文档内容
专题 01 一元二次方程的实际应用五种考法
目录
解题知识必备................................................................................................................1
压轴题型讲练................................................................................................................2
题型一：增长率问题........................................................................................................2
题型二：与图形有关问题.................................................................................................4
题型三：数字问题..........................................................................................................10
题型四：营销问题..........................................................................................................14
题型五：动态几何问题...................................................................................................19
压轴能力测评..............................................................................................................26
1、增长率问题
基本公式： ，
表示增长前的数， 表示增长率， 表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出 、 ．如果是
降低率，则为 ．
2、与图形有关问题
对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用 表示出来．例如要求的
某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．
3、数字问题
对于数的应用题主要是要知道数的表示．
例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x 、y、 z，那么这个三位数则可以表示为
．
4、营销问题
总利润 单件利润 总件数；
总利润 总售价 总成本价．
根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．
5.动态几何问题
解决动态几何问题时，先要分析动点的运动轨迹，根据条件设出未知数后，用含有未知数的式子表
示出图形中变化的线段，再根据题目中的等量关系列出方程.动态几何问题我们在后续的三角形相似
的学习中还会遇到，同学们要抓住解题关键，找准变量以及等量关系，才能够从容应对.题型一：增长率问题
【例1】（2021·湖南张家界·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色
文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据
了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
【变式1】（2022·安徽·模拟预测）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．
假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（ ）
A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年
【变式2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为
162元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费
用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利
1450元，每件应降价多少元?
【变式3】（20-21九年级上·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积
均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种
地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、
B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）
（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？
（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了 ，铺满
B种地砖的公寓套数增加了 ，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了
，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了 ，求a的值．
题型二：与图形有关问题
【例2】（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第38页的
部分内容．
问题1 学校生物小组有一块长 、宽 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向
纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为 ，小道的宽应是多少？
分析 问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图①，不验发现小道的占地面积与位置无关．设小
道宽为 ，则两条小道的面积分别为 和 ，其中重叠部分小正方形的面积为 ，根据题意，
得……
请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程．
【结论应用】如图②，某小区附近有一块长 ，宽 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的人
行步道（一纵一横）和一个边长为人行步道宽度7倍的正方形林闲广场，两条人行步道的总面积与正方形
休闲广场的面积相等，设行步重的宽为 ．
（1）求人行步道的宽．
（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图③所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为 ，长方形
区域甲的面积比长方形区域乙大 ，且区域丙为正方形，直接写出塑胶跑道的总面积．
【变式1】（21-22九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、
宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800
C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800
【变式2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以
为例，构造方法如下：
首先将方程 变形为 ，然后画四个长为 ，宽为x的矩形，按如图①所示的方
式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一
个边长为2的小正方形面积之和，即 ．因此，可得新方程 ．因为
x表示边长，所以 ，即 ．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 ，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 ，即x（______） ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图②来解．已知图②是由四个面积为3
的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ______， ______，求得方程的一
个正根为______．【变式3】（22-23九年级上·福建三明·期中）有一块长为 米，宽为 米的矩形场地，计划在该场地上修筑
互相垂直的宽都为 米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．
(1)如图 ，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．
请写出两条小路的面积之和 ______（用含 、 的代数式表示）；
若 ，且草坪的总面积为 ，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
(2)如图 ，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中 条水平方向的小路， 条竖直方向的小路（ 为
常数），若 ，且草坪的总面积为 平方米，求 的值．
题型三：数字问题
【例3】（20-21九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中
第一行有1个点，第二行有2个点…，第 行有 个点…，前 行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，数轴上从左到右有三点 ， ， ，它们在数轴上对
应的数分别为 ， ， ， ， 均不为整数），且 ， （ 为正整数）．在点 与
点 之间的所有整数依次记为 ；在点 与点 之间的所有整数分别记为 ．
若 ，则 的值为 ．
【变式2】．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，
例如 和 就是这十个数的一种分割，并且规定 和 这样交换顺序
和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称
这样的分割为完美分割，例如 和 为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有
分割中，完美分割共有 种．
【变式3】．（20-21九年级上·四川·阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不
为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条
件的所有k的值．
