文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷
（福建专用）
第二模拟
（本卷满分150分，考试时间为120分钟）
一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中只
有一个选项是最符合题意的）
1．下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．3.1415926
【答案】C
【分析】根据无理数的三种形式：（1）开不尽方的数，（2）无限不循环小数，（3）
含有π的数，进行求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
是有理数， 是有理数， 是无理数，3.1415926是有理数，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的定义．
2．如图是一个正方体表面展开图，则原正方体中与“全”字所在面相对的面的字是（
）
A．文 B．明 C．城 D．市
【答案】D
【分析】这种展开图是属于“1，4，1”即上面一个正方形，中间四个正方形，下面一
个正方形的类型，其中，上面的1和下面的1是相对的2个面．
【详解】由正方体的表面展开图特点可得：“全”和“市”相对；“国”和“明”相
对；“文”和“城”相对；
故选D．
【点睛】此题考查正方体相对两个面在其表面展开图中的位置特点．解题的关键是掌
握正方体相对的面在表面展开图中的位置特点．
3．如图，等边 的边长为6， 于点D，则AD的长为（ ）A．3 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD即可．
【详解】∵等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝ BC＝3，
由勾股定理得： ，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理，能根据等边三角形的性质求出CD
的长是解此题的关键．
4．多项式 按字母 的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】按字母x的指数从高到低排列即可．
【详解】解：项式 按字母 的降幂排列是：
．
故选C．
【点睛】本题考查了多项式的应用，能理解降幂排列的意义是解此题的关键，注意：
排列时带着前面的符号．
5．在“传唱红色经典，弘扬爱国精神”比赛中，七位评委给某选手打出了7个原始分，
如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下5个有效分的平均值作为这位选手的
最后得分，则7个原始分和5个有效分这两组数据相比较，一定不会发生改变的是（
）
A．方差 B．加权平均数 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【分析】根据平均数、中位数、极差、方差的意义即可求解．
【详解】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有
效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中
所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数
据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这
组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，
而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端
值影响．
6．某种药品的原来价格是每盒220元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都为，且第二次降价后每盒价格为168元，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：若每次降价的百分率都为x，则可列方程 ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式
是解决本题的关键．
7．如图，已知 是正六边形 与正五边形 的公共边，连接 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出正六边形和正五边形的内角，根据周角等于 求出 的度数，
根据 ，得到等腰三角形两底角相等即可得到答案．
【详解】解： ， ，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角，掌握多边形的内角和公式：
是解题的关键．
8．如图所示， 一次函数 ( 、 为常数，且 )与正比例函数 ( 为常
数，且 )相交于点 ，则不等式 的解集是( )．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】观察函数图像得到当 时，直线 在直线 的上方，于是可得
到不等式 的解集．
【详解】解：当 时，函数 的图像在函数 图像的上方，所以
，
故不等式 的解集为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量x的
取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线 在x轴上（或下）方部分所
有的点的横坐标所构成的集合．
9．如图， 是 的内接三角形， ， 于点D，若 ，
，则 的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，连接 ，先得到 是等腰直角三角形，
，进而求出 ，利用勾股定理求出 则
．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正
确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．已知二次函数 的图象经过 与 两点，关于 的方程
有两个根，其中一个根是3．若关于 的方程
有两个整数根，这两个整数根的积是（ ）
A．0 B．-8 C．-15 D．-24
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可得关于 的
方程 的两个整数根，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，当 时， 的两根为 和 ，
∴函数 的对称轴为直线 ，
又∵关于 的方程 有两根，其中一根是3，
∴ 的另一根为 ，函数 的图象开口向下，
∵关于 的方程 的两个整数根，
∴这两个整数根为 和2，
∴两整数根的积为 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与二元一次方程的关系，二次函数的图象与性质，
解题的关键在于熟练掌握二次函数与二元一次方程的关系．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．图象经过点 的反比例函数的表达式是______．
【答案】
【分析】设反比例函数的解析式是 将点 代入该函数解析式，然后
解关于 的方程即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式是 ．该函数经过点 ，
点 满足该函数解析式，
，
解得 ；
该函数解析式是 ；
故答案是： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．在设函数的解析式 时，
不要漏掉条件： ．
12．无理数 的相反数是_____．
【答案】
【分析】根据相反数的定义解答．
【详解】解： 的相反数是-（ ）= ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了求一个数的相反数，正确掌握相反数的定义及正确化简是解题的
关键．
13．如图是某班全班40名学生一次数学测验分数段统计图，根据统计图所提供的信息
计算优良率（分数80分以上包括80分的为优良）为______（填入百分数）．
【答案】75%
【分析】根据优良率=优良数 总人数 100%即可计算．
【详解】解：由统计图知：成绩为优良的人数有18+12=30（人），
÷ ×
则优良率为： ，
故答案为：75%.
