文档内容
重难点突破 12 双切线问题的探究
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：定值问题................................................................................................................................2
题型二：斜率问题................................................................................................................................7
题型三：交点弦过定点问题..............................................................................................................13
题型四：交点弦定值问题..................................................................................................................19
题型五：交点弦最值问题..................................................................................................................27
题型六：交点弦范围问题..................................................................................................................31
题型七：“筷子夹汤圆”问题..........................................................................................................38
03 过关测试.........................................................................................................................................47双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点 设出切线方程 ．
②和曲线方程联立，求出判别式 ．
③整理出关于双切线斜率 的同构方程．
④写出关于 的韦达定理，并解题．
题型一：定值问题
【典例1-1】已知直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点． 是线段 的中点，点
在直线 上，且 垂直于 轴．
(1)求证： 的中点在 上；
(2)设点 在抛物线 ： 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点．若 ，且
位于 轴两侧，求证： ．
【解析】（1）设 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，
所以
所以 ，则 ，
所以 的中点坐标为 ，满足 ，
故 的中点在 上；（2）由（1）得 ，设直线 的方程为 ，即 ，
联立 ，消去 得 ，解得 或 ，
又 位于 轴两侧，故 ，
设点 在抛物线 上，又对于 ： 有 ，所以
则 在点 处的切线方程为 ，
整理得 ，设 ， ，
则 在 与 处的切线方程分别为 与 ，又两条切线都过点
，
则 ， ，
则直线 的方程为 ，即 ，
又 ，则点 在直线 上.
由（1）知 ，而 ，
则 .
而
.
联立 ，消去 得 ，
则 ， ，则 .
所以 .
【典例1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆 的一条准线 的方程为 ，点
分别为椭圆 的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求 的标准方程；
(2)过 上任一点作 的两条切线，切点分别为 ，当四边形 的面积最大时，求 的正切值．
【解析】（1）由题意得， 解得 所以 ，
所以 的标准方程为 ．
（2）如图，取 上任意一点 ，设 ，
当 位于点 处时，切线与 轴垂直，不合题意，故 ．
设切线 的方程为 ①，
联立
整理得 ，
由 ，得 ．
因为 在 上，所以 ，故 ，
代入①式，整理得 ，同理得切线 的方程为 ．
因为两条切线都经过 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ．
联立 整理得 ，
所以 ②．显然 与 异号．
由题意知 ，所以 ．
设 ，则 ，
将②式代入并整理，得 ．
因为 ，所以易知 在 上单调递增，所以当 时， 有最小值，即 有最大值，
为36．所以当 时，四边形 的面积最大，最大面积为6．
此时直线 的方程为 ，故直线 与 轴垂直．
设 与 的交点为 ，显然 是椭圆的右焦点，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【变式1-1】（2024·云南·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，上､下顶点与其中一
个焦点围成的三角形面积为 ，过点 作椭圆 的两条切线，切点为 .
(1)求椭圆 的方程；(2)求 所在直线的方程；
(3)过点 作直线 交椭圆 于 两点，交直线 于点 ，求 的值.
【解析】（1）由题意可知： ①
又 ，所以 ②，
由①②及 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）先证：过椭圆 上一点A(x ,y )的切线方程为 ，
1 1
证明如下：当过椭圆上一点 的切线斜率存在时，
设切线方程为 ，
则 可得： ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，
化简可得： ，
所以 ，代入 可得：
，
于是 ，
故切线方程为： ，即 ，
又 ，故切线 的方程为： ，
当过椭圆上一点A(x ,y )的切线斜率不存在时，切线方程为 ，满足题意.
1 1
所以过椭圆 上一点A(x ,y )的切线方程为 ，
1 1
故切线 的方程为： ，
同理：切线 的方程为： ，又因为过点 ，所以 ， ，
所以： ，故直线 的方程为 .
（3）由题意可知直线 的斜率存在，且 ，设直线 的方程为： ，
联立椭圆 的方程 ，
得 ，
令 ，
所以 .
令 ，解方程组 得 .
又
，
所以 .
题型二：斜率问题
【典例2-1】如图，点 为抛物线 外任意一点，过点 作抛物线两条切线分别切于
两点， 的中点为 ，直线 交抛物线于点 ．
(1)证明： （ 为直线 在轴上的截距），且直线 方程为 ；
(2)设点 处的切线 ，求证 ．
【解析】（1）∵点 在抛物线上，∴ ，
由 ，得 ，所以 ；
所以在点 的切线方程为 ，
即 ，
- 得： ，即 ，
② ①
∴ ，
将点 代入切线方程得： ，
令 方程为 ，代入 得： ，
由 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴直线 过定点 ，
故 方程为 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
因为 点坐标为 ，所以以 点为切点的切线斜率为 ，
故 ．
【典例2-2】已知P是抛物线 的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线 ，切点
分别为 ．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值．
【解析】（1）由抛物线C的方程为 ，则其准线方程为
由于点P的纵坐标为0，所以点P为 ，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜
率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知 ，即
此时抛物线C的两条切线方程分别为 和 .
（2）
点P在抛物线C的准线上，设
由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0，
设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知 ，即
而抛物线C的两条切线 的斜率 ，即为方程 的两根
故 .
【变式2-1】（2024·高三·浙江·期中）已知双曲线 ： （ ， ）过点 ，且离心率
为2， ， 为双曲线 的上、下焦点，双曲线 在点 处的切线 与圆 ： （
）交于A，B两点.(1)求 的面积；
(2)点 为圆 上一动点，过 能作双曲线 的两条切线，设切点分别为 ， ，记直线 和 的斜
率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）
∵ ，∴ ，∴
设过曲线上一点的切线的方程为： ，
由 可得 ，
则 ，即 .
