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第 2 章相交线与平行线（压轴 30 题专练）
一．选择题（共1小题）
1．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE
交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG
交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2 ，
在△AEF中，100°+2 +180°﹣2 ＝180°，故 ﹣ ＝40°，即可求解．
β
【解答】解：设FBE＝∠FEB＝ ，则∠AFE＝2 ，
α β β α
α α
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝ ，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
β
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2 ，
在△AEF中，80°+2 +180﹣2 ＝180°
β
故 ﹣ ＝40°，
α β
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝ ﹣ ＝40°，
β α
故选：B．
β α
【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF
内角和为180°，即100°+2 +180°﹣2 ＝180°，题目难度较大．
二．填空题（共12小题）
α β2．（2021春•高青县期末）如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ∠ A + ∠ C ﹣∠ P
＝ 180 ° ．
【分析】先作PE∥CD，根据两直线平行同旁内角互补可知∠C+∠CPE＝180°，而AB∥CD，
利用平行于同一直线的两条直线平行可得PE∥AB，再根据两直线平行内错角相等可知∠A＝
∠APE，于是有∠A＝∠APC+∠CPE，即可求∠A+∠C﹣∠P＝180°．
【解答】解：如右图所示，作PE∥CD，
∵PE∥CD，
∴∠C+∠CPE＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∴∠A+∠C﹣∠P＝180°，
故答案为：∠A+∠C﹣∠P＝180°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质．平行于同一直线的两条直线平行．
3．（2021春•满洲里市期末）如图，已知AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，
则∠ADC＝ 124 ° ．
【分析】由AD∥BC，∠A＝112°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，
又由BD 平分∠ABC，BD⊥CD，求得∠C的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，∠A＝112°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝68°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝34°，∵BD⊥CD，
∴∠C＝90°﹣∠CBD＝56°，
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝124°．
故答案为：124°．
【点评】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理．注意掌握两直线平行，同旁内角
互补定理的应用是解此题的关键．
4．已知∠AOB＝35°，以O为顶点作射线OC，OD．若∠AOC＝2∠AOB，OD⊥OB，则∠COD
的度数为 15 ° ， 55 ° ， 125 ° ， 165 ° ．
【分析】分情况讨论：（1）OC、OD在直线OB同侧，②OC、OD在直线OB异侧，再根据
角的和差计算即可．
【解答】解：（1）OC、OD在直线OB同侧，
当OC、OD在直线OB上方时，如图，
∵∠AOB＝35°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝70°，
∴∠BOC＝35°+70°＝105°，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝105°﹣90°＝15°．
当OC、OD在直线OB下方时，如图，
∵∠AOB＝35°，
∴∠BOC＝∠AOB＝35°，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝90°﹣35°＝55°．
（2）OC、OD在直线OB同侧，
当OC在直线OB上方、OD在直线OB下方时，如图，∵∠AOB＝35°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝70°，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝360°﹣90°﹣70°﹣35°＝165°．
当OC在直线OB下方、OD在直线OB上方时，如图，
∵∠AOB＝35°，
∴∠BOC＝∠AOB＝35°，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝90°+35°＝125°．
故答案为：15°，55°，125°，165°．
【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，注意（2）要根据射线OD的位置不同，
分类讨论，分别求出∠COD的度数．
5．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，
∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是 垂直或重合 ．
【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求∠COD度数．
【解答】解：①当射线OC在射线OA上方，射线OD在射线OB下方时，如图，
∵∠AOB＝22.5°，∠AOC＝∠AOB＝22.5°，∠BOD＝2∠AOB＝45°，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD
＝22.5°+22.5°+45°＝90°，
∴OC与OD的位置关系是垂直．
②当当射线OC在射线OA上方，射线OD在射线OB上方时，
由题意可知，∠BOC＝∠BOD＝45°，此时射线OC和射线OD重合．
故填垂直或重合．【点评】先利用角的和差关系求得这个角是90°，再由垂线的定义可得，两直线垂直．
6．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 6 5 度．
【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥ED．
AB∥CF ∠1＝180°﹣∠B＝30°，
CF∥ED ∠2＝180°﹣∠D＝35°，
⇒
∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．
⇒
故填65°．
【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
7．（2021春•姑苏区期中）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM
上，记∠ABM＝ （0°＜ ＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR ，如
1
图3，将纸条展开
α
后再折
α
叠，使BM与BR
1
重合，得折痕BR
2
，将纸条展开后继续折叠，使BM
与BR 重合，得折痕BR …依此类推，第n次折叠后，∠AR N＝ 18 0 ﹣ （用含a和n
2 3 n
的代数式表示）
【分析】由折叠的性质折叠n次可得∠R B R ，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案．
n n n+1【解答】解：由折叠的性质折叠n次可得∠R B R ＝ ＝
n n n+1
在四边形内有四边形的内角和为360°知：∠BR N＝360 ＝180
n
∴∠AR N＝∠BR N﹣∠R R B＝180°﹣ ﹣ ＝180﹣ ．
n n n n+1
故答案为：180﹣ ．
