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第二十四章 圆 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·九年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心
【答案】D
【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断．
【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键
2．（2023秋·九年级课时练习）如图，四边形 内接于 是 的直径，连接 ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和 的度数求得 的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角
确定 ，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】解：∵四边形 内接与 ， ，
∴ ，
∵ 为直径，∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互
补．
3．（2023秋·九年级课时练习）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点 为圆心 B．以 长为半径
C．以点 为圆心， 长为半径 D．经过点
【答案】C
【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．
【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．
4．（2023春·广东云浮·九年级校考期末）如图，点P为 外一点， 为 的切线，A为切点， 交
于点B． ， ，则线段 的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【答案】B
【分析】直接利用切线的性质得出 ，进而利用直角三角形 的性质得出关于半径的方程，再
利用勾股定理即可确定 的长度．
【详解】解：如图所示：连接 ，设 ，则 ，∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】题目主要考查了切线的性质以及直角三角形中 角的性质，正确作出辅助线是解题关键．
5．（2023春·河北石家庄·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系 中，点A在x轴的正半轴，
点B在y轴的负半轴， 经过A、B、O、C四点，若 ， ，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆的内接四边形对角互补可得 ，即可进一步求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
故点A的坐标为
故选：D．【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补、含 的直角三角形等知识点．得出 是解题关
键．
6．（2023·全国·九年级专题练习）若圆锥的底面直径为4cm，侧面展开图的面积为 ，则圆锥的母线
长为（ ）
A． cm B． cm C．3cm D．2cm
【答案】C
【分析】根据圆锥侧面积公式 代入数据求出圆锥的母线长即可．
【详解】解：根据圆锥侧面积公式： ，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为 ，故
，
解得： ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，熟练圆锥侧面积公式是解题关键．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，D为 的
中点，连接 ，以点D为圆心， 长为半径作弧 ，若 于点E， 于点F．则图中
阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ， ， ，得 ，又D为 的中点，有
，根据 ， ， ，得到四边形 是矩形，从而
可得 ， ，然后得到 ，即得阴影部分的周
长．
【详解】解：在 中， ， ，∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴阴影部分的周长为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查阴影周长，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握弧长公式，
证明四边形 是矩形．
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，点 是边 上一点，以点 为圆心，
以 为半径作圆， 恰好与 相切于点 ，连接 ．若 平分 ， ，则线段 的
长是（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角
平分线的定义得到 ，从而得到 ，进而得到 ，根据平行线的性质得
到 ，设 ，则 ， ，由勾股定理可得 ，，最后根据 进行计算即可．
【详解】解：连接 ，
是 的半径， 是 的切线，点 是切点，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
， ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股
定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 为 直径，C为圆上一点，I为 内心， 交 于D， 于I，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】如图，连接 ， ，由题意知， 平分 ， 平分 ，则 ，
， ， ，由
，可得 ，由垂径定理得
，则 ，由勾股定理得， ，如图，连接 交 于 ，则
，设 ，则 ，由勾股定理得， ，即
，解得 ，进而可得 ， ，由勾股定理得，
，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，由题意知， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
如图，连接 交 于 ，则 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性
质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A是 上一定点，点B是 上一动点、连接 、 、
，分别将线段 、 绕点A顺时针旋转 到 、 ，连接 、 、 、 ，下列结论：
①点 在 上；② ；③ ；④当 时， 与 相切．正确的
有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】由旋转的性质，易证 和 是等边三角形，得到 ，即可判断①结论；逆用等
边三角形性质，即可证明 ，判断②结论；利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质，
得到 ，再利用等边三角形的性质，得到 ，然后根据圆周角定理，即可判断
③结论；利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质，得到 ，再利用等边三角形的性质和
三角形外角的定义，得到 ，进而得到 ，然后利用切线的判定定理可判断④结论．
【详解】解：由旋转的性质可知， ， ， ，
和 是等边三角形，
，
点 在 上，①结论正确；
，
在 和 中，
，
，②结论正确；
，
，
，
， ，，
和 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，③结论正确；
，
，
， ，
，