又因为切点为Q，所以 ，所以解得 ，
则过点 的切线 的方程为： .
设 ， ，
∴ 交 轴于点 ，联立直线 与圆 的方程
消 得 ，∴ ， .
∴ ，
.
∴
（2）设 ， ， ，则
设过点 的双曲线的切线方程为： ，
由（1）可知 ，
又因为 ，则 ，即 （*）
而 ，所以 ， ，
则（*）式可化为 ，即
可得 ， ，则切线方程为 ，
整理可得过点M的双曲线的切线方程为 .
同理可得过点 的双曲线的切线方程为 .
又两切线均过点 ，则 ，
因此，直线 的方程为
联立直线 与双曲线 的方程 ，
消 可得 ，故
所以因为 ，则 ，则
所以 .
【变式2-2】在平面直角坐标系 中，点 到点 与到直线 的距离之比为 ，记点
的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若点 是圆 上的一点（不在坐标轴上），过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，记
直线 的斜率分别为 ，且 ，求直线 的方程.
【解析】（1）根据题意可得 ，即 ，
整理可得 ，
因此曲线 的方程为 ；
（2）如下图所示：
设 ，则 ，
又点 不在坐标轴上，所以 且 ；
因此直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
又直线 与椭圆相切与点 ，
联立 整理可得
可得 ，即 ，
整理可得 ，又 ，可得 ；
直线 与椭圆相切与点 ，同理可得 ，
所以 是关于 的一元二次方程 的两个不同的实数根，
因此 ，
再由 可得 ，即 ；
所以直线 的斜率为 ，
因此直线 的方程为 .
题型三：交点弦过定点问题
【典例3-1】在平面直角坐标系中，动点 到 的距离等于到直线 的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点 作（1）中 的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O
为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求 的最小值.
【解析】（1）因为动点 到 的距离等于到直线x=−1的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线，
又因为焦点为 ，所以轨迹方程为 .
（2）（ⅰ）证明：设点 ，
设以 为切点的切线方程为 ，
联立抛物线方程,可得 ，由 ，得 ，
所以切线AP： ，同理切线BP：
点P在两条切线上，则 ，
由于 均满足方程 ，故此为直线AB的方程，
由于垂直 即 ，则 ，所以直线AB的方程 ，恒过 ；
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，则 ，直线
联立直线AB与直线OP的方程 得 ，
因此 ， 时取等号.
即 的最小值是 .
【典例3-2】（2024·湖南·三模）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交
于A，B两点， .
(1)求E的方程；
(2)直线 ，过l上一点P作E的两条切线 ，切点分别为M，N.求证：直线 过定点，并求
出该定点坐标.
【解析】（1）由已知， ，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
设 的方程为 ， ,
联立 ，得 ，则 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
故抛物线E的方程为： .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，
，即 ，
所以 ， ，
令 ，当 时，
可化为 ，则 ，
则在 处的切线 的方程为： ，
即 ，
同理可得切线 的方程为： ，
联立 与 的方程，解得 ，
所以 ，则 ，满足 ，则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点，该定点坐标为 .
【变式3-1】已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ．
(1)求 的值；
(2)过点 作 的两条切线，切点分别为 ， ，证明：直线 过定点；
(3)直线 过 的焦点 ，与 交于 ， 两点， 在 ， 两点处的切线相交于点 ，设 ，当
时，求 面积的最小值．
【解析】（1）将 代入 中得 ，
故 ，解得 ；
（2）由（1）知抛物线 ，令 ，可得 ，
由 求导可得 ，
设 ，
则直线 的方程分别为 ，
将 代入上面两个方程得 ，结合
整理得 ，
所以 是方程 的两根，所以 ，
而直线 的方程为 ，
即 ，
即 ，
则直线 过定点 ；（3）由题意得 ，直线 的斜率不为0，
设直线 ，
联立得 ，得 ，则 ，
联立 ，解得 ，故 ，即 ，
由 ，得 ，结合根与系数的关系可知 ，
从而 ，所以 ，
而 ，故 ，
由于 在 时为增函数，
因此当 时， 的面积取得最小值 .
【变式3-2】已知椭圆E： 的长轴为双曲线 的实轴，且离心率为 .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆 在其上一点 处的切线方程为 .过直线 上任意一点
P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点.①证明：直线 过定点；
②求 面积的最大值.
【解析】（1）由条件可知 ，
，则 ，
则椭圆的标准方程为 .
（2）①设切点A(x ,y )，B(x ,y )， ，又椭圆E在点A处的切线方程为 ，在点B处的
1 1 2 2
切线方程 ，
由条件，将 点坐标代入直线PA的方程得 ，代入直线PB的方程得 ，
则A、B两点都在直线 上，
则切点弦AB直线方程为 ，
直线AB过定点(1,0).
② ，设直线过定点为 ，
显然直线 不可能水平，故设直线 方程为： ，
，
，
因为直线 恒过椭圆内点，所以 恒成立，
， ，
，
令 ，
，
当 ， 为减函数，所以当 时， 最大值为 .