【点评】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键．
8．（2020秋•龙岗区期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E ，
1
第二次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
1 1 2
第三次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
2 2 3
…，
第n次操作，分别作∠ABE
n﹣1
和∠DCE
n﹣1
的平分线，交点为E
n
．
若∠E ＝1度，那∠BEC等于 2 n 度．
n
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出
∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交
点为E ，运用（1）中的结论，得出∠CE B＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE+ ∠DCE＝
1 1 1 1
∠BEC；同理可得∠BE C＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE + ∠DCE ＝ ∠CE B＝ ∠BEC；
2 2 2 1 1 1
根据∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，得出∠BE C＝ ∠BEC；…据此得到规律∠E
2 2 3 3 n
＝ ∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E ，
1
∴∠CE B＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE+ ∠DCE＝ ∠BEC．
1 1 1
∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E ，
1 1 2
∴∠BE C＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE + ∠DCE ＝ ∠CE B＝ ∠BEC；
2 2 2 1 1 1
如图②，∵∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
2 2 3
∴∠BE C＝∠ABE +∠DCE ＝ ∠ABE + ∠DCE ＝ ∠CE B＝ ∠BEC；
3 3 3 2 2 2
…
以此类推，∠E ＝ ∠BEC．
n
∴当∠E ＝1度时，∠BEC等于2n度．
n
故答案为：2n．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．
解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成
相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
9．如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 7 8 度，∠3+∠4+∠5＝ 36 0 度．
【分析】过∠3的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：∠3＝
∠1+∠2，∠3+∠4+∠5＝360°
【解答】解：如图所示：过∠3的顶点作c∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥c，∴∠1＝∠6，∠7＝∠2，
又∠3＝∠6+∠7，
∴∠3＝∠1+∠2＝78°；
又∠4+∠6＝∠7+∠5＝180°
∴∠3+∠4+∠5＝360°．
【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证
明：∠3＝∠1+∠2；∠3+∠4+∠5＝360°．
10．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕
点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时
间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边
（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 3 0 或 12 0 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当
DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN
下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式
求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI∥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
11．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操
作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E ，第二次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的
1 1 1
平分线，交点为E ，第三次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E ，…第n
2 2 2 3
（n≥2）次操作，分别作∠ABE
n﹣1
和∠CDE
n﹣1
的平分线，交点为E
n
，若∠E
n
＝ 度，则
∠BED＝ 2 n 度． α
α
【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出
∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，进而得到∠BED＝∠ABE+∠CDE；先根据∠ABE和∠CDE的平
分线交点为E ，运用（1）中的结论，得出∠DE B＝∠ABE +∠CDE ＝ ∠ABE+ ∠CDE＝
1 1 1 1
∠BED；同理可得∠BE D＝∠ABE +∠CDE ＝ ∠ABE + ∠CDE ＝ ∠DE B＝ ∠BED；
2 2 2 1 1 1
根据∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E ，得出∠BE D＝ ∠BED；…据此得到规律∠E
2 2 3 3 n
＝ ∠BED，最后求得∠BED的度数．
【解答】解：如图，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，∵∠BED＝∠1+∠2，
∴∠BED＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABE和∠CDE的平分线交点为E
1
∴∠DE B＝∠ABE +∠CDE ＝ ∠ABE+ ∠CDE＝ ∠BED．
1 1 1
∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E ，
1 1 2
∴∠BE D＝∠ABE +∠CDE ＝ ∠ABE + ∠CDE ＝ ∠DE B＝ ∠BED；
2 2 2 1 1 1
∵∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E ，
2 2 3
∴∠BE D＝∠ABE +∠CDE ＝ ∠ABE + ∠CDE ＝ ∠DE B＝ ∠BED；
3 3 3 2 2 2
…
以此类推，∠E ＝ ∠BED．
n
∴当∠E ＝ 度时，∠BED等于（2n ）度．
n
故答案为： α2n ．
α
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质．解决问题的关键是作平行线构造
α
内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角
的平分线．
12．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE
的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝ 82 ° ．
【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝ ＝∠BFH，∠DCG＝