，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上，
，
，
，
，
与 相切，④结论正确，
综上所述，正确的结论有①②③④，共4个，
故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判
定和性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2023秋·九年级课时练习）如图， 所对的圆周角是 ， 所对的圆周角是
．
【答案】
【分析】根据圆周角的定义即可解答．
【详解】解：如图，
所对的圆周角是 ，
所对的圆周角是 ．故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
12．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】由题意易得 ，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
13．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中， ，连接 ，则
的度数为 ．
【答案】 /60度
【分析】直接根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解答的关
键．
14．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，在 中，半径 ，C是 上一点，连接 ，
， ，若 ， ，则 的长度为 ．
【答案】 /
【分析】根据圆周角定理求出 ，进而求出 ，再根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
的长为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，根据圆周角定理求出 是解题的关键．
15．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在 中， ，斜边 ， 是 的中点，
线段 的长为半径画圆心角为 的扇形 ，弧 经过点 ，则图中阴影部分的面积为 平方
单位．【答案】 /
【分析】连接 ，作 ， ，证明 ，则 ，求得扇形
的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【详解】解：连接 ，作 ．
， ，
， ，
则扇形 的面积是： ，
， ，
平分 ，
又 ， ，
，
，
，
则在 和 中，
，
，
．
则阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明 ，得到
是解题的关键．
16．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在 中， 是 的内心，
是 的中点，则 ．
【答案】
【分析】设 的内切圆I与 各边分别相切于点D，E，F，连接 ， ， ，可推出四边形
是正方形，从而 ，设 ，则 ， ，从而得
出 ，求得x的值，进一步得出结果．
【详解】解：如图， ∵ ， ， ，
∴ ，∵O是 的中点，
∴ ，
设 的内切圆I与 各边分别相切于点D，E，F，连接 ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，圆的切线的性质，勾股定理，切线长定理等知识，解决问题的关键
是掌握切线的有关性质．
17．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）在 中， ， ， ，以直线
为轴，把 旋转一周得到的圆锥的表面积是 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出 ,再根据 列出算式即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ,
∴ 以直线 为轴，把 旋转一周得到的圆锥的表面积为： ．
故答案为：
【点睛】本题考查圆锥的表面积计算，熟知圆锥的表面积包括侧面积和底面积，能正确求出圆锥的侧面积
是解题关键，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线
长．
18．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）四边形 中， ， ，且， ．以 为圆心， 为半径作弧，交 的延长线于点 ，若点 为弧 上的动点，过
点 作 于点 ，设点I为 的内心，连接 ，当点Q从点C运动到点E时，则内心I
所经过的路径长为 ．
【答案】 /
【分析】三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接 ，由内心定义得 ，继而证
明 ，再由全等三角形的对应角相等解得 ，接着计算 的度数，
得到 ，过 、 、 三点作 ，求得 的度数，求出 ，在等腰直角三
角形 中，利用勾股定理解得 ，最后根据弧长公式解题即可．
【详解】解：如图，连接 ，是内心，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
过 、 、 三点作 ，连接 ，
，
当点 从点 运动到点 时，内心所经过的路径长为 的长，
过点 作 ，过 作 ，垂足分别为M、N，
， ，
， ，， ．
， ，
，
在等腰直角三角形 中， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的内心性质、
不共线三点确定一个圆、弧 长公式等知识，是重要考点，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，点A、B、C、D在⊙O中，且 ， 与 相等吗？
为什么？
【答案】相等，理由见解析
【分析】由 可得 ，即 ，因此 与 相等．
【详解】 与 相等．
理由如下：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．
20．（2023秋·九年级课时练习）已知在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 为半径作 ，
(1)当半径 为何值时， 与直线 相切；
(2)当半径 为何值时， 与直线 相切；
(3)当半径 的取值范围为何值时， 与直线 相交且与直线 相离．
【答案】(1)当半径 为3时， 与直线 相切
(2)当半径 为2.4时， 与直线 相切
(3)当半径 的取值范围为 时， 与直线 相交且与直线 相离
【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可；
（2）连接 ，过点 作 ，等积法求出 的长，即为所求；
（3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∵圆心 到 边的距离为 ， 与直线 相切，
∴ ，
则当半径 为3时， 与直线 相切；
（2）连接 ，过 作 ，交 于点 ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
又∵ ，∴圆心 到 边的距离 ，
又 与直线 相切，
∴ ，则当半径 为2.4时， 与直线 相切；
（3）∵ 与直线 相交，圆心 到 边的距离为 ，
∴ ，
又 与直线 相离，圆心 到 的距离为 ，
∴ ，
则当半径 的取值范围为 时， 与直线 相交且与直线 相离．
【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小
于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．
21．（2023秋·九年级课时练习）（不需作辅助线）如图， 内接于 ， ， 是 的直
径，交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．求证： 是 的切线．
【答案】见解析
【分析】根据 ，得到 ，再根据圆周角定理，得到 ，即可得到
