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专题 3.2-3.3 解一元一次方程
典例体系
一、知识点
1. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质 1；（2）系数化为1实
际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
2. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
二、考点点拨与训练
考点1：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：（2020·全国初一课时练习）解方程：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）【解析】（1）移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
（2）移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
（3）移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
（4）移项，得 ．
合并同类项，得 ．
系数化为1，得 ．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国初一课时练习）下列通过移项变形错误的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】C
【解析】A选项， ，移项，得 ，故A选项正确；
B选项， ，移项，得 ，故B选项正确；
C选项， ，移项，得 ，故C选项错误；
D选项， ，移项，得 ，故D选项正确．
故选C．
2．（2020·全国初一课时练习）方程 的解是 （ ）A． =2 B． =−2 C． =1 D． =0
【答案】A
【解析】解： 移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
故选：A
3．（2020·全国初一课时练习）下列各方程合并同类项不正确的是（ ）
A．由 ，得
B．由 ，得
C．由 ，得
D．由 ，得
【答案】C
【解析】解：A、由 ，得 ，故本选项合并正确，不符合题意；
B、由 ，得 ，故本选项合并正确，不符合题意；
C、由 ，得 ，故本选项合并错误，符合题意；
D、由 ，得 ，故本选项合并正确，不符合题意．
故选：C．
4．（2020·全国初一课时练习）下面解方程的结果正确的是（ ）
A．方程 的解为
B．方程 的解为
C．方程 的解为
D．方程 的解为
【答案】C
【解析】A选项，合并同类项，得 ，所以 ，解答错误；
B选项，合并同类项，得 ，两边除以3，得 ，解答错误；
C选项，合并同类项，得 ，两边乘2，得 ，解答正确；
D选项，合并同类项，得 ，两边除以3，得 ，解答错误。
故选C．
5．（2020·全国初一课时练习）在把方程 的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（ ）
A．方程两边同时乘-2B．方程两边同时除以
C．方程两边同时乘
D．方程两边同时除以2
【答案】C
【解析】解：对于形如 的一元一次方程，
系数化为1的方法是两边除以未知数的系数，或两边乘未知数系数的倒数．
故选：C．
6．（2020·全国单元测试）从 ，通过移项，得到________________．
【答案】
【解析】
【分析】从 ，通过移项，得到 ．
故答案为： ．
7．（2020·全国课时练习）由方程 得到方程 ，其根据是_________________．
【答案】基本性质1，在方程的两边都加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立
【解析】方程移项的依据是：基本性质1，在方程的两边都加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立；
故答案为：基本性质1，在方程的两边都加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立．
8．（2020·广东郁南·初一期末）如关于x的方程 的解是 ，则a的值是__________．
【答案】8
【解析】解：∵关于x的方程 的解是
∴
解得：a=8
故答案为：8．
9．（2019·海南琼海·期末）如果式子 与 的值相等，则 __________．
【答案】1
【解析】解：由题意得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
故答案为：1．
10．（2020·全国初一课时练习）如图所示的是解方程 的程序框图．其中，“移项”的依
据是________．【答案】等式的性质1
【解析】题图所示为解方程 的程序框图．其中，“移项”的依据是等式的性质1．
故答案为：等式的性质1．
11．（2020·全国初一课时练习）若一件服装以120元销售，可获利20%，则这件服装的进价是9请欣赏一
首诗：
太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；
一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；
剩下十五围着我，鸭有多少请算清．
根据诗的内容，设共有x只鸭子，可列方程：________________，得合并同类项，得________，两边乘
________，得 ________．
【答案】 4 60
【解析】本题相等关系为“鸭子的总数-一半的鸭子数-一半的一半的鸭子数=15"．
根据题意，列方程为 ，
合并同类项，得 ，
两边乘4，得 ．
故答案为： ； ；4；60．
12．（2020·全国初一课时练习）解方程： ．
佳佳的解题过程如下：
解：移项，得 ．①
合并同类项，得 ．②
系数化为1，得 ．③
请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来．【答案】有误，从第①步开始出错的．正确的解题过程见解析
【解析】有误，从第①步开始出错的．