∠ECG＝ ＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数．
α
【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
β
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝ ＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝ ＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣ ，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝ ﹣ ，
α β
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣ ﹣（180°﹣ ）＝180°﹣（ ﹣ ）＝180°﹣∠BFC，
β α β
即∠E+2∠BFC＝180°，①
α β α β
又∵∠E﹣∠BFC＝33°，∴∠BFC＝∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，
解得∠E＝82°，
故答案为：82°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线
平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补．
13．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线l ∥l ，且l 和l 、l 分别交于A、B两点，点P
⇔ ⇔ 1 2 3 1 ⇔2
在AB上．
（1）∠1、∠2、∠3之间的关系为 ∠ 3 ＝∠ 1+ ∠ 2 ；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为 ∠ 3 ＝∠ 1+ ∠ 2 ；
（3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为
∠ 1 ﹣∠ 2 ＝∠ 3 或∠ 2 ﹣∠ 1 ＝∠ 3 ．
【分析】（1）作PE∥AC，如图1，由于l ∥l ，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠1＝
1 2
∠EPC，∠2＝∠EPD，所以∠1+∠2＝∠3；
（2）由（1）中的证明过程，可知∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；
（3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【解答】证明：（1）如图1，过点P作PQ∥l ，
1
∵PQ∥l ，
1
∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∵PQ∥l ，l ∥l （已知），
1 1 2
∴PQ∥l （平行于同一条直线的两直线平行），
2
∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠4+∠5，∴∠3＝∠1+∠2（等量代换）；
故答案为：∠3＝∠1+∠2；
（2）∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；
故答案为：∠3＝∠1+∠2；
（3）∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．
故答案为：∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．
三．解答题（共17小题）
14．（2021春•烟台期末）如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至
F．
（1）∠AOD和∠BOC 互补 ；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）
（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？
（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．
【分析】（1）根据周角与∠AOB，∠DOC的差得结论；
（2）根据OE平分∠AOD，再利用角的和差关系，推角相等，从而得OF是∠BOC的平分线；
（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，利用平角列方程求x的度数，进而得∠AOD的度数．
【解答】解：（1）∠AOD和∠BOC 互补．
∵∠AOD+∠BOC
＝360°﹣∠AOB﹣∠DOC
＝360°﹣90°﹣90°
＝180°．
∴∠AOD和∠BOC互补．故答案为：互补．
（2）∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠EOA，
∴∠BOF＝180°﹣90°﹣∠EOA＝90°﹣∠EOA，
∠COF＝180°﹣90°﹣∠EOD＝90°﹣∠EOD，
∴∠BOF＝∠COF．
∴OF是∠BOC的平分线．
（3）设∠COG＝2x，∠FOG＝5x，
∴∠FOC＝∠BOF＝3x．
∵∠AOB+∠BOF+∠FOC+∠COG＝180°，
∴90°+3x+3x+2x＝180°，
解得，x＝（ ）°．
∴∠AOD＝180﹣6×（ ）°＝112.5°．
【点评】本题考查判断角的数量关系，求角的度数，掌握角平分线的定义，角的和差计算，
已知条件出现角的度数之比，设出未知数是解题的关键．
15．（2021春•常州期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB
＝ 3 5 °；
（2）如图2，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，且 + ＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，
α β α β
则∠AFB＝ ；（用 、 表示）
（3）如图3，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时， 、
α β
应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
α β α β
【挑战】
如果将（2）中的条件 + ＞180°改为 + ＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又
可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
α β α β
【分析】利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通过角平分线的定义以及四
边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有 与 的关系式，进而求出∠AFB．
【解答】解：（1）如图1．
α β
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝ ∠CBE，∠FAB＝ ∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝ ．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝ ，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝ ＝ ．
（3）若AG∥BH，则 + ＝180°．
证明：如图3．
α β
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝ + ＝180°．
挑战：如图4．
α β
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝ ， ．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣ ﹣ ．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣ ﹣ ．
α β
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣ ﹣ ．
α β
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
α β
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝
