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第 6 课时二元一次方程与一次函数
基础篇
一、单选题
1．如图，已知 和 的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】
根据二元一次方程组的解与两个一次函数图象的交点坐标关系即可得出结论．
【详解】
解：由图象可知： 和 的图象交点P的坐标为（-4，-2）
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是故选A．
【点睛】
此题考查的是根据两个一次函数图象的交点坐标，求对应二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解
与两个一次函数图象的交点坐标关系是解题关键．
2．下列说法正确的有（ ）个．
（1）到y轴的距离是2的点的纵坐标是2；
（2）点（﹣2，3）与点（3，﹣2）关于原点对称；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组 的解 ；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
依据点的坐标的概念，关于原点对称的点的特征，一次函数与二元一次方程组的关系以及不同象限内点的
坐标特征，即可得到正确结论．
【详解】
（1）到y轴的距离是2的点的横坐标是 2，该选项错误，不符合题意；
（2）点（﹣2，3）与点（2，﹣3）关于原点对称，该选项错误，不符合题意；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组 的解 ，
正确，符合题意；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数，正确，符合题意．
综上，正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点的坐标特征，解题时注意：
关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标
互为相反数，纵坐标不变．
3．如图,一次函数 ,的图象 与 的图象 相交于点 ,则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．
【详解】
解：∵由图象可知：一次函数y=k x+b 的图象l 与y=k x+b 的图象l 的交点P的坐标是（-2，3），
1 1 1 2 2 2
∴方程组 的解是 ，
故选A.
【点睛】
本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能
力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
4．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数 与 的图象，则二元一次方程组
的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答．
【详解】
解：由题图得一次函数 与 的图象交于点（1,3），
∴二元一次方程组 的解是 ．
故选：B
【点睛】
本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，平面直角坐标系中，两个一次函数的交点坐标就是这两个
一次函数组成的二元一次方程组的解，明确此知识点是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二
元一次方程组¿的解是（ ）
A．¿. B．¿． C．¿． D．¿．
【答案】B
【解析】【分析】
由图可知：两个一次函数的交点坐标为（-3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方
程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】
解：因为函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，
因此方程组¿的解是¿．
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，
而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的
交点坐标．
6．已知一次函数y= x+a与y=﹣ x+b的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点，那
么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
可先根据点A的坐标用待定系数法求出a，b的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与y轴的
交点，即B，C的坐标．那么△ABC中，底边的长应该是B，C纵坐标差的绝对值，高就应该是A点横坐标
的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】
解：把点A（-2，0）代入y= x+a，
得：a=3，
∴点B（0，3）．
把点A（-2，0）代入y=- x+b，
得：b=-1，
∴点C（0，-1）．
∴BC=|3-（-1）|=4，∴S = ×2×4=4．
△ABC
故选：C．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，通过已知点的坐标来得出两函数的解
析式是解题的关键．
7．如图，一次函数y=k x+b 的图象l 与y=k x+b 的图象l 相交于点P，则方程组 的解是（ ）
1 1 1 2 2 2
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案：
∵由图象可知：一次函数y=k x+b 的图象l 与y=k x+b 的图象l 的交点P的坐标是（﹣2，3），
1 1 1 2 2 2
∴方程组 的解是 ．故选A．
8．如图， 经过点 和 经过原点和点 ，以两条直线 的交点坐标为解的方程组是（
）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
用待定系数法求出直线 、 的解析式，联立方程即可．
【详解】
解：设直线 的解析式为 ，
∵ 经过点(0，1.5)、(2，3)，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 经过原点，
∴设直线 的解析式为 ，又∵直线 经过点(2，3)，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴以两条直线的交点坐标为解的方程组是：
，
即 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即是两个一次函数图象的交点，利用待定系数法
求出两个一次函数的解析式是解答本题的关键．
9．如图，直线 和直线 相交于点 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．【详解】
解：∵直线y＝kx＋b和y＝mx＋n相交于点（3，−2），
∴关于x、y的方程组 的解为 ，
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数
的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数
图象的交点坐标．
10．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将点P（ 、4）代入 ，求出 的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解．
【详解】
一次函数 与 的交点为P（ 、4）
解得
点P的坐标为（2、4）
的解为：故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解．
11．如图，直线 、 的交点坐标可以看作方程组（ ）的解
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用待定系数法求出 、 的解析式，然后可得方程组．
【详解】
解：设 的解析式为 ，
图象经过的点 ， ，
，
解得： ，
的解析式为 ，可变形为 ，
设 的解析式为 ，