正确的解题过程：移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
考点2：解一元一次方程—去括号
典例：（2020·全国课时练习）下列做法对不对？如果不对，请改正．
（1） 去括号得： ．
（2） 去括号得： ．
【答案】（1）错，应改为： ；（2）错，应改为：
【解析】（1）错，应改为： ；
（2）错，应改为： ．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次方程的解法；熟练掌握去括号去括号的法则是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·河南南召·月考）若代数式 和 的值相同，则x的值是（ ）
A．9 B．﹣ C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得： ＝ ，
去分母得到：6x﹣9＝10x﹣45，
移项合并得：﹣4x＝﹣36，
解得：x＝9．
故选：A．
2．（2020·陕西神木·期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程 移项，得
B．方程 去括号，得
C．方程 去分母，得
D．方程 系数化为1，得【答案】C
【解析】解：A、方程 移项，得 ，故选项错误；
B、方程 去括号，得 ，故选项错误；
C、方程 去分母，得 ，故选项正确；
D、方程 系数化为1，得 ，故选项错误；
故选C．
3．（2020·全国单元测试）把方程 ，去括号，可得________．
【答案】
【解析】-4（x-5）=2x，
去括号得-4x+20=2x．
故答案为：-4x+20=2x．
4．（2020·全国课时练习）方程 的解是______________________．
【答案】
【解析】 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
故答案为： ．
5．（2020·全国课时练习）若 与 互为相反数，则m的值是_______________．
【答案】15
【解析】由题意得： ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
故答案为：15．
6．（2020·福建惠安·期末）解方程：20﹣3（x+4）＝2（x﹣1）．
【答案】
【解析】解：20﹣3x﹣12＝2x﹣2，
﹣3x﹣2x＝﹣2﹣20+12，
﹣5x＝﹣10，x＝2．
7．（2020·河南宛城·期末）解方程：4x+2（x﹣2）＝12﹣（x+4）
【答案】x＝
【解析】去括号得：4x+2x﹣4＝12﹣x﹣4，
移项合并得：7x＝12，
解得：x＝ ．
8．（2020·全国单元测试）解方程： ．
【答案】
【解析】
．
9．（2020·全国单元测试） ．
【答案】
【解析】 ，
，
解得： ；
10．（2020·全国单元测试） ．
【答案】
【解析】解： ，
11．（2020·全国课时练习）解方程：（1） ；（2）
（3） ；（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】（1） ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2） ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（3） ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（4） ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
考点3：解一元一次方程—去分母
典例：（2020·广西平桂·期中）对于方程 ＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝1 ①
去括号，得3x﹣2x﹣2＝1 ②
合并同类项，得x﹣2＝1 ③
解得x＝3 ④
∴原方程的解为x＝3 ⑤（1）上述解答过程中的错误步骤有 （填序号）；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）错误步骤在第①②步．（2）x＝4.
【解析】解：（1）方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝6 ①
去括号，得3x﹣2x+2＝6 ②
∴错误步骤在第①②步．
（2）方程两边同乘6，得3x﹣2（x﹣1）＝6
去括号，得3x﹣2x+2＝6
合并同类项，得x+2＝6
解得x＝4
∴原方程的解为x＝4
方法或规律点拨
本题考查的解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，符号也经常是出现错误的原因．
巩固练习
1．（2020·河南南召·月考）解方程 的步骤如下，错误的是（ ）
①2（3x﹣2）﹣3（x﹣2）＝2（8﹣2x）；
②6x﹣4﹣3x﹣6＝16﹣4x；
③3x+4x＝16+10；
④x＝ ．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】①去分母，得：2（3x﹣2）﹣3（x﹣2）＝2（8﹣2x）；
②6x﹣4﹣3x+6＝16﹣4x，
③6x﹣3x+4x＝16+4﹣6，
④x＝2，
错误的步骤是第②步，
故选：B．
2．（2020·河南宛城·期末）把方程 去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】等式两边同乘4得： ，故选：D.
3．（2020·全国单元测试）方程 去分母后，正确的结果是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方程 去分母后，得：
故选：C．
4．（2020·全国单元测试）解方程 ，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解： ，
所以A正确，B,C,D错误；
故选A．
5．（2020·全国单元测试）方程 的解是 _______．
【答案】5
【解析】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．6．（2020·河南南召·月考）解方程： .