＝
＝90°﹣ ．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线
的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
16．（2021春•红谷滩区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行
线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，
当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠ EPF ＝∠ AEP + ∠ PFC ，
如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为
∠ AEP + ∠ EPF + ∠ PFC ＝ 360 ° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150 ° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q ，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交于点Q ，
1 1 1 2
∠BEQ ，与∠DFQ 的角平分线交于点Q ；此次类推，则∠EPF与∠EQ F满足怎样的数量
2 2 3 2018
关系？（直接写出结果）【分析】（1）过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）设：∠BEQ＝∠QEP＝ ，∠QFD＝∠PFQ＝ ，则∠P＝180°﹣2 +180°﹣2 ，∠Q＝
α β α β
+ ，∠Q ＝ （ + ），∠Q ＝ （ + ），即可求解．
1 2
【解答】解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，
α β α β α β
则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；
同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，
而∠PFC+2 ＝180°，∠PEA+2 ＝180°，
故 + ＝150°＝∠EQF，
β α
故答案为150°；
α β
②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝ ，∠QFD＝∠PFQ＝ ，
则∠P＝180°﹣2 +180°﹣2 ＝360°﹣2（ + ），
α β
∠Q＝ + ，
α β α β
即：∠EPF+2∠EQF＝360°；
α β
③同理可得：∠Q ＝ （ + ），∠Q ＝ （ + ），
1 2
α β α β
∠Q ＝（ ）2018（ + ），
2018
故：∠EPF+22019•∠EαQ
20β18
F＝360°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各
个角的度数，是解此题的关键．17．（2021秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，
∠COF＝37°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转
动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．
（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发
20 或 32 分钟．
【分析】（1）根据题意可求得∠EOF＝53°，再由角平分线的定义可得∠AOE＝106°，从而可
求∠EOB的度数；
（2）先求解∠FOD＝143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，根据题意列方程，
解方程可求解即可；
（3）设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，分两种情况列方程，计算可求解．
【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°，
∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°．
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOE＝53°×2＝106°．
∴∠EOB＝180°﹣106°＝74°．
（2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°，
∴∠EOD＝90°．
∴∠FOD＝90°+53°＝143°．
设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，依题意得：6x﹣0.5x＝143，
解得：x＝26．
答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．
（3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°，
设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，
当射线OF与射线OD第一次重合前，由题意得6t+33＝143+0.5t，
解得t＝20；
当射线OF与射线OD第一次重合后，由题意得6t＝143+33+0.5t，
解得t＝32，
综上，两条射线同时出发20或32分钟后，∠FOD＝33°．
故答案为：20或32．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，对顶角与补角，理解题意正确列方程是解题的关键．
18．（2021秋•宝安区期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个
直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角
边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转 （0°＜ ＜180°）．
（1）如图2，若 ＝26°，则∠BOP＝ 64 ° ，∠AOM+∠BOQ＝ 180 ° ；
α α
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC＝ °
α
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含的代数式表示）
β
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时 的值．
β
【分析】（1）由垂线的定义可得∠POM＝∠QOM＝90°，利用角的和差可求解；
（2）①根据余角的定义可求∠COM的度数，结合角平分线的定义可求得∠BOM＝180°﹣2 ，
再利用平角的定义可求解；
β
②可分两种情况：当OA位于∠QOM内部时，当OA位于∠POM内部时，结合角平分线的定
义，利用角的和差倍分变换可求解角的度数．
【解答】解：（1）如图2，∵MN⊥PQ，
∴∠POM＝∠QOM＝90°，
∵∠BOM＝∠AOQ＝26°，
∴∠BOP＝90°﹣26°＝64°；
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BOQ＝∠AOM+∠AOQ+∠AOB＝∠QOM+∠AOB＝90°+90°＝180°，
故答案为：64°；180°；
（2）①∵∠POM＝90°，∠POC＝ °，
∴∠COM＝90°﹣ ，
β
∵射线OC是∠BOM的角平分线，
β
∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2 ，
∴∠BON＝180°﹣（180°﹣2 ）＝2 ；
β
②当OA位于∠QOM内部时，如图3，
β β
∵OC平分∠BOM，
∴∠BOC＝∠COM，∵∠AOC＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠COM，
∴∠AOM＝∠COM＝∠BOC＝ ∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COM＝30°，
∴ ＝90°﹣30°＝60°；
当OA位于∠POM内部时，如图，
β
∵∠POM＝90°，∠POC＝ °，
∴∠COM＝90°﹣ ，
β
∵OC平分∠BOM，
β
∴∠BOM＝2∠COM＝180°﹣2 ，∠BOC＝∠COM＝90°﹣ ，
