文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B C B A C A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
ACD ACD AC ACD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
244π
13． 14． ( 3 也给分) 15． 16. 或
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【详解】（1）∵ ，∴ ，又 是公差为1的等差数列，
∴ ，∴ ，---------------------------1分
∴当 时， ，
∴ ，-----------------------3分
当 时， 满足上式，
∴ 的通项公式为 --------------------------------------5分（2）证明：由（1）知： ，---------------7分
∴ .--------------------------------10分
18．（12分）【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由 ，结合正弦定理得 ，-----------------1分
即 ，--------------------------------------------------------------------------------------2分
所以 ，-------------------------------------------------------------------------------------------------4分
所以 或 （舍去），所以 .------------------------------------------------------------6分
（2）在锐角 中， ， ， ，
即 ，所以 .-------------------------------------------------------------------------------8分
.-----------------------------------------------9分
令 ， ， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 .-----------------------------------------------------------------------------------------------------12分
19．（12分）【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接 与 相交于点 ，连接 ，三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
则 为 的中点，又 为 的中点，有 ，--------------------------------3分
平面 ， 平面 ，所以 平面 ．--------------------5分
（2）平面 平面 ，平面 平面
底面 为正三角形， 为 的中点，则 ，-----------------------------6分
平面 ，则 平面 ，
平面 ， ， ，-----------------------------------7分
则二面角 的平面角为 ，有余弦值为 ，
中，由余弦定理 ，
即 ，解得 ，--------------------------------------8分
过 作直线 的垂线，垂足为 ，
则 ，故 在 的延长线上，
，
， ， ，四边形 为矩形，则 ，以D为原点， 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
令 ，则 ，即 .----------------------------------------------9分
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
令 ，则 ，即 .-------------------------------------10分
平面 与平面 夹角的余弦值为 .--------------12分
20．（12分）【答案】(1) (2)
【详解】（1）当 时， ，则 ，
，所以 ．---------------------------------------------2分
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．--------------4分
（2）由 有两个零点，
得方程 在 上有两个不同的实数解．
当 时，显然方程没有正实数解，所以 ．
则方程 在 上有两个不同的实数解．-------------------6分
令 ，则 ．
显然 在 上为减函数，又 ，
所以当 时， ；当 时， ．所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ．
当 时， ；当 时， ，-------------------8分
要使方程 在 上有两个不同的实数解，
则 与 的图象在 上有两个不同的交点，
结合图象可知 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．---------------------------------------------12分
21．（12分）【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）分布列见解析，
【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 ，设抽取的两名学生中恰有
一名学生获一等奖为事件 ，
则事件 包含的基本事件的个数为 ，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以
，
故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为 .-----------------------------------------------3分
（2）（ⅰ）因为 ，所以： ，
所以参赛学生中成绩超过 分的学生数约为 人------------------------------6分
（ⅱ）由 ，得 ，即从所有参赛学生中堕机抽取 名学生，该生竞赛成绩在 分以上的
概率为 ，
所以随机变量 服从二项分布 ，------------------------------------------------------------8分所以 ， ， ，
， ，--------------------------------------------10分
所以随机变量 的分布列为：
所以期望为 .--------------------------------------12分
22．（12分）【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意知
解得 所以椭圆C的方程为 ．---------------------------------------------------4分
（2）依题意， ， ，设 ， ．
若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有 ，即 ，不合题意．
所以直线PQ的斜率必不为0，设其方程为 ，
与椭圆C的方程联立
得 ，
所以 ，且 ----------------------------------------------6分
因为 是椭圆上一点，满足 ，所以 ，
则 ，即 ．----------------------------------------------7分
因为
，
所以 ，此时 ，
故直线PQ恒过x轴上一定点 ．-------------------------------9分
因此 ， ，
所以
，------------------------------------------------------------11分
则 ，当 即 时， 取得最大值 ．----------------12分
