文档内容
2023 学年第二学期九年级数学练习
（完卷时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1，本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】A. 是有理数，故A错误；
B、 是有理数，故B错误；
C、 是有理数，故C错误；
D、 是无理数，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂性 的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，根据以上运算法
则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；.
B ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3. 下列关于 的方程中有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，分式方程有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
根据一元二次方程根的判别式判断A，根据乘方的意义判断B，根据分式方程有意义的条件判断C，根据
二次根式的性质判断D．
【详解】解：A： ，故原方程有实数根,符合题意；
B：由题意可 ，由乘方的意义可得 ，故原方程无实数根,不符合题意；
,
C：解分式方程得 ，且当 时， ，故原方程无实数根 不符合题意；
D：由题意可 ，由二次根式的性质可得 ，故原方程无实数根,不符合题意；
故选：A．
4. 运动会 米赛跑， 位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次
是（ ）
运动员 平均成绩 标准差
时间（秒）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平均数、标准差，由平均数求出 位运动员的总成绩，即可求出运动员 的成绩，再
根据方差计算公式求出 个数据的方差，即可得到标准差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．
【详解】解：由表可得，运动员 的成绩为 ，
∴ 位运动员成绩分别为
∴ 个数据的方差为 ，
∴标准差为 ，
故选： ．
5. 下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ）
①函数图像经过点 ；②图像经过第二象限；③当 时， 随 的增大而增大．
A. B. C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解
题的关键．
根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可．
【详解】解：A. ，①函数图像经过点 ；②图像经过第二、四象限；③当 时， 随 的
增大而减小，故此选项不符合题意；
B. ，①函数图像经过点 ；②图像经过第一、三、四象限；③当 时， 随 的增大而
增大，故此选项不符合题意；C. ，①函数图像经过点 ；②图像经过第二、四象限；③当 时， 随 的增大而增大，
故此选项符合题意；
D. ，①函数图像经过点 ；②图像经过第一、二、三、四象限；③当 时， 随 的增
大而增大，故此选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图，四边形 是平行四边形，对角线 、 交于点 ，下列条件能判断四边形 是正
方形的是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键．
根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．
【详解】解：A. 由 且 可判定 是矩形，故此选项不符合题意；
B. 且 可判定 是菱形，故此选项不符合题意；
C. 且 可判定 是菱形，故此选项不符合题意；
D. 且 可判定 是正方形，故此选项不符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据同分母分式相加，分母不变，只把分子相加，进行计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题要考查了同分母分式的加法，解题的关键是掌握：同分母分式相加，分母不变，只把分子相
加．
8. 单项式 的次数是____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了单项式的次数的定义，根据单项式的次数就是所含字母的指数和，由此即可求解，解
题的关键是熟练掌握相关的定义．
【详解】解： 的次数是 ，
故答案为： ．
9. 因式分解： _______．
【答案】
【解析】
【分析】将 看作 ，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：．
10. 函数y 的定义域是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由于函数解析式是分式，则要求分母不为零，则可求得自变量 的取值范围即函数的定义域．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，初中求自变量取值范围的常常是三类函数：解析式是整式
时，自变量的取值范围是全体实数；解析式是分式时，分母不为零；解析式是二次根式时，被开方数非负．
11. 不等式组 的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可，正确
求出每一个不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：
∵解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集是 ，
故答案为： ．
12. 据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于
火星预选着陆区，距离地球320000000千米，其中320000000用科学记数法表示为____________．
【答案】
【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：320000000用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
13. 在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形和圆的图案，现将印有图案的
一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，画树状图展示所有12种等
可能的结果数，再找出抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：用字母A、B、C、D分别表示等腰三角形、平行四边形、菱形和圆，
画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的结果数为6，
所以抽到卡片上印有图案都是轴对称图形的概率 ．
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了轴对称图形．
14. 和线段AB两个端点距离相等的轨迹是__________________．
【答案】线段AB的垂直平分线
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线，
故答案为：线段AB的垂直平分线．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
15. 如图，已知点 、 、 在直线 上，点 在直线 外， ， ， ，那么
______．（用向量 、 表示）
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查平面向量，在 中，利用三角形法则求得 ；然后结合 求得 ；最
后在 中，再次利用三角形法则求得答案．
【详解】解： ， ，
，
，
，
故答案为： ．
16. 已知两个半径都为 的 与 交于点 ， ，那么圆心距 的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆与圆相交，根据两个圆相交，两个圆心所在的直线垂直平分相交弦，且圆心距被相
交弦垂直平分即可求解，掌握相交圆的性质是解题的关键．【详解】解：如图，由题意可得， 垂直平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17. 如图，正方形 的边长为 ，点 在 延长线上 ，连接 ，如果 与
相似，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，设 ，利用相似三角形的性质可得 ，
即 ，求出 ，得到 ，再根据正切的定义计算即可求解，利用相似三角形的性质求得
是解题的关键．
【详解】解：设 ，则∵ ， 与 相似，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （不合，舍去），
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 如图， 是等腰直角三角形， ， ，点 分别在边 上，
且 ，已知 是等边三角形，且点 在 形内，点 是 的重心，那么线段
的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的性质，解直角三角形，勾
股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，连接 并延长交 于 ，连接 ，连接并延长交 于 ，由点 是 的重心，可得 分别为 的中点，进而由
是等边三角形可得 ， ， ，设 ，则 ，解
得 ，又证明 得 是等腰直角三角形，得到 ，点
四点共线，即得 平分 ， 平分 ，延长 交 于 ，则 垂直