∴∠AOM＝180°﹣2 ﹣90°＝90°﹣2 ，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣（90°﹣ ）＝ ，
β β
∵∠AOC＝2∠AOM，
β β β β
∴ ＝2（90°﹣2 ），
解得 ＝36°，
β β
综上所述，若∠AOC＝2∠AOM， 的值为60°或36°．
β
【点评】本题主要考查角的平分线，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的关键．
β
19．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求
证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上
取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求 的值．【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明．
（2）根据三角形外角的性质可证明结论；
（3）有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
根据平行线的性质得：∠BCH＝∠AGB＝90°﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM的度
数，可得结论；
②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，
∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，
∵∠BAG﹣∠F＝45°，
∴∠BCF＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴CF平分∠BCD；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝ ＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，
∠GBM＝2x﹣x＝x，
∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，
∠GBM＝2x+x＝3x，
∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝ ．
综上， 的值是5或 ．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的
和与差，注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题．
20．（2021秋•丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在
直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝ 、∠PQC＝ ，求∠NPQ的度数（用含 ， 的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图
α β α β
②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝ ∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．【分析】（1）过点P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，即可求得∠MPQ＝ + ，再根据角平
分线的定义可得结论；
α β
（2）根据已知条件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，进而可得EF与PQ的位置关系；
（3）结合（2）和已知条件根据三角形内角和定理可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣
∠QNE＝ ∠PMA，可得∠NQE+2∠QNE＝180°，结合三角形的内角和定理可得∠QNE＝
∠NEQ，再根据平行线的性质可得∠PNE＝∠QNE，进而可得结论．
【解答】解：（1）过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠MPR＝∠PMA＝ ，∠RPQ＝∠PQC＝ ，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝ + ，
α β
∵PQ平分∠MPN，
α β
∴∠NPQ＝∠MPQ＝ + ；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
α β
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝ + ，
∵QE∥PN，
α β
∴∠EQP＝∠NPQ＝ + ，
∴∠EPQ＝∠EQP＝ + ，
α β
∵EF平分∠PEQ，
α β
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；
（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），
∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE
＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE
＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，
∵∠NEF＝ ∠AMP，
∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE＝ ∠AMP，
即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，
∴∠NQE+2∠QNE＝180°，
∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，
∴∠QNE＝∠NEQ，
∵QE∥PN，
∴∠PNE＝∠QEN，
∴∠PNE＝∠QNE，
∴NE平分∠PNQ．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
21．（2021秋•鲤城区校级期末）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形
直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝ 12 0 °，∠2＝ 9 0 °；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝ （ 90+ n ） °（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的 倍，求n的值．
（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直
线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的
那两条垂线；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到
∠2；
②根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再利用
∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的 倍，分两种情况列方程，计算可求解；
（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．
【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠2＝90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，∵DG∥EF，
∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG
＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）
＝（90+n）°；
故答案为：（90+n）；
②∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n°＝120°﹣n°，
∵DG∥EF
∴∠1＝∠ABE＝120°﹣n°，