图象经过的点 ， ，
，
解得： ，
的解析式为 ，
可变形为 ，
直线 、 的交点坐标可以看作方程组 的解．
故选： ．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的
方程组的解．
12．用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则
方程组是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解
析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．
【详解】
解：设经过一、三、四象限的函数解析式为：y=kx+b，其经过点(1，1)和点(0，-1)，
代入解析式中：1=k+b，-1=b，解得：k=2，
所以其解析式为：y=2x-1，
设经过一、二、四象限的函数解析式为：y=mx+n，其经过点(1，1)和点(2，0)，
代入解析式中：1=m+n，0=2m+n，解得：m=-1，n=2，
所以其解析式为：y=-x+2，
因此所解得二元一次方程组为： ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数
的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数
图象的交点坐标．
13．已知直线 与 的图象如图所示，则二元一次方程组 的解为
( )．A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点就是二元一次方程组的解可直
接得到答案．
【详解】
∵ 与 的图象交于 点，
∴ 二元一次方程组 的解为 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就
一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
14．如图直线 与直线 都经过点 ，则方程组 ，的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据方程组 的解即为直线 与直线 的交点坐标进行求解即可．
【详解】
解：∵直线 与直线 都经过点
∴方程组 的解是： ．
故选择：D．
【点睛】
本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确
理解“方程组 的解即为直线 与直线 的交点坐标”是解题的关键．
15．如图，两个一次函数图象的交点坐标为 ，则关于x，y的方程组 的解为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解
可直接得到答案．
【详解】
解：∵直线y =k x+b 与y =k x+b 的交点坐标为（2，4），
1 1 1 2 2 2
∴二元一次方程组 的解为
故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就
一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
16．已知直线 与 交于点 ，则方程组 的解为____________．
【答案】
【分析】
把交点坐标代入两函数解析式求解得到a的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答．
【详解】
解：∵直线y=2x与y=-x+n的交点为（1，m），∴ ，
解得 ，
∴方程组 即为 的解为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就
一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
17．如果方程组 无解，那么直线 不经过第_________象限．
【答案】二
【分析】
根据二元一次方程组无解可得函数 和 无交点（即平行），由此可求得k的值，从
而可得 不经过第二象限．
【详解】
解：∵ 无解，
∴函数 和 无交点（即平行），
∴ ，解得 ，
∴ ，k>0，b<0，经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】
本题考查二元一次方程组与一次函数．理解二元一次方程组无解对应的一次函数平行是解题关键．18．如图，已知函数 和 的图象，则方程组 的解为______．
【答案】
【分析】
一次函数图象的交点坐标就是两函数组成的方程组的解．
【详解】
∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点（﹣2，﹣1），
∴方程组 的解是 ．
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．
19．在平面直角坐标系 中， ，下面有四种说法：
①一次函数 的图象与线段 有公共点；
②当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点；
③当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点；
④当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点．
上述说法中正确的是_____________（填序号）．
【答案】②④【分析】
根据题意求解交点问题，列出方程组解方程组，求得交点坐标对比，逐项判断即可
【详解】
，
线段 为：
①一次函数 与线段 的交点即为：
的解，
解得： （舍去， ）
线段 无交点，
故此说法不正确
②一次函数 ，当
当 或者 都与 有交点时
即 或者
解得 或者
即交点为点 或者点
一次函数 ，当 与线段 有公共点
故说法②正确；
③当 时解得：
即点 ，
，设
则
解得：
（舍去， ）
所以无交点
故当 ，一次函数 的图象与线段 无公共点
故说法③不正确；
④当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点
当 或者 时
或者
解得： 或者
即交点为点 或者点
当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点
故说法④正确
综上所述：说法②④正确
故答案为②④【点睛】
本题考查了一次函数图像的性质，一次函数交点问题，本质是解方程组求交点，理解题意解方程组是解题
的关键．
提升篇
20．如图，已知直线 ， 与y轴分别交于A，B两点，且两直线交于C点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求交点C的坐标；
（3）求 的面积．
【答案】（1）A（0，3），B（0，-1）；（2）C（-1，1）；（3）2
【分析】
（1）分别令x=0，求出y值即可得到A点和B点坐标；
（2）联立两直线表达式，解方程组即可得到点C坐标；
（3）根据三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=2x+3=3，则A（0，3）；
当x=0时，y=-2x-1=-1，则B（0，-1）；
（2）解方程组 ，
解得： ，则C点坐标为（-1，1）；
（3）△ABC的面积= =2．
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所
组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．也考
查了三角形面积公式．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，与正比
例函数 的图象交于点 ．
（1）求 、 、 三点的坐标；
（2）求 的面积；
（3）若动点 在线段 和射线 上运动，当 的面积是 的面积的 时，直接写出此时点
的坐标__________；
（4）若点 在 的内部（不包括边界），则 的取值范围是__________．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3） 或 或 ；（4）
【分析】
（1）在一次函数y=-x+6中，分别令x=0，y=0，即可求出B、C的坐标，再联立一次函数和正比例函数即可
求出交点A的坐标；（2）利用（1）中，找到OC，x 的长即可求出 OAC的面积；
A
△
（3）根据 OMC的面积是 OAC的面积的 时，求出M的横坐标，再分情况讨论即可找到M的坐标；
△ △
（4）分别令正比例函数和一次函数中y=1，即可找到a的范围．