平分 ，由勾股定理可得 ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，
，得到 ，根据点 在 形内， ，可得
，得到 ，又根据 可得 ，由 ，
，即可求出线段 的取值范围，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 并延长交 于 ，连接 ，连接 并延长交 于 ，
∵点 是 的重心，
∴ 分别为 的中点，
∵ 是等边三角形，∴ ， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴点 四点共线，
∴ 平分 ， 平分 ，
延长 交 于 ，则 垂直平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∵点 在 形内，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，分数指数幂，负整数指数幂的运算法则是
正确解答的前提．
先计算分数指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，分母有理化，然后再算加减法．
【详解】解：．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了代入消元法解方程及二元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即
可．
由第一个方程得到 ，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出 ，再回代第一个方程
中即可求出 ．
【详解】解：由题意： ，
由方程①得到： ，
将③代入方程②中：得到： ，
进一步整理为： ，
解得 ，
把 代入方程③中，解得 ，
故方程组的解为： ．
21. 如图，已知一次函数图像 与反比例函数图像 交于点 ．（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点 在点 右侧的反比例函数图像上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，如果 ，
求点 的坐标．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（ ）求出点 坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（ ）设 ，则 ，根据三角形面积公式可得分式方程，解方程即可求解；
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，利用待定系数法求出反
比例函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵一次函数图象 与反比例函数图象 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：如图，设 ，则
∴ ，
∴ ，
整理得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，符合题意，
∴ ．
22. 上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外
侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小．
（1）利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹）
（2）如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B
处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离
为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径．【答案】（1）见解析 （2）圆弧形水道外侧的半径为483米
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图：
（1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点
即为点O；
（2）如图所示，连接 ，由垂径定理可得 ， 米，
则 四点共线，设 米，则 米，由勾股定理得
，解得 ，则 米．
【小问1详解】
解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即
为点O；
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ，
∵C为 的中点，点D为圆弧形道路内侧中点，
∴ ， 米，
∴ 四点共线，
设 米，则 米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，∴ 米．
答：圆弧形水道外侧的半径为483米．
23. 如图，在四边形 中， ， ，点E、F分别在边 、 上，且
．
（1）求证： ；
（2）连接 、 ，如果 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接 ，先证明 得 ，再证明 ，得 ，从
而得出 ，即可由比例的性质得出结论．
（2）由平行线分线段使得 ，即 ，由（1）知 ，从而得 ，即可得
出 ，再证明 ，得出 ， ，从而得出
，可由菱形的判定得出结论．
【小问1详解】证明：连接 ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴ ， ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图，∵
∴
∴
由（1）知
∴
∴
∴
∵∵
∴
∴
在 与 中，
∴
∴ ， ，
∴
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三我的判定与性质，菱形的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键．
24. 如图，在直角坐标平面 中，抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴正半轴交于点
，顶点为 ，点 坐标为 ．
（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点 的坐标（用 的代数式表示）；
（2）将抛物线向下平移后经过点 ，顶点 平移至 ．如果锐角 的正切值为 ，求 的值；
（3）设抛物线对称轴与 轴交于点 ，射线 与 轴交于点 ，如果 ，求此抛物线的
表达式．
【答案】（1）抛物线开口向下，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数 的综合应用，角度问题，正切的定义，相似三角形的性质与判定；
（1）将点 代入解析式可得 ，根据抛物线与 轴正半轴交于点 ，得出 ，即抛物线开
口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（ 2 ） 过 点 作 于 点 ， 设 向 下 平 移 个 单 位 ， 平 移 后 的 抛 物 线 为
， 根 据 题 意 得 出 ， 得 出 ， 点 代 入
，得出 ，联立解方程组，即可求解；（3）根据题意可得 则 ，根据题意得出直线 的解析式为 ，进
而得出 ，由抛物线对称轴与 轴交于点 ，得出 ，则 ，勾股定理可得
，进而代入比例式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点
∴
∴
∵抛物线与 轴正半轴交于点 ，
∴
∴
∴抛物线开口向下，
∴抛物线解析式为
∴
【小问2详解】
解：如图所示，过点 作 于点 ，
设向下平移 个单位 ，平移后的抛物线为∵ ，锐角 的正切值为 ，
∴ ，则 ，
∴ ①
将点 代入
②
联立①②得
【小问3详解】
解：如图所示
∵
当 时，
∴
∵ ，
设直线 的解析式为
∴∴
∴直线 的解析式为 ，
当 时，
∴
∵抛物线对称轴与 轴交于点 ，
∴
∴ ，
勾股定理可得 ，
∵ ，
∴
∴
∴
解得： （正值舍去）
∴抛物线解析式为 ．
25. 如图，已知半圆 的直径为 ，点 在半径 上， 为 的中点，点 在 上，以
为邻边作矩形 ，边 交 于点 ．（1）如果 ， ，求边 的长；
（2）连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的度数；
（3）连接 并延长，交 于点 ，如果 ，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）连接 ，过点 作 ，垂足为 ，由圆周角定理可得 ，
进而可得 ，再证明 ，根据 ，可得 ，即可
求解；
（ ）连接 ，设 ， 则 ， ， 求出
，得到 ，进而得到 ， ，分
和 两种情况解答即可求解；（ ）由 可得， ，进而得到 ，可证明 ，
得到 ， ，设 ， ，则 ， ，证明
，得到 ，
即可到 ，由勾股定理 ，即可求解；
【小问1详解】
解：连接 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵点 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，
设 ， 则 ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，，
当 时， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 时， ，
即 ，不存在；
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，
由 可得， ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
设 ， ，由题意得 ， ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线等分线段定理，三
角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