当∠1＝ ∠2时，120﹣n＝ （90+n），
解得n＝ ；
当 ∠1＝∠2时， （120﹣n）＝90+n，
解得n＝ ；综上所述，n值为 或 ；
（3）当n＝60°时，AB⊥DE （GF）；
当n＝90°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝150°时，AB⊥DG （EF）；
当n＝180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）；
当n＝240°时，AB⊥DE（GF）；
当n＝270°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝330°时，AB⊥DG（EF）．
【点评】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，
读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
22．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的
关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【分析】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，
再利用平角的定义可求解；
（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；
（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝ ∠BOC＝70°，
∵∠DOE+∠COE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；
（2）∠EOF＝ x或∠EOF＝180°﹣ x．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝ ∠BOC＝（90﹣ x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90﹣ x）°＝ x°，
即∠EOF＝ x；
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，
∴∠BOC＝（180﹣x）°，
∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝ ∠BOC＝（90﹣ x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90﹣ x）°＝（180﹣ x）°，
即∠EOF＝180°﹣ x．
综上所述：∠EOF＝ x或∠EOF＝180°﹣ x；
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝ BOC＝45°，
即∠EOF＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EOF+∠DOE＝180°，
即∠EOF和∠DOE互补．
【点评】本题主要考查垂线，角平分线的定义，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的
关键．
23．（2020春•玄武区期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应
相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝ ．
（1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
α
（2）如图②，若90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ ．探索 与
α
的数量关系，并说明理由．
α β α β
（3）如图③，若 ＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线
EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n
α γ γ
（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出 的
度数．（可用含有m的代数式表示）
γ【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+ ＝180°， ＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、
反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH；
α α
（2）在△BEG中，∠2+∠3+ ＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣ ，根据入射光线、反射光线与
镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，
α α
∠MEG+∠MGE+ ＝180°，可得 与 的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相
β α β
等，及△GCH内角和，可得 ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则
＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝
γ α
﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得， ＝150°．
γ
【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：
γ
在△BEG中，∠2+∠3+ ＝180°， ＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
α α
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，
∠3+∠4+∠EGH＝180°，
∴∠FEG+∠EGH＝180°，
∴EF∥GH；
（2） ＝2 ﹣180°，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+ ＝180°，
β α
∴∠2+∠3＝180°﹣ ，
α
∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，
α
∴∠2＝∠MEB，
∴∠MEG＝2∠2，
同理可得，∠MGE＝2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+ ＝180°，
∴ ＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）
β
＝180°﹣（2∠2+2∠3）
β
＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣ ）
＝2 ﹣180°；
α
（3）90°+m或150°．
α
理由如下：①当n＝3时，如下图所示：
∵∠BEG＝∠1＝m，
∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m），
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
则∠GHK＝120°，
则∠GHC＝30°，
由△GCH内角和，得 ＝90°+m．
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则 ＝90°，
γ
与题意不符；
α
则只能在CD边反射后与EF平行，
如下图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G＝ ﹣60°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
γ
∠G＝ ﹣60°＝90°，
则 ＝150°．
γ
γ综上所述： 的度数为：90°+m或150°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意
γ
分类讨论思想的利用．
24．（2021秋•南京期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOB＝80°，则∠BOC＝ 10 0 °，∠AOD＝ 13 0 °；
（2）如图②，若∠AOB＝140°，求∠AOD的度数；