【点睛】本题考查了统计图，根据统计图获得相关信息是解题的关键．
14．如图，在 是 的平分线， 于点E， ．
则 的面积大小为___________．【答案】13.5
【分析】根据角平分线的性质可得D到 的距离为3即可求得 的面积．
【详解】∵ 是 的平分线，
∴D到 的距离等于 的长，
∴ ，
故答案为：13.5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上．
15．若关于 的方程 无解，则 的值是______．
【答案】2或
【分析】根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和增根分类讨论即可．
【详解】
去分母得：
∵关于 的方程 无解，
∴原分式方程分母为 或 无解，
当分式方程分母为 时，则
，
∴ ，
将 代入 中可得 ，
当 无解时，
即 无解，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的值是2或
故答案为：2或
【点睛】本题主要考查分式方程根的情况，熟练掌握分式方程无解分两种情况：整式
方程无解和增根是解题的关键．
16．如图， 、 、 、 分别为矩形 的边 、 、 、 的中点，连
接 、 、 、 、 ，已知 ， ，则下列结论：①
；② ∽ ；③ ；④ 正确的是______（填写序号）
【答案】②③④
【分析】由 ，则不能说明 ，故①错误；利用同角
的余角相等可说明 ，故②正确；连接 ，由 是 的中位线，
得 ，由 ，得 ，则 ，利用勾股定
理得 ，解得， ，故③④正确．
【详解】解： ，
，
不能说明 ，
故①错误，不符合题意；
，
，
又 ，
，
故②正确，符合题意；
如图，连接 ，
由题意得： ，
， 分别是 与 的中点，
，
，
，
即 ，
，在 中， ，
，
解得： ，
，
故③正确，符合题意；
，
，
即 ，
故④正确，符合题意，
正确的是②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，
勾股定理等知识，利用勾股定理求出 的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分）
17．计算： ．
【答案】
【分析】先计算零指数幂，特殊角三角函数值并化简二次根式和绝对值，再根据实数
的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式和绝对
值，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ，
求证： .
【答案】见详解
【分析】利用“ ”证明 ，即可作答．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ 、 是直角三角形，
在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考考查了利用“ ”证明两直角三角形全等的知识，熟练掌握直角
三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
19．解不等式组
【答案】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的
关键．
20．杭州某公司研发生产了一款新型空气净化器，每台的成本是4400元，某专卖网店
从该公司购进10000台空气净化器，同时向国内、国外进行在线发售，第一周，国内
销售每台售价5400元，国内获利100万元，国外销售也售出了相同数量的空气净化器，
但每台的成本增加了400元，国外销售每台获得的利润是国内销售每台利润的6倍．
(1)该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台多少元？
(2)受贸易环境的影响，第二周，国内销售每台售价在第一周的基础上降低 ，销量
上张 ，国外销售每台售价在第一周的基础上上涨 ，并且在第二周将剩下的空
气净化器全部卖完，结果第二周国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求a
的值．
【答案】(1)10800元
(2)10
【分析】（1）利用售价＝成本价＋利润，即可求出结论；
（2）由销售数量＝总利润 每台空气净化器的利润，可求出第一周国内(外)的销售数
量，根据销售总额＝销售单价 销售数量结合第二周国外的销售总额比国内的销售总
额多6993万元，即可得出关于 的一元二次方程，求解即可得出结论．
【详解】（1） （元）
答：该专卖网店国外销售空气净化器第一周的售价是每台10800元．（2）第一周国内(外)的销售数量为
(台)
依题意得：
，
整理得，
解得， 或 (不合题意，舍去)
答： 的值为10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
21．如图， 是正三角形 内的一点，且 ， ， ．若将
绕点A逆时针旋转后，得到 ．
(1)求点 与点 之间的距离；
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知 绕点A逆时针旋转后，得到 ，可得 ，旋
转角 ，所以 为等边三角形，即可求得 ；
（2）由 为等边三角形，得 ，在 中，已知三边，用勾股定理逆
定理证出直角三角形，得出 ，可求 的度数．
【详解】（1）解：连接 ，
由题意可知 ， ，
，而 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ；
（2）由旋转旋转可知： ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的
大小、形状都不改变．
22．如图，已知凸五边形 中， ， 为其对角线， ，
(1)如图，若 ，在五边形 的外部，作 ，（不写
作法，只保留作图痕迹），并说明点 ， ， 三点在同一直线上；
(2)如图，若 ， ，且 ，求证： 平分 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作出图形，由 ，及 ，可得出
，即可证得 ，点在同一直线上；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 .证明 ，可得结论．
（1）
解：如图作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，点在同一直线上，
（2）
延长 到 ，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即 平分 .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构
造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
23．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A， ， 三种午餐供师生选择，
单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校
上周A， ， 三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利
润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类 数量（份）A 1800
2300
900
请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试