题型四：营销问题
【例4】（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙
扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销
售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润
是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售
利润为90元？
【变式1】（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午
节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．
(1)求豆沙粽和肉粽的单价；
(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单
位：个）和付款金额（单位：元）；
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额小欢妈
20 30 270
妈
小乐妈
30 20 230
妈
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本
忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m
个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为
包， 包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．
【变式2】（20-21九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）近年来，故宫不断推陈出新，将文化底蕴和流行时尚
元素融合，设计出了众多的爆款文创产品，600岁的故宫成为新晋网红．小赵看到了商机，打算采购一批
故宫文创商品进行销售．他以每条45元的价格购进150 条编织红绳手链，再以每条65元卖出．结果编织
红绳手链很受欢迎，销售一空，于是小赵准备购进第二批编织红绳手链．
（1）若第二次购进的编织红绳手链成本是每条40元，售价不变且全部卖完，要使两次销售的手链总利润
不低于14250元，那么第二次至少得购进多少条编织红绳手链？
（2）在第二次销售中，小赵按照（1）中的最低数量购进编织红绳手链，由于市场受限，编织红绳手链购
进成本比预计的40元多 ，为保证利润，小赵将售价提高 ，在销售过程中，因质量问题，有
的编织红绳手链下架不售卖，结果第二次销售的获利比第一次销售的获利多了8250元，求m的值．
【变式3】（20-21九年级上·重庆北碚·期末）俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得
土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦
而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香
肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉
的进价多10元．（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为
3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了 ，
每袋香肠的售价减少了 元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了 ，香肠的销售量比上半
月香肠的销售量增加了 ，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
题型五：动态几何问题
【例5】（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形 中， ，点P从点A
沿 向点B以 的速度移动，同时点Q从点B沿 边向点C以 的速度移动．当其中一点达
到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为 ，求：
(1)当x为何值时， 为等腰三角形；
(2)当x为何值时， 的面积为 ；
(3)当x为何值时， 为等腰三角形．
【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：如图所示，在 中， ， ，
，点P从点A开始沿 边向点B以 的速度移动，点Q从点B开始沿 ． 边向点C以
的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ？
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心， 为半径的
圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图， 为矩形的四个顶点， ，
，动点 分别从点 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点Q
以 的速度向 移动．(1) 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？
(2) 两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是 ？
(3) 两点从出发开始到几秒时，点 组成的三角形是等腰三角形？
【变式3】（22-23九年级上·广东清远·期中）如图，在 中， ， ， ，点
P从点A出发，以每秒1cm的速度沿 向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿
向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为 秒．
(1)当 时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在 ，使得 是等腰三角形，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在 ，使得 的面积等于 ，若存在，请求出 的值：若不存在，请说明理由．
1．（2024春•海淀区校级期中）如图，某单位准备将院内一块长 ，宽 的长方形花园中修两条纵向
平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为 ，求小道进出口
的宽度．2．（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价
（元 箱）与销售量 （箱 有如表关系：
68 67 66 65 40
每箱售价 （元
40 45 50 55 180
每天销量 （箱
已知 与 之间的函数关系是一次函数．
（1）求 与 的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元 箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是
多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从 7月17号开始水蜜桃销售价格在
（2）的条件下，下降了 ，同时水蜜桃的进货成本下降了 ，销售量也因此比原来每天获得1600元
盈利时上涨了 ，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前
的销售总盈利少7120元，求 的值．
3．（2023秋•射阳县期中）“黄桥烧饼全国闻名”，国庆节期间，黄桥某烧饼店平均每天可卖出300个烧
饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，平均每天可多卖出100个，为了
使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降 元
（1）零售单价下降 元后，每个烧饼的利润为 元，该店平均每天可卖出 个烧饼（用含 的代
数式表示，需化简）；
（2）在不考虑其他因素的条件下，当 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是 420元并且卖出的烧饼更多？
4．（2023秋•南关区校级期末）果农田丰计划将种植的草莓以每千克 15元的单价对外批发销售，由于部
分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每
千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；
（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．
5．（2023•沛县模拟）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，
王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步
长减少的百分率为 ．
项目 第一次锻炼 第二次锻炼
10000 ①
步数（步
平均步长（米 步） 0.6 ②
6000 7020
距离（米注：步数 平均步长 距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求 ；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好
为24000步，求王老师这500米的平均步长．
6．（2023•东阿县二模）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实
节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了
1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，
请你预测2017年我市能否完成计划目标？
7．（2023春•临淄区校级期中）如图，在矩形 中， ， ，动点 、 分别以
、 的速度从点 、 同时出发，点 从点 向点 移动．
（1）若点 从点 移动到点 停止，点 随点 的停止而停止移动，点 、 分别从点 、 同时出发，
问经过多长时间 、 两点之间的距离是 ？
（2）若点 沿着 移动，点 、 分别从点 、 同时出发，点 从点 移动到点 停止
时，点 随点 的停止而停止移动，试探求经过多长时间 的面积为 ？8．（2023秋•禅城区校级月考）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方
形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米．
（1）花圃的面积为 米 （用含 的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 （元 、 （元 与修建面积 之间的函数关系如图2
所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道
宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