题型四：交点弦定值问题
【典例4-1】（2024·河北·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆的短轴
的一个顶点．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设圆 ： ，过圆 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ．设两切线的斜
率均存在，分别为 ， ，问： 是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值．
【解析】（1）由题意得 ，又 ，
解得 ，故椭圆方程为 ；
（2）是， ，理由如下：
设 ，当 时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去，
故 ， ，
设过点 与椭圆相切的直线为 ，
与 联立得 ，
由 得， ，
整理得 ，
过点 与椭圆相切的两直线斜率分别为 ， ，
所以【典例4-2】（2024·江苏·一模）已知椭圆C： 的右焦点为 ，右顶点为A，直线
l： 与x轴交于点M，且 ，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得， ？若存在，求 ；若不存在，请说明理
②由.⊙
【解析】（1）由右焦点为 ，得 ，
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，得 ，无解，
若 ，则 ，得 ，所以 ，因此C的方程 .
（2）设 ，易知过B且与C相切的直线斜率存在，
设为 ，
联立 ，消去y得 ，
由 ，得 ，
设两条切线BP，BQ的斜率分别为 ， ，则 ， .
①设BF的斜率为 ，则 ，
因为 ，所以BP，BF，BQ的斜率成等差数列，②法1：在 中，令 ，得 ，所以 ，
同理，得 ，所以PQ的中垂线为 ，
易得BP中点为 ，所以BP的中垂线为 ，
联立 ，解得 ，
所以 ， ，
要使 ，即 ，整理得 ，
而 ，
所以 ，解得 ， ，因此 ，
故存在符合题意的点B，使得 ，此时 .
法2：在 中，令 ，得 ，因此 ，
同理可得 ，所以PQ的中垂线为 ，
因为BP中点为 ，所以BP的中垂线为 ，联立 ，解得 ，
要使 ，则 ，所以 ，即 ，
而 ，
所以 ，解得 ， ，因此 ，
故存在符合题意的点B，使得 ，此时 .
法3：要使 ，即 或 ，
从而 ，又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ， ，所以 ，
故存在符合题意的点B，使得 ，此时 .
法4：要使 ，即 或 ，
从而 ，在 中，令 ，得 ，故 ，
同理可得 ，
因此 ， ，
所以 ，
故 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
因此 ， ，
故存在符合题意的点B，使得 ，此时 .
法5：要使 ，即 或 ，
在 中，令 ，得 ，故 ，
同理可得 ，
由等面积法得 ，
即 ，整理得 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
因此 ， ，
故存在符合题意的点B，使得 ，此时 .
【变式4-1】已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线 的距离为 ．(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．
【解析】（1）设抛物线的方程为 ，
∵抛物线 的焦点 到直线 的距离为 ，
∴ ，解得 或 （舍去 ，
∴ ， ，
∴抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ，设切点为 ，曲线 ， ，
则切线的斜率为 ，化简得 ，
设 ， ， ，则 ， 是以上方程的两根，
则 ， ，
，
直线 的方程为： ，整理得 ，
∵切线 的方程为 ，整理得 ，且点 ， 在切线 上，
∴ ，即直线 的方程为： ，化简得 ，
又∵ ，∴ ，
故直线 过定点 ．
（3）设 ， ， ，
过 的切线 ，过 的切线 ，则交点 ，
设过 点的直线为 ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴点 满足的轨迹方程为 ．
【变式4-2】如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线 上任意一点，过M引抛物线的切
线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与 轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点 ，
，记 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.
【解析】（1）设 ， ，抛物线方程 可变为 ，
所以 ，所以 ， ，
直线 的方程为 ，直线 方程为 ，
则 解得 ， ，又 ，所以直线 的方程为 ，
化简得 ， 令 ， ，
又 ， 所以 ，
所以直线AB与 轴的交点坐标为 .
（2）记 ，设点 ，
可得直线 的方程为 ，
由 可得 ，同理 ，
所以
，
所以 ，同理 ，
所以 ，
设 ，记 ，则 ， ， ，
， ，
于是 ，
所以
，所以 .
题型五：交点弦最值问题
【典例5-1】已知点F为抛物线 的焦点，点 在抛物线E上，且到原点的距离为
.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P
点.
(1)证明：点P在一条定直线上；
(2)求 的面积最小值．
【解析】（1）由题意可得: ，解得： ，所以抛物线的方程为 ；
由抛物线焦点 ，易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为 ．
由 ，消去y并整理，得 ． ．
设 ， ，则 ， ．
对 求导，得 ，∴直线 的斜率 ，则直线AP的方程为 ，即
．
同理得直线 的方程为 ．
设点 ，联立直线 与 的方程， ，即 ．
即点P在直线 上；
（2）由 ，
点P到直线 的距离 ，
得 的面积 ，当且仅当 时等号成立．
所以 面积的最小值为16，此时直线l的方程为 ．
【典例5-2】已知抛物线 ，动圆 ， 为抛物线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 .
(1)若 求 的最小值；
(2)若过圆心 作抛物线 的两条切线，切点分别为 .
（Ⅰ）求证：直线 过定点；
（Ⅱ）若线段 的中点为 ，连 交抛物线 于点 ，记 的面积为 ，求 的表达式及其
最小值.
【解析】（1）由题意
当且仅当 最小时， 最小.
设 ，又 ，
所以
记为 ，则 ，
在 上单调递减；
在 上单调递增.
时 有最小值 ，此时 ，且 ，
所以 最小值为 .
（2）由已知 ，设
（Ⅰ） ，所以切线 ，
切线过 ，所以 ，
同理 ，所以直线 过 两点.
所以直线 方程为 过定点(0,1).（Ⅱ）联立 ，得 ，
，
，而 ，
轴， 点横坐标 ，
，
即 ，且 ，当且仅当 时成立.
综上 的最小值为 .
【变式5-1】（2024·山东临沂·一模）动圆 与圆 和圆 都内切，记动
圆圆心 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点
处的切线方程为： ，试运用该性质解决以
下问题：点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ，切点分别为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）点 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于点 ，设 的面积分别为 ，求
的最大值.
