文档内容
初三年级学业质量抽样调研数学学科
注意：
1.本场调研时间100分钟，试卷共 4页，满分 150分，答题纸共 2页．
2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号，将核对后的条形码贴在答题纸指定
位置．
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不
得分．
4.填涂选择题和作图用 2B铅笔，作答其余题型用黑色字迹钢笔、签字笔或圆珠笔．
一、选择题（共 24分，每小题 4分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列实数中，比0小的是（ ）
A. B. C. D. 的倒数
【答案】D
【解析】
【分析】计算每个选项的结果，将结果与0比较大小，即可得到正确选项．
【详解】解：逐一计算各选项结果并比较大小：
A选项 ， A不符合要求
B选项 ， B不符合要求
C选项 ， C不符合要求
D选项 的倒数是 ， D符合要求．
2. 下列函数，图象不是一条直线的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可．
【详解】解：对于选项A： 是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意；
对于选项B：
是一次函数，图象是一条直线，不符合题意；
第1页/共25页对于选项C：
是一条平行于 轴的直线，不符合题意；
对于选项D：
是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对应法则分别计算各选项即可得到正确结果．
【详解】根据幂的运算法则和合并同类项法则对各选项逐一判断：
选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴ ，A错误；
选项B：∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变，
∴ ，B错误；
选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴ ，C错误；
选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴ ，D正确．
4. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标
志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
第2页/共25页B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意；
D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
5. 在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了 次，球的落地位置如图所示．已知两人 次投掷所得的
平均成绩相同，对于甲、乙两人这 次成绩的方差的描述正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可．
【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大，
∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散，
∴ ．
6. 如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为 ．当扇面张开的角度为 时，扇面面积为 ，如果
，那么 与 关系的大致图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
第3页/共25页【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出 ，然后得到 ，进而求解
即可．
【详解】解：设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，
∴
当扇面张开的角度为 时，扇面面积
∴
∴ 与 成正比例关系，
∴ 与 关系的大致图像是：
．
二、填空题（共 48分，每小题 4分）
7. 因式分解： ____．
【答案】
【解析】
【详解】解： ．
8. 如果分式 有意义，那么实数 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得：
9. 方程 的解是____．
【答案】
第4页/共25页【解析】
【分析】将方程两边平方转化为一元一次方程求解，求解后需检验根的有效性．
【详解】解： ，
两边平方，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为 ，得 ，
检验：当 时，左边 ＝右边，
因此 是原方程的解．
10. 如果关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．根据根的判别式的意义得到 ，然后解不等式即可．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11. 已知抛物线 经过 和 两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛
物线的对称轴为_____．
【答案】直线
【解析】
【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移
第5页/共25页后抛物线的对称轴．
【详解】∵抛物线 经过 和 两点，两点纵坐标相等，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，
∴原抛物线的对称轴为：直线 ，
∵将抛物线向右平移 个单位时，对称轴同步向右平移 个单位，
∴平移后抛物线的对称轴为直线 ．
12. 从 ， ， 这三个数中随机抽取其中的两个数，分别记作 和 ．如果点 的坐标为 ，那么点
在第二象限内的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率的计算，先列举出所有等可能的结果，再根据第二象限内点的坐标特征找出符合条
