QR＝QD+RM，
∴PD＝PH＝PM＝DG（正方形的性质），
∵PH＝12，QH＝4，
∴PD＝PH＝PM＝DG＝12，DQ＝QH＝4，
∴QG＝DG﹣DQ＝12﹣4＝8，
设RH＝RM＝x，则QR＝QH+RH＝x+4，GR＝MG﹣RH＝12﹣x，
根据勾股定理，得（x+4）2＝（12﹣x）2+82，
整理得，32x＝192，
解得x＝6，
故HR的长度为6．
1 1
26．（10分）在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO= ∠ABC，∠DCO= ∠DCB．
n n
（1）如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数 130 ° ；
（2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP
＝2∠PCN，①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的 2倍，直接写出
∠A+∠D的度数为 210 ° 或 240 ° ．
【答案】（1）130°；（2）①∠O+∠P＝120°，证明见解析；②210°或240°．
1 1
【解答】解：（1）∵∠ABO= ∠ABC，∠DCO= ∠DCB，
n n
1 1
∴当n＝2时，∠ABO= ∠ABC，∠DCO= ∠DCB，
2 2
∴∠ABC＝2∠CBO，∠DCB＝2∠OCB，
∵∠A+∠D＝260°，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB＝360°，
∴∠ABC+∠DCB＝100°，
∴∠CBO+∠OCB＝50°，
∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠OCB）＝130°；
故答案为：130°；
（2）①∠O+∠P＝120°．
1 1
证明：∵∠ABO= ∠ABC，∠DCO= ∠DCB，
n n
2 2
∴当n＝3时，∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠DCB，
3 3
∵∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN，
2 2
∴∠CBP= ∠CBM，∠BCP= ∠BCN，
3 3
2 2
∴∠PBO＝∠PBC+∠OBC= （∠CBM+∠ABC）= ×180°＝120°，
3 3同理∠PCO＝120°，
∵∠O+∠P+∠PBO+∠PCO＝360°，
∴∠O+∠P＝360°﹣120°﹣120°＝120°．
②由①得：∠PBQ＝120°，∠PCO＝120°，
如果△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况：
（a）∠P＝2∠Q，
∵∠PBQ＝120°，
∴∠Q＝20°，则∠P＝40°，
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣40°＝140°，
∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣140°＝100°，
2 2
∵∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠DCB，
3 3
∴∠ABC+∠DCB＝150°，
∴∠A+∠D＝360°﹣150°＝210°；
（b）∠Q＝2∠P，
∵∠PBQ＝120°，
∴∠P＝20°，则∠Q＝40°，
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣20°＝160°，
∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣160°＝80°，
2 2
∵∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠DCB，
3 3
∴∠ABC+∠DCB＝120°，
∴∠A+∠D＝360°﹣120°＝240°．
综上所述，∠A+∠D的度数为：210°或240°．
故答案为：210°或240°．
