文档内容
清远市 2024～2025 学年第一学期高中期末教学质量检测高一数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合交、补运算求解即可；
【详解】全集 ，而 ，则 ，又
，所以 ．
故选：A．
2. 已知角 ，则角 的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据终边相同的角的性质即可求.
【详解】 ，故 与 的角终边相同，其中 在第三象限，故角 的终边在
第三象限．
故选:C．3. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数的运算性质判断A、B；根据对数的运算性质判断C，D，
【详解】对于A， ，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C，若 且 ，则 ，C错误；
对于D，若 ，则 ，D正确．
故选：D．
4. 函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次根式的被开方数非负进行求解即可.
【详解】由题意得 ，解得 或 ．
故选：B．5. 已知 ，设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用单调性得到 ， ，结合 的单调性比
较出大小.
【详解】因为 ，当 时， 单调递增，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
即 ．
故选：D．
6. 若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解；
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，得 ．所以 ．
故选：B．
7. 已知实数 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 16 B. 18 C. 22 D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】变形得到 ， ，由基本不等式求出最小值.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 的最小值为22．
故选：C
8. 已知函数 ，若关于 的方程 有5个不同的
实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为 ，所以 或 只需 的图象与直线
有3个交点，利用数形结合即可得
【详解】因为 ，所以 或因为关于 的方程 共有5个不同的实数根．
所以 的图象与直线 和直线 共有5个不同的交点．
如图， 的图象与直线 有2个交点，
所以只需 的图象与直线 有3个交点，所以 ．
故选：D．
【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有
几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且
，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利
用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，
就有几个不同的零点．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则D. 若 ，且 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；BC选项，由不等式性质得到BC正确；D选项，判断出 ，D
正确.
【详解】对于A，若 ，取 ， ，则 ，A错误；
对于B，若 ，则 ，B正确；
对于C， ， 两边同乘以 得， ，C正确；
对于D，由 知 ，则 ，故 ，D正确．
故选：BCD．
10. 已知函数 的图象关于点 中心对称，则（ ）
A.
B. 直线 是 图象的对称轴
C. 在区间 上只有2个零点
D. 在区间 上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由对称中心代入即可判断A，由 的函数值可判断B，通过计算 的范围，结合余
弦函数的图像、单调性可判断CD.【详解】将 代入 ，得 ，
，即 ．又 ，故A正确；
由上知 ，则 ，则直线 是 图象的对
称轴，故B正确；
由 ，得 ，又 在 上有3个零点，所以函数 在区
间 上有且仅有3个零点，C错误；
处于余弦函数的递增区间 内，D正确．
故选:ABD．
11. 已知函数 是定义在 上的偶函数，若 满足 ，且 在
上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ）
A.
B. 为周期函数
C.
D. 在 上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】由 ，确定函数图像关于 对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即
可；【详解】对于A，由 ，得 的图象关于 对称，又因为定义域为 ，所
以 ，故A不正确；
对于B，因为 是偶函数， ， ，所以
的一个周期为8，故B正确；
对于C，由于周期性和奇偶性， ，故C正确；
对于D，因为 是偶函数且 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
又 的图象关于 对称，所以 在 上单调递减，
由于周期为8， 在 上的单调性与 上的单调性相同，所以 在 上单调递减，
故D不正确．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知扇形的半径为 ，弧长为 ，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】由弧长公式 ，即可求解；
【详解】设扇形的圆心角为 ，由扇形的弧长公式 ，可得 ．
故答案为：
13. 已知 ，且 为第三象限角，则 ______．
【答案】 ##0.75【解析】
【分析】利用同角三角函数的平方关系求出正弦，再求正切即可.
【详解】解：因为 ，且 为第三象限角，
所以 ,所以 .
14. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时，
恒成立， ，则满足 的 的取值范围为
______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到 ，构造函数 ，通过单调性、奇偶性即
可求解；
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，因为 是定义在
上的奇函数，
所以 ，所以对
，
所以函数 为 上的奇函数，且 ．由 ，可得 ，即 ，所以 或 ，解得
．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由 ，得到 ，构造函
数 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知函数 的最小正周期 ．
（1）求 的值；
（2）求 在区间 上的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为 ，最小值为 ．
【解析】
【分析】（1）根据三角函数周期公式代入计算可得结果；
（2）利用整体代换法以及正弦函数单调性即可求得最值.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
【小问2详解】当 时， ，
所以当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
16. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ．
的
（1）求函数 解析式；
（2）求不等式 的解集．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义运算求解；
（2）根据（1）中解析式，分 和 两种情况，结合二次不等式运算求解.