【答案】
【解析】
去分母：
移项、合并同类项：
解得：
7．（2020·广西平桂·期末）解方程: - =0
【答案】
【解析】解：去分母
去括号合并同类项 2x-1=0
移项 2x=1
系数化1
8．（2020·福建宁化·期末）解方程:
【答案】
【解析】解:
去分母，得 ．
去括号，得 ．
移项、合并同类项，得 ．
系数化1，得
9．（2020·全国单元测试）解方程： ．
【答案】
【解析】去分母得： ，
去括号得：6x+12+3x-4x+2-24=0，
移项得：6x+3x-4x=-12-2+24，合并得：5x=10，
解得：x=2．
10．（2020·全国单元测试）解方程： （其中 是未知数）．
【答案】
【解析】 ，
，
，
．
11．（2020·全国单元测试）解方程： ．
【答案】
【解析】解：
去分母得： ，
去括号、移项合并同类项得：
解得： ．
12．（2020·全国单元测试） ﹣ =1.2．
【答案】6.4
【解析】解
- =
50x-50-30x-60=18
20 x=128
x=6.4
13．（2020·全国课时练习）下列做法对不对？如果不对，请改正．
（1） 去分母得： ．
（2） 去分母得： ．【答案】（1）错，应改为 ；（2）错，应改为 ．
【解析】（1）错，改正如下：
两边同乘以12去分母得： ；
（2）错，改正如下：
两边同乘以6去分母得： ．
考点4：解一元一次方程训练
典例：（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）解方程
（1）2（x-3）-（3x-1）=1
（2）
【答案】（1）x=-6；（2）
【解析】解：（1） ，
，
解：（2）
．
方法或规律点拨
本题考查的是解一元一次方程，掌握去括号与去分母解一元一次方程是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·重庆市第二十九中学校期中）解下列方程：
（1）5（x+8）=6（2x﹣7）+5； （2） ．
【答案】（1）x=11；（2）x=0．
【解析】解：（1）去括号得：5x+40=12x-42+5，移项合并同类项得：7x=77，
系数化为1得：x=11；
（2）去分母得：3x+6-4x+6=12，
移项合并同类项得：x=0；
2．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）解方程：（1） ；（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】解:（1）
移项：
合并同类项：
化系数为1： ．
（2）
去分母：
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1： ．
3．（2020·湖南鹤城·期末）解下列方程
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
4．（2020·河南洛宁·期末）解下列方程：（1）
（2）
【答案】（1）x＝－5；（2）x＝13
【解析】解：(1)
去括号，得12－3x＋5＝7－5x
移项－3x＋5x＝7-5-12
合并同类项，得2x＝－10
系数化为1，得x＝－5
(2)
去分母，得2(2x－5)＋3(3－x)＝12
去括号，得4x－10＋9－3x＝12
移项4x－3x＝12+10-9
合并同类项，得x＝13
5．（2020·浙江松阳·期末）解方程
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ．
6．（2019·北京师大附中期中）解方程
（1）（2）
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ；
（2）去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得： ．
7．（2020·湖南天心·长郡中学期末）解方程
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）
去括号：
移项：
合并同类项：
系数化为1：
（2）
去分母：
去括号：
移项合并同类项：
系数化为1：
8．（2020·全国课时练习）解关于x的方程：
（1）
（2）【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） ，
两边同乘以6去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2） ，
两边同乘以6去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
9．（2020·全国课时练习）解方程：
（1）
（2）
（3）
（4） .
（5）
（6）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
【解析】（1） ，，
，
；
（2） ，
，
，
；
（3） ，
，
，
；
（4） ，
，
，
；
（5） ，
，
；
（6） ，
，
，
．
10．（2020·全国课时练习）解方程：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）
；（8）
【解析】（1）
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
（2）
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
（3）
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
（4）
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得：5x=5，
系数化为1，得： ；
（5）
去括号，得： ，移项，合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
（6）
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
（7）
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
（8）
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ．
考点5：已知方程的解求字母（代数式）的值
典例：（2020·全国课时练习）已知 是关于x的方程 的根，求代数式
的值．
【答案】 ，
【解析】∵ 是关于x的方程 的根，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确分析是解题的关键．巩固练习
1．（2020·河南南召·月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣ |＝1，则m的值是
（ ）
A． 或 B． C． D．﹣ 或
【答案】A
【解析】因为方程|x﹣ |＝1，
所以x﹣ ＝±1，
解得x＝ 或x＝﹣ ，
因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x﹣ |＝1，
所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，
m＝ ，
当x＝ 时，m＝ ，
当x＝﹣ 时，m＝ ．
所以m的值为： 或 ．
故选：A．
2．（2020·河南洛宁·期末）若 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】A
【解析】把x=−2代入方程 得： ，
即−4+3m−2=0，
解得：m=2；
故答案为：A.