【解析】（1）设动圆 的半径为 ，由题意得圆 和圆 的半径分别为 ， ，
因为 与 ， 都内切，
所以 ， ，
所以 ，
又 ， ，故 ，所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设 的方程为： ，
则 ， ，所以 ，
故 的方程为： .
（2）（i）证明：设 ， ， ，
由题意中的性质可得，切线 方程为 ，
切线 方程为 ，
因为两条切线都经过点 ，所以 ， ，
故直线 的方程为： ，显然当 时， ，
故直线 经过定点 .
（ii）设直线 的方程为： ，
联立 ，整理得 ，
由韦达定理得 ，
又 ，所以直线 的方程为 ，
令 得，
，
所以直线 经过定点 ，又 ，
所以，
所以 ，当且仅当 时，即 时取等号.
题型六：交点弦范围问题
【典例6-1】设抛物线 的焦点为F,Q为 上一点．已知点 的纵坐标为 ，且点 到
焦点 的距离是 ．点 为圆 上的点，过点 作拋物线 的两条切线 ，切点分别为
，记两切线 的斜率分别为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 的坐标为 ，求 值；
(3)设直线 与 轴分别交于点 ，求 的取值范围．
【解析】（1）将 代入 中，得 ，所以 ，
由题意可知， ，
因为点 到焦点 的距离是 ，
所以 ,解得 ，故抛物线 的方程为 .
（2）设切线方程为 ，
由 ，消去 ，得 ，
因为切线与抛物线 有一个交点，
所以 ，得 ，
所以 .
（3）设 ，设直线 的方程为 ，
，消去 ，得 ，
因为直线 与抛物线 有一个交点，
，解得 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，则 ， ，
同理直线 的方程为 ,令 ，则 ， ，
设 代入 ，得 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以
又 在圆 上，
所以 ，即 ，故 .
综上可知， 的取值范围为 .
【典例6-2】如图，设抛物线 的焦点为F，点P是半椭圆 上的一点，过点P作抛
物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴于点M、N．
（1）证明： ；
（2）求 的取值范围．
【解析】（1）由题意知，直线PA的斜率存在且不为0，设点P的坐标为 ，
直线PA方程为 ．
令 ，可知点M的坐标为 ．
由 ，消去x得 ．
因为直线与抛物线只有一个交点，
故 ，即 ．
因为点F的坐标为 ，
故 ， ．
则 ．
因此 ，亦即 ．
（2）设直线PB的方程为 ．
由（1）可知，n满足方程 ．
故m，n是关于t的方程 的两个不同的实根．所以 ．
由（1）可知： ，同理可得 ．
故 ， ．
则 ，
因为 ，
所以 ．
因此， 的取值范围是 ．
【变式6-1】已知椭圆 ： 的左焦点 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过圆 ： 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ，直线 分别与圆
相交于异于点 的 两点.
（i）当直线 的斜率都存在时，记直线 的斜率分别为 .求证： ；
（ii）求 的取值范围.
【解析】（1）∵椭圆 的左焦点 ，∴ .
将 代入 ，得 .
又 ，∴ ， .
∴椭圆 的标准方程为 .
（2）（i）设点 ，设过点 与椭圆 相切的直线方程为 .
由 ，消去 ，得 ..
令 ，整理得 .
由已知，则 .
又 ，∴ .
（ii）设点 ， .
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .
由 ，消去 ，得 .
.
令 ，整理得 .
则 .
∴直线 的方程为 .
化简，可得 ，即 .
经验证，当直线 的斜率不存在时，
直线 的方程为 或 ，也满足 .
同理，可得直线 的方程为 .
∵ 在直线 ， 上，∴ ， .
∴直线 的方程为 .
由 ，消去 ，得 .
∴ ， .∴
.
又由（i）可知当直线 ， 的斜率都存在时， ；
易知当直线 或 斜率不存在时，也有 .
∴ 为圆 的直径，即 .
.
∴
又 ，∴ .
∴ 的取值范围为 .
【变式6-2】（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上运动， 为
过点 的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线的焦点为 ，记焦点 的轨
迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求四边形
面积的取值范围．
【解析】（1）分别过 作 的垂线，垂足分别为 ，连接 ，
由抛物线的定义，可得 ，则 ．
因为 ，所以焦点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，
其中 ，
所以抛物线的焦点 的轨迹方程为（2）设点 ，过点 的直线的斜率为 ，则方程为 ，
联立方程组 ，消 得 ，
，
整理得 ，
，即 ，所以点 在方程为 的圆上．
设 点在椭圆上，则 ，则 ，
由 知， 满足：
则 ，即 ，故 ，
从而得切线 的方程为
整理得 ，点 满足方程，则 ，
同理可得
即点 满足方程 ，所以 的方程为 ．
消 得 ，
， ，
．设 ， 点到直线 的距离为 ，
；
．
所以 ．
题型七：“筷子夹汤圆”问题
【典例7-1】（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过直线 上任一点 作该直线的垂
线 ， ，线段 的中垂线与直线 交于点 ．
(1)当 在直线 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
(2)过 向圆 引两条切线，与轨迹 的另一个交点分别
①判断：直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
②求 周长的最小值．
【解析】（1）
由垂直平分线的性质可知： ，所以点P的轨迹为以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
则轨迹C的方程为 ；
（2）
①不妨设 ，
可得直线PA的方程为 ，
整理得 ，
因为该直线为圆 的切线，所以
即
同理得 ，
所以 是方程 的两根，
此时 ，
易知直线AB的方程为 即 ，
则点N到AB的距离 ，故直线AB与圆N相切；
②易知而点 到直线AB的距离 ，
所以 ，
不妨设 ，
记 ，
可得
易知 ，
当 时， ，
可得 单调递增；
当 时， ，
当 时， ，可得 单调递减；
当 时， ，可得 单调递增，
又 ，所以 的面积最小值为 ，
当且仅当 或 ，即 或 时，等号成立，
又
故 周长的最小值为 ．
【典例7-2】（2024·河南·三模）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，上､下顶点分别为 ，
记四边形 的内切圆为 ，过 上一点 引圆 的两条切线（切线斜率均存在且不为0），分别交
于点 （异于 ）.