，根据 是 的直径，得到 ，最后通过 和角度的等量代换，即可
解答．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 是 的切线；
【点睛】此题考查了证明直线是圆的切线，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关
键．
22．（2023秋·九年级课时练习）在平面直角坐标系 中，点 到直线
的距离公式： ，例如，求点 到直线 的距
离．
解：由直线 知： ， ， ，所以 到直线 的距离为
，
根据以上材料，解决下列问题：
(1)求点 到直线 的距离；
(2)在（1）基础上，若以点 为圆心，半径为2作圆，请直接写出直线与圆的位置关系．
【答案】(1)1
(2)直线与圆的位置关系是相交
【分析】（1）根据题中给出的点到直线的距离公式求解即可；
（2）根据圆心到直线的距离小于半径即可判断出直线与圆相交．
【详解】（1）解：点 到直线 的距离 ．
（2）解：∵点 到直线 的距离为1，
的半径为2，
∴直线与圆的位置关系是相交．
【点睛】本题考查了新定义问题，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到直线的距离的求法．
23．（2023秋·九年级课时练习）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘
连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具
为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” 的连接点 在
上，当点 在 上转动时，带动点 分别在射线 上滑动， ．当 与 相切时，
点 恰好落在 上，如图②．
请仅就图②的情形求证： ．
【答案】见解析
【分析】连接 ，设直线 与 交于点 ，根据切线性质得出 ，即 ，
根据 ，得出 ，证明 ，根据 ，证明
．
【详解】证明：如图，连接 ，设直线 与 交于点 ，
与 相切于点 ，
，
，
，，
，
∵ ，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，余角的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相
关的性质．
24．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，点 为 的
中点，对角线 ， 交于点 ， 的切线 交 的延长线于点 ，切点为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 的长为 ．
【分析】（1）由点 为 的中点，可得 ，根据 为 的直径，有
，又 是 的切线， 为 的直径，有 ，即得
， ；
（2）由 ， ， ，得 ，由等面积法得 ，由勾股定理得
， ，即 ．
【详解】（1）证明：∵点 为 的中点，∴
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线， 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
由（ ）知 ，
在 中， ，
∴ ，
答： 的长为 ．
【点睛】此题考查了圆的性质及应用，涉及勾股定理、等面积法等知识，解题的关键是掌握切线的性质及
应用，熟练应用勾股定理解决问题．
25．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：如图1， 为 的直径，点C为 外一点， ，
连接 交 于D．(1)若 为 的切线，求证： ；
(2)如图2，若 时，请用尺规作图在 内部选一点P，使 ，以下是部分作图步骤：
第一步：过点O作 的垂线，交 于点E；
第二步：连接 ；
问题：
①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；
②在操作中得到 的依据是 ．
【答案】(1)见解析
(2)①作图见解析；②在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
【分析】
（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据圆周角定理得到 ，根据三线合一
定理证明 是 的中位线，则 ，由此可知 ；
（2）①如图2：根据题意作出图形即可；②根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】（1）
证明：如图1，连接 ，
∵ 为 的切线， 为 的直径，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：①如图2：
第一步：过点O作 的垂线，交 于点E；
第二步：连接 ；
第三步：以E为圆心，以 为半径作 ，在 上且在 的内部取一点P连接 ，则
即为所求；
②∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ （在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，复杂作图，三角形中位线定理，正确地作出图
形是解题的关键．
26．（2023春·陕西·九年级专题练习）【问题提出】（1）如图①， 为 的一条弦，圆心O到弦
的距离为4，若 的半径为7，则 上的点到弦 的距离最大值为_______；【问题探究】（2）如图②，在 中， 为 边上的高，若 ，求 面积的最
小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取
得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图
③， 为基地的大致规划示意图，其中 ， 平分 交 于点 ，点 为 上一
点，学校计划将四边形 部分修建为农业实践基地，并沿 铺设一条人行走道， 部分修建为
兴趣活动基地．根据规划要求， 米， ．且农业实践基地部分（四边形 ）的
面积应尽可能小，问四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理
由．
【答案】（1）11；（2） ；（3）四边形 的面积存在最小值，最小值为 平方米
【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；
（2）作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于点 ，设 ，则
，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出 的最小值，进而得出答案；
（3）过点 作 于点 于点 ，则 ，在 上截取 ，连接 ，利用
证明 ，则 ，要使四边形 的
面积最小，只需 的面积最小，由（2）同理求出 面积的最小值即可．
【详解】解：（1）∵圆心O到弦 的距离为4，若 的半径为7，
∴ 上的点到弦 的距离最大值为 ，
故答案为：11；
（2）作 的外接圆 ，连接 ，过点O作 于点 ，如图．．
设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
∴ ，
，
．
即 面积的最小值为
（3）过点 作 于点 于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ．
又 ，
．
米， ， ，
为等腰直角三角形，
∴ 米，
（平方米），
平方米．
在 上截取 ，连接 ，如图．，
，
，
要使四边形 的面积最小，只需 的面积最小．
，
，
作 的外接圆 ，如图，连接 ，作 于点 ，
则 ，
∴ ．
设 ，则 ．
由 ，得 ，解得 ，
米，
（平方米），
（平方米）．
即四边形 的面积存在最小值，最小值为 平方米．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与
性质，交平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是
解题的关键．