3．（2020·湖南天心·长郡中学期末）已知方程7x+2＝3x﹣6与x﹣1＝k的解相同，则3k2﹣1的值为
（ ）
A．18 B．20 C．26 D．﹣26
【答案】C【解析】解：由7x+2＝3x﹣6，得
x＝﹣2，
由7x+2＝3x﹣6与x﹣1＝k的解相同，得
﹣2﹣1＝k，
解得k＝﹣3．
则3k2﹣1＝3×（﹣3）2﹣1＝27﹣1＝26．
故选：C．
4．（2020·全国单元测试）若方程关于 的 的解为 ，则（ ）
A．只有 B．只有 C．只有 D．只有
【答案】C
【解析】 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案选C．
5．（2020·福建漳州·初一期末）若 是方程 的解，则 的值是( )
A．3 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【解析】解：把 代入方程 得，
故选：B．
6．（2020·全国初一课时练习）已知 是关于 的方程 的解，则方程
的解是_________.
A． B． C．-2 D．1
【答案】B
【解析】解：∵x=5是关于x的方程4x+2m=3x+1的解，
∴20+2m=15+1，
解得：m=-2，
∴方程变为3x-4=6x+1，解得：x= ．
故选B.
7．（2020·四川遂宁·初一期末）已知关于x的方程3x﹣m+4＝0的解是x＝﹣2，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：把x=-2代入方程，得：3×（-2） m+4=0，
解得：m= 2．
故选：B．
8．（2020·湖南天心·长郡中学期末）若不论k取什么实数，关于x的方程 (a、b是常
数)的解总是x=1，则a+b的值是( )
A．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5
【答案】A
【解析】解：把x＝1代入 ，得： ，
去分母，得：4k+2a﹣1+kb＝6，即（b+4）k＝7﹣2a，
∵不论k取什么实数，关于x的方程 的根总是x＝1，
∴ ， ，
解得：a＝ ，b＝﹣4，∴a+b＝﹣0.5．
故选：A．
9．（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）若m、n互为相反数，且 ，那么关于x
的方程 的解为____；
【答案】x=-1
【解析】解：∵m、n互为相反数，
∴m=-n
∵mx-n=0，
∴mx=n，
∵m≠0，
∴x=
∴关于x的方程 的解为：x=-1
故答案为：x=-110．（2020·四川汶川·初一期末）若关于 的方程 的解是 ，则 的值等于__________．
【答案】2
【解析】∵关于 的方程 的解是 ，
∴2×2+a-6=0，
∴a=2
故答案为2
11．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）已知关于x的方程ax－b＝5的解是x＝－3，则代数式
1－3a－b的值为______
【答案】6
【解析】把 代入方程可得： ，
原式＝ ．
12．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如果关于 的方程 和 的解相同，
那么m=________．
【答案】
【解析】解： ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
∵两方程同解，那么将 代入方程 ，
得 ，
移项，得 ，
系数化为1，得 ．
故 ．
13．（2020·全国初一课时练习）若 与 互为相反数，则a的值是________．
【答案】
【解析】解：根据题意，得 ．
去分母，得 ．
移项及合并同类项，得 ．系数化为1，得 ．
故答案为： ．
14．（2020·全国初一课时练习）当k= 时，方程2（2x﹣3）=1﹣2x和8﹣k=2（x+1）的解相同．
【答案】 ．
【解析】方程2（2x﹣3）=1﹣2x的解是：x= ，
方程8﹣k=2（x+1）的解是：x=3﹣ ，
则根据题意，得3﹣ ，
解得，k= ．
故答案是： ．
15．（2020·全国初一课时练习）马小哈在解一元一次方程“● ”时，一不小心将墨水泼在
作业本上了，其中未知数x前的系数看不清了，同桌正确答案的最后一步是“所以原方程的解为 ”，
马小哈由此就知道了被墨水遮住的数，请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的数是________．
【答案】－4
【解析】解：设墨水遮住的系数为a
把 代入
得
解得 ．
故答案为－4．
16．（2020·全国课时练习）（1）已知 是方程 的解，求m的值．
（2）已知 是方程 的解，求a的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）把 代入方程得，
，
解得： ；（2）把 代入 得，
，
解得： ．