(1)求直线 与 的斜率之积的值；
(2)记 为坐标原点，试判断 三点是否共线，并说明理由.【解析】（1）由题意得 ，
故直线 的方程为 ，即 .
由对称性可知圆 的圆心坐标为 ，
因为点 到直线 的距离为 ，
所以圆 的半径为 ，所以圆 ，
设 ，则 ，
由题可设圆 的切线方程为 ，
则圆心 到切线的距离为 ，
整理得 ，
设过点 所引的圆 的两条切线的斜率分别为 ，
则 ，由 ，得 ，
代入 式中，可得 ，
故直线 与 的斜率之积为 ；
（2）不妨设直线 的方程为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，
直线 与椭圆 的方程联立可得 ，
设 ，则 ，将 代入，
可得 ，
由（1）可设直线 的方程为 ，设 ，同理可得 ，
因此 ，
设直线 ，则 ，解得 ，
将直线 与椭圆 联立，则 ，
设 ，则 ，
将 代入，得 ，
设直线 ， 同理可得 ，
故 ，
所以P，O，Q三点共线．
【变式7-1】在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长，点 在抛物线 上，圆 （其中 ）.
(1)若 为圆 上的动点，求线段 长度的最小值；
(2)设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于点 .证明：
直线 经过定点.
【解析】（1）由题意得椭圆的方程： ，所以短半轴
所以 ，所以抛物线 的方程是 .设点 ，则 ，
所以当 时，线段 长度取最小值 .
（2） 是抛物线 上位于第一象限的点，
，且 .
设 ，则：
直线 ，即 ，即 .
直线 ，即 .
由直线 与圆相切得 ，即 .
同理，由直线 与圆相切得 .
所以 是方程 的两个解，
.
代入方程 得 ，
解得
直线 恒过定点 .
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的长轴长为4，左、右顶点分别为
，上、下顶点分别为 ，四边形 的内切圆 的半径为 ，过椭圆 上一点T引圆
的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆 于点P，Q．
(1)求椭圆 的方程；
(2)试探究直线 与 的斜率之积是否为定值，并说明理由；(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
【解析】（1）由题意得 ，则直线 的方程为 ．
由 可得 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由题意得 ，
切线的斜率存在且不为0，并设为 ，取 ，则 ，
此时切线方程为 ，则 ．
整理得 ．
设过点 引圆 的两条切线斜率分别为 ，则 ①．
由 得 ，
将其代入①式得 ，
故直线 与 的斜率之积为 ．
（3）设直线 ，则 ，解得 ．
将直线 与椭圆 联立，则 ．
因为直线 与椭圆有两个不同的交点，所以 .
设P(x ,y )，则 ，
1 1
将 代入可得 ．
设直线 ，则 ，整理得 ．
同理，将直线 与椭圆 联立，则 ．设Q(x ,y )，则 ，
2 2
将 代入可得 ，
显然 ．
设直线 ，则 ，解得 ，
将直线 与椭圆 联立，则 ，
设P(x ,y )，则 ，
1 1
将 代入得 ．
设直线 ，则 ，解得 ．
将直线 与椭圆 联立，则 ．
设Q(x ,y )，则 ．
2 2
将 代入得 ，
故 ．
所以P(x ,y )，Q(x ,y )， ，且 ，
1 1 2 2
所以P，O，Q三点共线．【变式7-3】已知A，B为抛物线C：y2=2px(p>0)上的两点，△OAB是边长为 的等边三角形，其中
O为坐标原点．
(1)求C的方程．
(2)过C的焦点F作圆M： 的两条切线 ， ．
（i）证明： ， 的斜率之积为定值．
（ii）若 ， 与C分别交于点D，E和H，G，求 的最小值．
【解析】（1）易知A，B关于x轴对称，连接AB，交x轴于点M，如图：
不妨设 ，则 ，
由题意得 ，得 ，
则 ，得 ，故C的方程为 ．
（2）（i）证明：由（1）得F(1,0)，易得 ， 的斜率均不为0，
如图：设 ： ， ： ．
由 ，得 ，同理可得
则m，n可以看作方程 的两根，易得 ，
所以 ，所以 ， 的斜率之积为 ，是定值．
（ii）设 ， ， ， ，
由 ，得 ，易得 ，则 ，
所以 ，同理可得 ，
由 ，得 ，则 得 ， ，
所以
，
当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 .1．已知点 ， 分别为椭圆 ： （ ）的左、右顶点，点 ，直线 交 于点 ，
，且 是等腰直角三角形．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过圆 上一点 （不在坐标轴上）作椭圆 的两条切线 ．记 、 、 的斜率分别为 、
、 ，求证： ．
【解析】（1）因为 是等腰直角三角形， ，则 ， ，
设 ，由 ，得 ，
则 ，解得 ，即 ，
将 代入椭圆方程 ，得 ，则 ，
所以椭圆E的方程为 .