【小问1详解】
若 ，则 ，
由题意可得 ，
所以 ．
【小问2详解】
当 时，令 ，即 ，解得 ，则 ；
当 时，令 ，即 ，解得 ，则 ．综上所述，不等式 的解集为 ．
17. 根据市场调查，某供应商某产品的售价定为 元时，销售量可达到 万件．已知该产品的供
货价格分为固定价格和浮动价格两部分．其中固定价格为 40元/件，浮动价格（单位：元/件）与销售量
（单位：万件）成反比，比例系数为20．假设不计其他成本，即销售每件产品的利润=售价 供货价格．
（1）当每件产品的售价定为80元时，求该供应商销售该产品可获得的总利润；
（2）该产品的售价定为多少元时，单件产品的利润最大？并求出该最大值．
【答案】（1）620（万元）．
（2）该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元．
【解析】
【分析】（1）由题意先求得销售量，再结合每件产品的利润即可求解；
（2）设该商品的售价为 元，由题意得到 ，再结合基本等式求解即可；
【
小问1详解】
当每件产品的售价定为80元时，销售量为 万件，
该供应商可获得的总利润为 （万元）．
【小问2详解】
设该商品的售价为 元，由 得 ．
设单件商品的利润为 元，则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以该产品的售价定为150元时，单件产品的利润最大为100元．18. 已知函数 的图象经过 两点．
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性并用定义进行证明；
（3）已知函数 ，函数 且 ．若对任意 ，总存在
，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 在 上单调递增，证明见解析
（3） ．
【解析】
【分析】(1)将两点的坐标代入解析式，可得关于 的方程组，解出 的值，即可求出 的解析式；
(2)利用函数的单调性定义进行证明即可；
(3)先求出 的值域 ，将对任意 ，总存在 ，使得 成立转化为
任意 ， 在 上的恒成立问题即可求解.
【小问1详解】
函数 的图象经过 两点，
，，解得 ， ；
【小问2详解】
在 上单调递增，证明如下：
任取 ，且 ，
则 ，
，且 ，
， ，
，即 ，
所以函数 在 上单调递增．
【小问3详解】
，
由（2）可得 在 上单调递增，
所以 的值域为 ．
因 为对 使得 成立，
所以只需 在 上恒成立．
当 时， ，设 ，则 在 上是减函数，
所以 ，所以 ．
当 时， ，
设 ，则 在 上为减函数，
所以 ，
所以 ，此不等式组无解．
综上，实数 的取值范围是 ．
19. 若对定义域内任意 ，都有 ，则称函数 为“ 步长”增函数．
（1）已知函数 ，判断 是否为“2步长”增函数，并说明理由；
（2）若函数 是“ 步长”增函数，求 的最小值；
（3）若函数 为 上的“2024步长”增函数，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 是“2步长”增函数，理由见解析
（2）
（3） ．【解析】
【分析】（1）由单调性及新定义即可判断；
（2）由 恒成立，得到 恒成立，进而可求解；
（3）结合新定义，由 和 两类情况讨论求解；
【小问1详解】
函数 是“2步长”增函数．理由如下：
因为 的定义域为 在 上都是单调递增，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 是“2步长”增函数．
【小问2详解】
因为 是“ 步长”增函数，
所以 恒成立，
所以
恒成立，
即 恒成立，
由 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ．
【小问3详解】
若 ， 在 上单调递增，则 恒成立，符合题意；
若 ，分以下情况：①当 时， 单调递增，则 恒成立；
②当 时， ， 单调递增，则 恒成立；
③当 时，若 ，则 ，解得 ；
④当 或 时，若 ，则 ．
综上， 的取值范围是 ．
【点睛】难点点睛： 时，分 ， ， ， 或 求解.