【详解】
解：（1）∵一次函数y=-x+6的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴令x=0，则y=6，故C（0，6），
令y=0，则x=6，故B（6，0），
而A为一次函数y=-x+6和正比例函数 图象的交点，
联立方程得： ，
解得： ，
∴A的坐标为（4，2）；
（2）由（1）可知：OC=6，x =4，
A
∴S ＝ ×OC×x = ×6×4=12；
△OAC A
（3）由题意得：S ＝ S = ×12=3，
△OMC △OAC
而S = OC×|x |= ×6×|x |=3，
△OMC M M
∴|x |=1，
M
∴x =±1，
M
分情况讨论：①当动点M在线段OA上时，x＞0，则当x=1时，y= ，
∴此时M点的坐标为（1， ），
②动点M射线AC上运动时：a．若x＞0，则当x=1时，y=-1+6=5，故此时M点的坐标为（1，5），
b．若x＜0，则当x=-1时，y=1+6=7，故此时M点的坐标为（-1，7），
综上，M点的坐标为（1， ）或（1，5）或（-1，7）；
故答案为：（1， ）或（1，5）或（-1，7）；
（4）∵点P（a，1）在△AOB的内部（不包括边界），
∴当y=1时，代入正比例函数中得：1= x，
解得：x=2，
当y=1时，代入一次函数中得：1=-x+6，
解得：x=5，
∴2＜a＜5．
故答案为：2＜a＜5．
【点睛】
本题考查一次函数综合性质，熟练一次函数综合性质，细心运算，分类讨论是解题的关键．
22．如图，直线AD: 与 轴交于点 ，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两
点，并与直线 交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求四边形 的面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）把 与 联立组成二元一次方程组，解出 的值，即可求出点D的坐标，
（2）分别求出点A，B，C的坐标，可得AB=5，BC=2,再分别求出 和 的面积，利用二者的面
积差可求四边形面积．
【详解】
（1） 直线AD与直线BC交于点D，
可列方程组： ，
解得 ，
∴ ，
（2）∵直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
∴ ， ，
∵直线 中，当 时， ，解得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 的面积 ，
．
【点睛】
本题考查了两直线相交的问题，关键是掌握两直线相交时，就是联立两个函数解析式，组成方程组，解出方程组即可得到交点坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ，
直线 经过点 ，且与 轴的负半轴交于点 ，若 的面积为3．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求直线 的解析式．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）把点 代入解析式即可求解出k值，再根据图象上点的坐标特征求解即可；
（2）根据三角形BCD的面积求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【详解】
解：（1）把点 代入 ，得 ，解得 ，
∴直线 ，令 ，则 ，
∴ ，
∵直线 经过 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．（2）如图，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
点 在 轴的负半轴上，且
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∵直线 过 ， ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得D的
坐标是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，一次函数 的图象（ ）与直线 相交于 轴上一点 ，且一次函数 图象经过点 ，求一次函数 的关系式和 的面
积．
【答案】 与 的函数关系式为： ；
【分析】
直线 相交于y轴上一点A，得到点A的坐标，把A、B点的坐标代入 中，求出一次函
数的解析式；利用三角形的面积公式求出到 的面积即可．
【详解】
∵直线 与y轴的交点是A，
令 ，则 ，
∴点 的坐标为 ，
∵一次函数 的图象经过点 和点 ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为 ；．
【点睛】
本题考查了用待定系数法确定函数的解析式以及三角形的面积公式的运用，熟练掌握待定系数法确定函数
的解析式是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E
和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）．
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子
表示m．
【答案】（Ⅰ）①P（3，3）；②y=x2﹣2x；（Ⅱ）m= 或m= ．
【分析】
（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组 ，求得该方程组的解
即为点P的坐标；②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y＝tx、直线EA
的解析式为：y＝（2＋t）x−2（2＋t）．则tx＝（2＋t）x−2（2＋t），整理后即可得到y关于x的函数关系
式y＝x2−2x；
（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P为（2﹣ ，2t﹣ ）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣ ），则OQ2=1+t2（2﹣ ）2，PQ2=（1﹣ ）2，所以1+t2（2﹣ ）2=（1﹣ ）2，化简得到t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）
=0．通过解该方程可以求得m与t的关系式．
【详解】
解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，
∴E（1，﹣3）．
又∵A（2，0），点E在直线EA上，
∴ ，
解得： ，
∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，
则 ，
解得 ，
∴点P的坐标是（3，3）．
②由已知可设点F的坐标是（1，t），
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．
又点A、E在直线EA上，
∴ ，解得 ，
∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．
则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；
（Ⅱ）如图，过点P作PQ⊥l于点Q，连接OQ，
由（Ⅰ）可得：直线OF的解析式为y=tx．
直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），
化简，得x=2﹣ ．
有y=tx=2t﹣ ，
∴点P的坐标为（2﹣ ，2t﹣ ）．
∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣ ），
∴OQ2=1+t2（2﹣ ）2，PQ2=（1﹣ ）2．∵OQ=PQ，
∴1+t2（2﹣ ）2=（1﹣ ）2，
化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．
又∵t≠0，
∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，
解得：m= 或m= ．
则m= 或m= 即为所求．
【点睛】
本题属于一次函数的综合题．考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难
度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