（3）若∠AOB＝n°，直接写出∠AOD的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范
围．
【分析】（1）根据补角的定义可求解∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOD
的度数，进而可求解∠AOD的度数；
（2）可分两种情况：当∠BOC在∠AOB的外部时，当∠BOC在∠AOB的内部时，利用补角
的定义结合角平分线的定义可求解；
（3）可分两种情况：当∠BOC和∠AOB互为邻补角时，即OC和OA在OB的不同侧时；当
OC和OA在OB的同一侧时．而对于当OC和OA在OB的同一侧时可分为：当n＝60°时；当
0＜n≤60时；当60＜n＜180时分别计算可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB与∠BOC互为补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ ∠BOC＝50°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+50°＝130°，
故答案为：100，130；
（2）当∠BOC在∠AOB的外部时，
∵∠AOB与∠BOC互为补角，∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ ∠BOC＝ ×40°＝20°．
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝140°+20°＝160°．
当∠BOC在∠AOB的内部时，
∵∠AOB与∠BOC互为补角，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝180°﹣140°＝40°．
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ ∠BOC＝ ×40°＝20°．
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝140°﹣20°＝120°．
答：∠AOD的度数为160°或120°．
（3）当∠BOC和∠AOB互为邻补角时，即OC和OA在OB的不同侧时，
∵∠AOB＝n°，
∴∠BOC＝180°﹣n°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ ∠BOC＝ （180°﹣n°）＝90°﹣ n°，
∴∠AOD＝∠DOB+∠AOB＝90°﹣ n°+n°＝90°+ n°，
即∠AOD＝90°+ n°，此时0°＜n＜180°；
当OC和OA在OB的同一侧时，
当n＝60°，如图，此时∠AOB＝60°，∠BOC＝120°，∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝60°，OA和OD重合，
∴∠AOD＝0°，
当60°＜n＜180°时，如图，∠AOB＝n°，∠BOC＝180°﹣n°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝ ∠BOC＝ （180°﹣n°）＝90°﹣ n°；
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝n°﹣2（90°﹣ n°）＝2n°﹣180°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°﹣ n°+2n°﹣180°＝ n°﹣90°，
即∠AOD＝ n°﹣90°，此时60°＜n＜180°，
当0°＜n＜60°时，如图，∠AOB＝n°，∠BOC＝180°﹣n°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ ∠BOC＝ （180°﹣n°）＝90°﹣ n°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝90°﹣ n°﹣n°＝90°﹣ n°，
即∠AOD＝90°﹣ n°，此时0＜n＜60，
综上，当OC和OA在OB的不同侧时，∠AOD＝90°+ n°，0°＜n＜180°，
当OC和OA在OB的同一侧时，当n＝60°时，∠AOD＝0°，
当0＜n＜60时，∠AOD的度数为（90﹣ n）°；当60＜n＜180时，∠AOD的度数为（ n﹣90）°．
【点评】本题主要考查角的计算，分类讨论是解题的关键．
25．（2021秋•东洲区期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分
∠AOC和∠BOC．
（1）与∠AOE互补的角是 ∠ BOE 、∠ COE ．
（2）若∠AOC＝72°，求∠DOE的度数；
（3）当∠AOC＝x时，请直接写出∠DOE的度数．
【分析】（1）先求出∠BOE＝∠COE，再由∠AOE+∠BOE＝180°，即可得出结论；
（2）先求出∠COD、∠COE，即可得出∠DOE＝90°；
（3）先求出∠AOC、COD，再求出∠BOC、∠COE，即可得出∠DOE＝90°．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE；
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE+∠COE＝180°，
∴与∠AOE互补的角是∠BOE、∠COE；
故答案为∠BOE、∠COE；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，∠AOC＝72°，
∴∠COD＝∠AOD＝36°，∠COE＝∠BOE＝ ∠BOC，
∴∠BOC＝180°﹣72°＝108°，
∴∠COE＝ ∠BOC＝54°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°；
（3）当∠AOD＝x°时，∠DOE＝90°．
【点评】本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是
解决问题的关键．
26．（2021秋•淅川县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧
以O为顶点作∠DOE＝90°．
（1）若∠AOE＝48°，那么∠BOD＝ 42 ° ；∠AOE与∠DOB的关系是 互余 ．
（2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．【分析】解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线
的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．
【解答】解：（1）42°，互余．
（2）∠AOE与∠COD互补．
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝90度，
∵∠AOB＝180°，∠DOE＝90°，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
∴∠AOE+∠COD＝∠AOE+∠BOD+∠BOC＝90°+90°＝180°．
∴∠AOE与∠COD互补．
【点评】此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图
形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．
27．（2021春•大连期末）如图，点D是∠BAC外一点，过点D作DE∥AB交AC于点F，以DE
为边作∠EDG．
（1）若DG∥AC，则∠BAC与∠EDG的数量关系是 相等或互补 ；
（2）若DG与直线AC交于点P（点P不与点A、F重合），用等式表示∠BAC，∠EDG，
∠APD三者之间的数量关系，画出相应的图形，并给出其中一种情况的证明．
【分析】（1）根据平行线的性质分两种情况可得∠BAC与∠EDG的数量关系是相等或互补；
（2）根据题意分三种情况画图：然后过点P作PH∥DE，可得PH∥DE∥AB，进而可得
∠BAC，∠EDG，∠APD之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图，∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠EFC，
∵DG∥AC，
∴∠EFC＝∠EDG，
∴∠BAC＝∠EDG，
∵∠EDG′+∠EDG＝180°，
∴∠EDG′+∠BAC＝180°，
∴∠BAC与∠EDG的数量关系是：相等或互补；
故答案为：相等或互补；
（2）根据题意分两种情况：