（2）设 ，且 ，
设过点 的直线 与椭圆相切，
联立 ，化简得 ，
由 得 ，
点 在直线 上，得 ，代入上式得 ，整理得 ，
因为 是椭圆的两条切线，所以 是上面方程的两根，
由韦达定理得 ，
由 得 ，所以 ，
又 ，所以 .
2．（2024·全国·二模）如图，过点 的动直线 交抛物线 于 两点.
(1)若 ，求 的方程；
(2)当直线 变动时，若 不过坐标原点 ，过点 分别作（1）中 的切线，且两条切线相交于点 ，问：
是否存在唯一的直线 ，使得 ？并说明理由.
【解析】（1）由 ，得直线 的斜率为 ，方程为 ，即 ，
由 消去 得： ，设 ，
则 ，由 ，得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程是 .
（2）由（1）知，抛物线 的方程是 ，
直线 不垂直于 轴，设直线 ，显然 ，
由 消去 并整理得 ， ，
则 ，
设抛物线 在 处的切线方程为 ，由 消去 得：，由 ，得 ，
于是抛物线 在 处的切线方程为 ，
同理抛物线 在 处的切线方程为 ，设点 ，
由 ， ，得 ， ，
即点 ，于是直线 的斜率分别为 ，
若存在直线 ，使得 ，则 ，
设直线 的倾斜角分别为 ，则 ，
由 ，得 或 ，因此 ，
即 ，则 ，
，
整理得 ，
化简得 ，令 ，
求导得 ，显然 ，
即 恒成立，则函数 在R上单调递增，而 ，
因此存在唯一 ，使得
所以存在唯一的直线 ，使得 .3．已知抛物线 ： ，焦点为 ，过 作 轴的垂线 ，点 在 轴下方，过点 作抛物线 的两
条切线 ， ， ， 分别交 轴于 ， 两点， ， 分别交 于 ， 两点．
(1)若 ， 与抛物线 相切于 ， 两点，求点 的坐标；
(2)证明： 的外接圆过定点；
(3)求 面积 的最小值．
【解析】（1）∵ ， 与抛物线 相切于 ， 两点，
设 在左侧，则 ， ，
由 得 ，所以 ，
所以 的斜率为 ， 的斜率为 ，
此时 方程： ，即 ．
方程： ，即 ，联立 得 ；
（2）设过 的两条切线分别与抛物线切于 ， ，
由（1）知直线 的斜率为 ，所以直线方程为 ，即 ，
直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，即 ，
所以 且 ， ，
设 外接圆的圆心为 ，则 在 的垂直平分线上，而 的中点为 ，所以
，设 外接圆方程为： 过 ，所以
，
所以 ，所以 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，
令 即 ，所以 的外接圆过定点 ；
（3） ： ，所以 ， ，
所以 ，
到 的距离为 ，所以 ，
设 ， ， ，由 ，
，当且仅当 时等号成立．
所以 ，
令 ， ，
在 上单调递减， 上单调递增，
所以 ，所以 面积 的最小值 .
4．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上顶点为 是椭圆 在第一象限上的点，满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上的一点 ，作椭圆 的两条切线 ，切点分别为 ，证明： .
【解析】（1）
由 可得：F (−c,0)， ， ，设M(x,y)，
1
由 可得： ，则 ，解得 ，
代入椭圆 的方程得 ，解得 ，故 ，
故椭圆 的方程为 .
（2）
证明：设 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
代入椭圆 的方程整理得， ，
由相切可知： ，
化简整理得： .
由关于 一元二次方程判别式： ，
故方程有两个相等实根，由韦达定理得： ，故直线 的方程为 ，整理得： .
同理直线 的方程为 .
而 同时在直线 上，故
故 都在直线 上，即直线 的方程为 .
当 时，直线 的斜率 ，
又 ，故 ，故
当 时，易知直线 的方程为 ，
又因为直线 的方程为 ，显然 ，
综上所述， .
5．已知圆 ，直线 ．
(1)若直线l与圆O相切，求m的值；
(2)当 时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，
求弦 所在直线的方程．
【解析】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，
所以 ，
解得 ；
（2）当 时，直线 ，连接 ，则 ，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长 ，
故 最短当且仅当 最短，即 时最短，
因为 ，所以 ，此时 ，
所以 ，
联立 得 ，
故以 为直径的圆的方程为 ，
因为弦 即圆O与上述圆的公共弦，
所以弦 所在直线方程为 ．6．（2024·湖南·一模）已知双曲线 的渐近线方程为 ， 的半焦距为 ，且
．
(1)求 的标准方程．
(2)若 为 上的一点，且 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线 （斜率都存在），
与 交于另一点 与 交于另一点 ，证明：
（ⅰ） 的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点 ，使得 关于点 对称．
【解析】（1）因为 的渐近线方程为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，得 .
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
故 的标准方程为 .
（2）证明：（i）设 ，如下图所示：
设过点 的切线的斜率为 ，则切线方程为 ，
即 ，所以 ，
即 ，
因此 的斜率 是上式中方程的两根，即 .
又因为 ，所以
所以 的斜率之积为定值，且定值为 .
（ii）不妨设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，联立 ，得 .
因为 ，
所以 ，
则 ，同理可得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
得 .
因为 都在 上，所以 或 （舍去），
所以存在定点 ，使得 关于点 对称.