通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“ ”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平
均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能
整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种
午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下
周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元
【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均
利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1
元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种
午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
(1)
解：全校师生上周购买午餐的份数为 （份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通
过统计表知，（A+B）一共为 （份），因此中位数为B午餐的费用，
即为12．故答案为：12；
(2)
树状图如下：
根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“ ”组合的概率为 ；
(3)
①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为： （元），
∵ ，因此应调低午餐单价；
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：
（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为： （元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低
1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C
午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超
过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用
列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的
数据是解题的关键．
24．如图1，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，连接CE．过点E作
PE⊥CE分别交AC、AD于点F，点P、过点B作BH⊥AC，垂足为点H．分别交CE，
CD于点G，点Q，∠BAC=α．
(1)求证： AFP∽△QGC；
(2)如图2，若tanα=1且点E为AB中点，求证：EF=EG；
△(3)如图3，若EF=EG，tanα= ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) = ．
【分析】（1）利用等角的余角相等，得到∠PAF=∠GQC和∠QGC=∠AFP，即可证明
AFP∽△QGC；
（2）证得四边形ABCD是正方形，再设法证明 AFE≌ HGE，即可得证；
△
△ △
（3）设BC=4a，则AB=5a，证明∠BAC=∠CBQ，利用三角函数关系求得CQ= a，
证明 EGB∽△CGQ，推出 ，证明 EFA∽△CGB，推出 ，根据
△ △
EF=EG，即可求解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC=∠DCA，∠EAP=90°，
∵BH⊥AC，
∴∠CHQ=90°，
∴∠BAC+∠PAF=90°，∠DCA +∠GQC=90°，
∴∠PAF=∠GQC；
∵PE⊥CE，
∴∠CHG=∠CEF=90°，
∴∠QGC+∠GCH=90°，∠EFC+∠GCH=90°，
又∵∠EFC=∠AFP，
∴∠QGC=∠AFP，
∴△AFP∽△QGC；
(2)
解：连接EH，
∵tanα=1，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，∵点E为AB中点，
∴AE=EB=EH，
∴∠EAH=∠EHA=∠EHG=45°，
∵∠CHG=∠CEF=90°，
∴∠EFH+∠EGH=180°，
又∠AFE+∠EGH=90°，
∴∠AFE=∠EGH，
∴△AFE≌△HGE，
∴EF=EG；
(3)
解：∵∠ABC=∠AHB=90°，
∴∠BAC=∠CBQ，
∵tanα= ，即 ，
∴设BC=4a，则AB=5a，
∵tan∠CBQ= tan∠BAC= tanα= ，
∴ ，
∴CQ= a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BE∥CQ，
∴△EGB∽△CGQ，
∴ ，
∵∠BAC=∠CBQ，即∠EAF=∠CBG，
同（2）得∠EFA=∠CGB，
∴△EFA∽△CGB，
∴ ，
∵EF=EG，
∴ ，即 = = ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数，正方形的判定和性质，解
答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25．抛物线 过点 ， ．(1)求直线 的解析式和抛物线的解析式；
(2)如图1，点D为线段 上一点（不与点A，点B重合），过点D作 轴于
E，交抛物线于点F，若 ，求点D坐标；
(3)如图2，点P在抛物线上， ，求点P的坐标．
【答案】(1) ；
(2)
(3)（2，2）或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设 ，则 ，根据题意可得
，求出 即可求点 的坐标；
(3)当 轴时， ；设 与 轴交于点 ，在 中，
，求出BQ的长，从而得到 ，直线 与抛物
线的交点即为点 ．
【详解】（1）设直线AB的解析式为 ，代入 ， ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为 ；
将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵点D在线段AB上，
∴设 ．
∵ 轴，
∴ ．
∵点F在抛物线 上，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得 ， （舍），
∴点D的坐标为 ；
（3）当点P在直线AB上方的抛物线上时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
∴ （舍）， ，
∴ ；
当点P在直线AB下方的抛物线上时，如图，设PB交x轴于点Q，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
设直线PB的解析式为 ，代入 ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线PB的解析式为 ，
令 ，
解得 （舍）， ，
将 代入 中， ，
∴ ，
综上所述，点P的坐标为（2，2）或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定
理，平行线的性质是解题的关键．