件的结果，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，列举所有等可能的点 ，共有 种等可能的结果，
分别为： ， ， ， ， ， ，
第二象限内点的坐标特征为横坐标小于 ，纵坐标大于 ，
符合该特征的点有 个，分别为 ， ，
根据概率公式可得点 在第二象限内的概率为 ．
13. 在 中， ， ， ，那么 ____．
【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理计算 ，然后根据向量加法的三角形法则求解．
【详解】解：如图，
第6页/共25页在 中， ， ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ．
14. 可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其用户总数在上线21天后达到了
，那么平均每天上线人数用科学记数法表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出平均每天上线人数，再根据科学记数法的要求表示结果，科学记数法的表示形式为 ，
其中 ， 为整数．
【详解】解：由题意得，平均每天上线人数为 ．
15. 生活中很多瓶装矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费．为此数学兴趣小组对某次会议所发瓶装矿
泉水的使用情况进行统计，大致可分为四种：I．全部喝完；Ⅱ．约 ；Ⅲ．约一半；Ⅳ．整瓶但基本未喝．同
学们根据统计结果绘制如图所示的两个不完整的统计图，那么参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数
为____人．
【答案】
10
第7页/共25页【解析】
【分析】根据样本推算总体后即可求解．
【详解】解：参加这次会议的有： （人），
则参加这次会议的人中矿泉水剩约一半的人数为： （人）．
16. 已知半径为2的正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据正多边形内角和与外角和的关系求出边数，再将正多边形分解为若干个全等的等腰三角形，
通过计算单个等腰三角形面积，求和得到正多边形的面积．
【详解】解：设正多边形的边数为 ，
根据题意得，
解得 ，
∴该正多边形为正八边形，如图正八边形 ，连接 ， ， ， 交于点O，过点A作
于I，
∵半径为2
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴正八边形 的面积 ．
17. 如图，在 中， ， ，垂足为点 ，点 是 的重心， ，
，点 为边 上一动点，如果以点 为圆心 为半径的 与以点 为圆心的 相切，那
么 的半径 的取值范围是_____．
第8页/共25页【答案】 或
【解析】
【分析】如图，过点O作 于点E，交 于点F，首先利用三线合一求出
，利用勾股定理求出 ，利用等面积法求出 ，然后由重心的性质求出
，然后根据题意分 与 外切和 与 内切两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】解：如图，过点O作 于点E，交 于点F，
∵在 中， ， ，
∴
∴
∴
∴
∴
∵ ，点 是 的重心，
∴
∵以点 为圆心 为半径的 与以点 为圆心的 相切
当 与 外切时，如图，当点D在点E处时，
第9页/共25页∴ ，
∴ 的半径 取得最小值，即 的长度 ；
如图，当点D在点A处时，
∴ ，
∴ 的半径 取得最大值，即 的长度8；
∴ ；
当 与 内切时，如图，当点D在点E处时， 与 的延长线交于点H，
∴ ，
∴ 的半径 取得最小值，即 的长度 ；
如图，当点D在点A处时， 与 的延长线交于点I，
第10页/共25页∴ ，
∴ 的半径 取得最大值，即 的长度16；
∴ ．
综上所述， 的半径 的取值范围是 或 ．
18. 如图，四边形 是平行四边形，将 绕点 顺时针旋转 ，点 恰好落在 延长线上的点
处，作 的平分线交 的延长线于点 ，连接 ，如果 ，那么 的正切值是____
．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点F作 于点G，设 ， ，得到 ，利用
勾股定理表示出 ，设 ，证明出 ，得到
，利用勾股定理得到 ，进而求解即可．
【详解】解：如图，过点F作 于点G
第11页/共25页∵
∴设 ，
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
根据题意得， ，
∴
∴
设
∵ ， 平分
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
第12页/共25页∴ 的正切值是 ．
三、解答题（本大题共 7题，共 78分）如无特别说明，本大题作答须写出证明或计算的主要
步骤．
19. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【详解】解：
．
20. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分得出答案．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
所以原不等式组的解集是 ．
21. 探究：在铁片上裁剪正方形．
第13页/共25页（1）如图 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片．
Ⅰ．根据以下步骤画图：
①在边 上取点 （如图），过 作 ，垂足为 ；
②以 为边在 内部作正方形 ；
③连接 并延长交 于点 ；
④过 作 交 于点 、 交 于点 ；过 作 交 于点 ．
Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形 是正方形．
（2）如果 是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，
那么这个正方形铁片的最大面积为_____．
【答案】（1）画图见解析；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，根据作图得出四边形 为矩形，进而根据相似三角形的性质与判定
证明 ，即可得出四边形 是正方形；