7．左、右焦点分别为 的椭圆 经过点 ， 为椭圆上一点， 的
重心为 ，内心为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 为切点，问直线 是否过定
点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆 焦点在 轴上，且过点 ，
所以 ，
设 内切圆的半径为 ，点 的坐标为 ，
则 重心 的坐标为 ，
因为 ，所以 ．
由 面积可得 ，
即 ，结合 ，解得 ，
即所求的椭圆方程为则椭圆方程为 ．（2）设 ，
则切线 的方程分别为 ，
因为点 在两条切线上，所以 ，
故直线 的方程为 ．
又因为点 为直线 上，
所以 ，即直线 的方程可化为 ，
整理得 ，
由 解得 ，
因此，直线 过定点 ．
8．（2024·高三·西藏林芝·期末）已知椭圆 ，直线 经过椭圆的
左顶点和上顶点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 上是否存在一点 ，过点 作椭圆 的两条切线分别切于点 与点 ，点 在以 为直径的圆上，
若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，直线 经过点 和 ，解得： ，故椭圆 的标
准方程为： .
（2）如图，假设直线 上存在点 ，使点 在以 为直径的圆上.
不妨点设 ，依题意， ,则两条切线斜率必存在，
分别设 的斜率为 ，则 ， ,
由 消去 ，整理得：
因直线 与椭圆相切，
故 ，
整理得： ①
又由 消去 ，可得： ，
故由 ，整理得： ②
由①②可得： 为方程 的两根，
因 ，故 则 ，即 ，且
又由 可得： 即 （*），
又点 在直线 上，则 ，即 代入（*），解得： ，
当 时， ，当 时， ，
即存在点 和 ,
经检验它们都满足 ，故存在点 使点 在以 为直径的圆上，点 坐标为 或 .
9．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆 过点 ， 和 ，且圆 与 轴交于点 ，点 是
抛物线 的焦点.
(1)求圆 和抛物线 的方程；
(2)过点 作直线 与抛物线交于不同的两点 ， ，过点 ， 分别作抛物线 的切线，两条切线交于点
，试判断直线 与圆 的另一个交点 是否为定点，如果是，求出 点的坐标；如果不是，说明理由．
【解析】（1）因为圆 过点 和 ，
所以圆心在直线 上，设圆心为 ，半径为 ，
又圆过点 ，所以 ， ，
则圆 的方程为 ，
令 ，解得 ，所以F(0,1)，则 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）依题意直线 的斜率必存在，不妨设为 ，则直线 的方程为 ，
即 ，由 整理得 ，
其中 ，解得 或 ，则 ， ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，过 ， 点的抛物线的切线的斜率分别为 、 ，
1 1 2 2
又 ，所以 ，则 、 ，
所以过 点的切线方程为 ，即 ，
同理可得过 点的切线方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，
所以点 在直线 上，而点 也在直线 上，
所以直线 与圆 的另一个交点 就是直线 与圆 的交点，由 ，解得 或 ，
所以直线 与圆 的另一个交点为定点 .
10．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点 与两个焦点 构成的三角形的
最大面积为1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 为直线 上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 （切点分别为 ），
试证明动直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）∵椭圆 的离心率为 ，
椭圆上的点 与两个焦点 构成的三角形的最大面积为1，
∴ ，
解得 ，
∴椭圆 的方程为 ．
（2）证明：设切点为 ，则切线方程为 ，∵两条切线都过 上任意一点 ，
∴得到 ，
∴ 都在直线 上，
又 ，
由 ，得 ，
即对任意的 ，直线 始终经过定点 ．
∴动直线 恒过一定点 ．
11．已知椭圆 的离心率为 ，依次连接四个顶点得到的图形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，求证：直线 过定点.
【解析】（1）由题可得 ，即 ， ，得 ①，
依次连接四个顶点得到的图形的面积为 ，即 ，即 ②，
由①②可得 ，
椭圆 的方程为： .
（2）设 ， ， ，
由题知，直线 上一点 作椭圆 的两条切线斜率存在，
设过点 且与椭圆相切的直线方程为： ，
联立方程 得 ，，
整理得 ，即 ，
在椭圆上， ，即 ， ，
，即 ，
，解得 ，
过点 且与椭圆相切的直线方程为： ，
，即 ，
整理可得以 为切点的椭圆 的切线方程为 ，
同理，以 为切点的椭圆 的切线方程为 ，
又两切线均过点 ，故 ，且 ，
整理化简得 ，且 ，
点 ， 均在直线 上，
直线 的方程为 ，直线 过定点 .
12．已知椭圆 经过点 ，椭圆的左、右顶点分别为 、 ，点 在椭圆上
（异于 、 ），且 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点 为直线 上的动点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ， ，证明直线 经过定点
，并求出定点 的坐标．
【解析】（1）由题意得 ， ，设 ，
则 ， ，所以 ，
又 ，即 ，
则 ，可得 ．又因为点 在椭圆上，则 ．
由 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）设点 ， ， ，
由题意可知切线 ， 的斜率存在，
则切线 的方程为 ，即 ，
切线 的方程为 ，即 ，
即有 ，
则两切线 、 相交于点 ，
即有 ，
即点 、 满足方程 ，
即直线MN的方程为 ，经过定点 ．
13．已知抛物线 的焦点与椭圆 的上顶点重合，点 是直线 上任意
一点，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ．
(1)求抛物线 的方程．
(2)证明直线 过定点，并且求出定点坐标．
【解析】（1）由题意椭圆 的上顶点为 ，
，∴ ，∴ ．
（2）法一（同构法）．
设点M(x ,y )，N(x ,y )， ．
1 1 2 2
由 ，∴直线 的斜率为 ，∴
即同理可得
∵点 ，代入 得
∵点 ，代入 得
∴点 、 都满足关系
∴ ①
又点 ，∴ ，代入①得
故直线 恒过定点(1,4)．
法二（配极原则）．
设定点为 ，由题目可知点 所在直线是点 对应的极线，∴由配极原则可得
即
对比 的系数可得
∴直线 恒过定点(1,4)．
14．已知抛物线C： ，直线l： 交 于 ， 两点，当 ， 时，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)分别过点 ， 作抛物线 的切线，两条切线交于点 ，且 ， 分别交 轴于 ， 两点，证明：
的外接圆过定点．
【解析】（1）当 ， 时，直线 ，联立 得 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 ；
（2）
设A(x ,y )，B(x ,y )，因为 ，所以 ， ， ，
1 1 2 2
联立 并整理得 ，由韦达定理得 ， ，
由 得 ，从而 ，
所以直线 即 ，令 得 ，所以
同理直线 ，令 得 ，所以
联立 、 ： 得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 的外接圆圆心 落在直线 上，
由 ， 知线段 中点 ， ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，联立 得 ，
所以外接圆圆心 坐标为 ，
所以 ，
所以圆的方程为 ，
即 ，
令 得 ，所以 的外接圆过定点 .