①如图，过点P作PH∥DE，
∵DE∥AB，
∴PH∥DE∥AB，
∴∠BAC＝∠APH，∠EDG＝∠DPH，
∴∠APD＝∠APH+∠DPH＝∠BAC+∠EDG；
②如图，过点P作PH∥DE，
∵DE∥AB，
∴PH∥DE∥AB，
∴∠BAC＝∠APH，∠EDG＝∠DPH，
∴∠APD＝∠APH﹣∠DPH＝∠BAC﹣∠EDG．③点P也可以在CA延长线上时，
得到：∠BAC+∠APD+∠EDG＝180°
所以∠APD＝∠BAC+∠EDG或∠APD＝∠BAC﹣∠EDG或∠BAC+∠APD+∠EDG＝180°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
28．（2021春•桂林期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b
上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．
（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作
EG∥AB）；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当
∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于
点F，设∠ABC＝ ，∠ADC＝ ，用含有 ， 的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果
即可）
α β α β
【分析】（1）过点E作EG∥AB，根据a∥b，可得EG∥CD，得∠ABE+∠CDE＝∠BED＝
90°；
（2）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，即可求∠BFD的度数；
（3）过点F作FH∥AB，结合（1）的方法，根据BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，设∠ABC
＝ ，∠ADC＝ ，即可用含有 ， 的代数式表示∠BFD的补角．
【解答】解：（1）过点E作EG∥AB，
α β α β
∵a∥b，
∴EG∥CD，
∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，
∵AD⊥BC，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；
（2）如图，过点F作FH∥AB，
∵a∥b，
∴FH∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，
∴∠ABF＝ ABC＝32°，∠CDF＝ ADC＝36°，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；
（3）如图，过点F作FH∥AB，
∵a∥b，
∴FQ∥CD，
∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，
∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝ ，∠ADC＝ ，
α β
∴∠ABF＝ ABC＝ ，∠CDF＝ ADC＝ ，
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣ + ，
∴∠BFD的补角＝ ﹣ ．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
29．（2021春•黄冈期末）已知：AB∥CD．
（1）如图①，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明∠AEC＝∠A+∠C．
（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC
的度数为 70 ° ．（请直接写出答案）
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠AEF，证出CD∥EF，由平行
线的性质得出∠CEF＝∠C，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF
＝180°，即可得出结论；
（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠CEF＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换），（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线运用平行线的判定和性质是解题
的关键．
30．（2021春•红谷滩区校级期末）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度
数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，
HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．
【分析】（1）过点E作ER∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得ER∥CD，再
根据平行线的性质和已知∠DCF＝25°，∠E＝20°，即可求∠ABE的度数；
（2）根据平行线的性质和∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，即可
求∠ABE的度数；
（3）根据（2）的条件，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，
HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，即可求∠PHQ的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点E作ER∥AB，
∵AB∥CD，
∴ER∥CD，
∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，
∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，
∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，
∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，
∴∠ABE＝∠BER＝30°
答：∠ABE的度数为30°．
（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，
∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，
设∠ABF＝ ，则∠EBF＝2 ，
∴∠ABE＝3 ，∴∠BET＝∠ABE＝3 ，
α α
设∠CEB＝ ，
α α
则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3 + ，
β
∵CF平分∠ECD，
α β
∴∠DCF＝∠FCE＝ ，
∴∠CFL＝ ，∠BFL＝∠ABF＝ ，
α
∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝ ，
∴2× +180﹣ ＝190，
∴ ＝10，
β
∴∠ABE＝30°．
α答：∠ABE的度数为30°．
（3）如图3，过点P作PJ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PJ∥CD，
∵PK平分∠BPH，
∴∠KPH＝∠KPB＝x，
∵HN∥PK，
∴∠NHP＝x，
设∠MHN＝y，
∴∠MHP＝x+y，
∵HM平分∠DHP，
∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，
∵∠DHQ＝2∠DHN，
∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，
∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，
∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，
∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，
∴∠PHQ＝30°
答：∠PHQ的度数为30°．
【点评】本题考查了平行线的性质、余角和补角，解决本题的关键是作已知直线的平行线