（2）勾股定理求得 的面积，分两种情况讨论，分别求得正方形的面积，比较大小，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
证明：∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ，
第14页/共25页∴四边形 为矩形，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴矩形 为正方形．
【小问2详解】
解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∴
①当正方形的边在 的直角边上时，
如图，连接 ，设正方形 的边长为 ，则 ，
∴
∴正方形的面积为
②当正方形的边在 的斜边上时，如图
第15页/共25页设正方形的边长为 ，
∵
∴
∴ ，即 ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，即
∴
∴
解得：
∴正方形的面积为
∵
∴这个正方形铁片的最大面积为
22. 小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信
息的函数图纸，实验数据表示的点 ， ， 都落在了线段 上；图②是同一次实验的另一张缺失了部
分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
第16页/共25页（1）求叠放在一起的纸杯总高度 （厘米）关于纸杯数量 （个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，
求纸杯的数量．
【答案】（1） ；
（2）纸杯的数量为30个．
【解析】
【小问1详解】
解：我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是 ，所以每增加1个纸杯，高度增加
，
由图①知，当 时， ，
∴函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：由题意得 ，
解得 ，
答：纸杯的数量为30个．
23. 如图，在 中， ， ．点 在边 上，点 在 的延长线上，连结
、 ，过点 作 的垂线，分别交 、 、 于点 、 和 ，且 ．
（1）求证： ；
第17页/共25页（2）求证： ．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．
（1）根据 为等腰直角三角形， 为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定
理以及角的和差关系得到 ，根据等角的余角相等得到 ，继而根据等腰三
角形三线合一的性质得证结论．
（2）通过证明 ， ，得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换
得证结论．
【小问1详解】
证明；∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：由（1）知， ， ， 是等腰三角形，
第18页/共25页∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴代入上式得 ．
24. 在平面直角坐标系 中，过 、 两点的抛物线 （其中 、 是常数）
与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）如果点 在抛物线上，且在第四象限，过点 作 轴，与抛物线的另一个交点为 ，连
接 ，作 轴，交 于点 ，连接 ．
①当 时，求 的值；
②抛物线 关于直线 对称所得新抛物线的顶点为 ，如果点 刚好落在线段 上，求
点 的坐标．
【答案】（1）
（2）① 或 ②点 或 ．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
第19页/共25页（2）①分类在对称轴的左右侧进行讨论，分别把 的坐标用 来表示，根据 构造方
程求解即可；②根据对称得到点 的坐标，设出直线 的解析式，将坐标代入求解即可．
【小问1详解】
解：将 、 两点代入 ，
得： ，
解得：
则抛物线的表达式为： ，
【小问2详解】
①当 在对称轴 的左侧，
由题可知，点 , ,
设直线 的解析式为： ，
将点 , ,、代入解析式得： ，
解得： ，
则直线 的解析式为： ，
∵点 在抛物线上，
则点 ，
点 ， ，
第20页/共25页∴ ，
∵
∴
∴解得： ，
当 在对称轴 的右侧，
点 ，
点 ， ，
∴ ，
∵
∴
∴解得： ，
综上所述： 或
②根据题意可知
第21页/共25页∵点 ，点
∴点
， ，
设直线 的解析式为： ，
则将 ， 代入解析式得
解得： ，
则直线 的解析式为： ，
将点 代入直线 解析式
得：
解得 或
点 或 ．
25. 已知：如图， 为半圆 的直径，点 为 的中点，连接 交弦 于点 、交弦 于点 ，
且 ，连接 、 ．
第22页/共25页（1）如图①，求证：四边形 是等腰梯形；
（2）点 在直径 上（ 不与 、 重合），连接 交 于点 ．
Ⅰ．如图②，当 ，且 为 的中点时，求 的值；
Ⅱ．连接 ，半圆 的半径为1， ．当 为直角三角形时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）Ⅰ． ；Ⅱ．
【解析】
【分析】（1）根据 ，证明 ，则点 为 的中点，再根据点 为
的中点，可得 ，则 ， ， ，即可得证；
（2）Ⅰ．设 ，则 ， ． ，先证明四边形 是平行四边形，再
证明 ，即可求解；Ⅱ．分三种情况讨论：当 时，当 时，当
时，分别求出 的长．
【小问1详解】
解： 为半圆 的直径，
．
．
，
．
．
．
点 为 的中点，
．
．
， ， ．
第23页/共25页， ．
四边形 是等腰梯形．
【小问2详解】
解：Ⅰ．设 ，
为 的中点，
．
．
．
， ，
．
，
∴四边形 是平行四边形．
．
，
．
．
．
Ⅱ．如图，当 时，
设 ，则 ，
由（1）可得四边形 是平行四边形，
， ．
， ，
．
,
．
第24页/共25页．
，
， ．
．
．
．
．
．
，解得 （舍）， ．
．
如图，当 时，
， ，
．
，
．
此时点 与点 重合，此种情况不存在．
当 时，
，
∴此种情况不存在．
综上所述， ．
第25页/共25页