15．已知椭圆 的左顶点和右焦点分别为 ，右准线为直线 ，圆
．
(1)若点A在圆 上，且椭圆 的离心率为 ，求椭圆 的方程；
(2)若直线 上存在点 ，使 为等腰三角形，求椭圆 的离心率的取值范围；
(3)若点 在（1）中的椭圆 上，且过点 可作圆 的两条切线，切点分别为 ，求弦长 的取值
范围．
【解析】（1）对 ，令 ，则 ．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
椭圆 的方程为： ．
（2）由图知 为等腰三角形， ，
∴ ， ，(1 )
又 ，∴ ，即椭圆离心率取值范围为 ,1 ．
2
（3）解法一：连接 交 于 ，连接 ，
则由圆的几何性质知： 为 的中点，
， ．
∴ ，
，
∴ ，设P(x ,y )，则 且 ，
0 0
∴ ，
∴ ，∴ ；
解法二：圆 外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，
则 四点共圆，且 为直径，
故此圆的方程为 ，
即 ，
与 相减得，
切点弦方程为 ，即 ，
点 为椭圆上一点，设 ，则点 对应的极线（即切点弦 ）方程为 ，
由于圆 的圆心为(0,3)，半径为 ，
弦心距 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
即 ，
故 ，
所以 ．
16．已知⊙C： （C为圆心）内部一点 与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ
于M，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若点M的轨迹为曲线X，设 为圆 上任意一点，过 作曲线X的两条切线，切点分别为 ，
判断 是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）
因为 ，点 与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于M，
连接 ，则 ，
其中 ， ，
所以 ，
所以点M的轨迹是以 为焦点，长轴为4的椭圆，
所以 ，即 ， ，所以轨迹方程为 .
（2）
如图所示，当 平行于 轴时， 恰好平行于 轴， ， ，
；
当 不平行于 轴时，设 ，设过点 的直线为 ，
联立 ，得 ，
令 得 ，
化简得 ，设 ，则 ，
又 ，故 ，即 .
综上所述， .
17．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知抛物线 上任意一点 满足 的最小值为 （
为焦点）.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线经过 点且与物线交于 两点，求证： ；
(3)过 作一条倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，过 分别作抛物线的切线.两条切线交于 点，
过 任意作一条直线交抛物线于 ，交直线 于点 ，则 满足什么关系？并证明.
【解析】（1）设 ，则 ，
因为 ，所以 的最小值为 ，即 ，得 ，
所以抛物线的方程为 .（2）由（1）得F(0,1)，设 ， ， ，
则 ，同理 ，
，
所以
，
又 ，即 ，
联立 ，得 ，由韦达定理得 ，
综上所述： .
（3）满足的关系为： .
由题意，直线 ，
联立 ，得 ，
由 ，得 ，所以抛物线 在A处的切线斜率为 ，所以抛物线 在A处的切线为 ，
同理，在 处的切线为 ，
联立 可得 ，
设 ，
则
（*），
联立 ，得 ，则 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 .
18．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原
点，在椭圆 上仅存在 个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求
的取值范围.
【解析】（1）当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 时，由题意可知，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，其中 ，则 ，可得 ，
且 ， ，
则 ，可得 ，
由题意可知， ，则 ，
当点 为椭圆短轴的顶点时， 到 轴的距离最大，此时， 的面积取最大值，
即 ，则 ，故 ，
因此，椭圆的方程为 .
（2）设点A(x ,y )、B(x ,y )，先证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，
1 1 2 2
联立 可得 ，即 ，解得 ，
所以，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，所以， ，则 ，即点 ，
因为点 在 轴左侧，则 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，则 ，
设 ，其中 ，则 ， ，
所以，
，
因为 ，则 ，则 ，
所以， ，
因此， 的取值范围是 .
19．已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线 对称，与x轴相切，被直线 截得的弦长为
．若点P在直线 上运动，过点P作圆C的两条切线 ，切点分别为A，B点．
(1)求四边形 面积的最小值：
(2)求直线 过定点的坐标．
【解析】（1）由题设，令圆心 且 ，与x轴相切，故半径 ，
由圆被直线 截得的弦长为 ，而 到直线 的距离为 ，
所以 （负值舍），
综上，圆 ，如下图示， 且 ，要使四边形 面积最小，只需 最小，即 最小，而 ，
所以，只需 最小，仅当 直线 时， 最小为 ，
所以 ，则 .
（2）设 ， ，
由 ，则 ，
所以 ①，而 ②，
将②减去①得： ，同理 ，
所以切点弦 所在直线方程可表示为 ，
上述方程化为 ，则 ，
所以直线 恒交于点 ，直线 过定点的坐标为 .
