精品解析：上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高二_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 上海市位育中学 2023 学年第一学期期中考试试卷 高二年级 数学学科 （考试时间 100分钟，总分 100分 命题：俞冰清 审题：苏发银） 一、填空题（本大题共有 12 题，第 1-6 题每题 3 分，第 7-12 题每题 4 分，满分 42 分）考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 两条异面直线所成角的取值范围是________  【答案】(0, ] 2 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义求解． 【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成   的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是 0,   2   故答案为： 0,   2 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题． 2. 两个平面的位置关系有______． 【答案】相交和平行 【解析】 【分析】根据两个平面之间的位置关系，可得答案. 【详解】两个平面的位置关系有相交和平行两种， 故答案为：相交和平行 3. 已知正三角形ABC的边长为a，BC在水平线上，则其平面直观图的面积为____ 6 6a2 【答案】 a2## 16 16 【解析】 2 【分析】根据直观图是原图形面积的 即可得解. 4 1 3 【详解】由题意S  a2sin60 a2， ABC 2 4 第 1 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 3 6 所以其平面直观图的面积为  a2  a2. 4 4 16 6 故答案为： a2. 16 4. 已知M 1,0,2,N3,2,4 ，则MN 的中点关于平面xOy的对称点的坐标是___ 【答案】 1,1,1 【解析】 【分析】先求出中点坐标，然后根据关于平面xOy的对称点的特征即可得解. 【详解】由M 1,0,2,N3,2,4 ，得MN 的中点坐标为 1,1,1 ， 所以MN 的中点关于平面xOy的对称点的坐标是 1,1,1 . 故答案为： 1,1,1 . 5. 已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且     OPmOA2OBOC，则m的值为___________. 【答案】4 【解析】     【分析】根据空间中四点共面的推论结合OPmOA2OBOC，求解即可. 【详解】解：因为O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且     OPmOA2OBOC， 所以m211，故m4. 故答案为：4. 6. 正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 【答案】27 【解析】 【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成27个部分，得到答案. 【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成3927个部分. 故答案为：27 7. 圆柱的侧面展开图是边长为2和3的矩形，则圆柱的体积为__________. 第 2 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9 【答案】3π2或 π2 2 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面展开图与圆柱的关系即可求解. 【详解】设圆柱底面圆的半径为r，高为h， 若2π为底面圆的周长，则r 1,h3π，则圆柱的体积为πr2h3π2， 3 9 若3为底面圆的周长，则r  ,h2π，则圆柱的体积为πr2h π2， 2 2 9 故答案为:3π2或 π2. 2 8. 在平行六面体 ABCDABC D 中，AABAADBAD60， AB  AD 1， AA 1， 1 1 1 1 1 1 1 则 AC ___________. 1 【答案】 6 【解析】 uuur  【分析】先用向量线性表示出AC ，然后求出 AC 即可. 1 1                【详解】设AB=a,ADb，AA c，则AC  ACCC  AB ADCC abc， 1 1 1 1 2   2 2 2 2       AC  abc a b c 2ab2ac2bc， 1 又因为AADAABDAB60，a  ·b  a  ·c  b  ·c   1 1 1 2 2  所以 AC 1111116，则 AC  6. 1 1 故答案为： 6 . 9. 已知一个圆柱和一个圆锥同底等高，且圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积 之比为___________. 【答案】 3:1 【解析】 第 3 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】利用勾股定理及圆的面积公式，结合圆柱圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为 2r2 r2  3r， 所以圆柱的侧面积为2πr 3r 2 3πr2. 由题意可知，圆锥的底面周长为2πr ，母线长为2r， 1 所以圆锥的侧面积为 2πr2r 2πr2. 2 所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为 3:1. 故答案为： 3:1. 10. 已知正三棱柱ABC- ABC 的底面边长为2，高为5，从点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1 1 1 A点的最短路线长度为___________. 1 【答案】13 【解析】 【分析】将正三棱柱沿AA 剪开，即可求解. 1 【详解】如图所示，将正三棱柱沿AA 剪开，可得到一个矩形，其长为6，宽为5， 1 5 其最短路线为量相等线段之和，其长度等于2（ ）2+62=13， 2 故答案为：13. 11. 在120°的二面角﹣l﹣内有一点P，P在平面、内的射影A、B分别落在半平面内，且 PA＝3，PB＝4，则P到l的距离为________． 2 39 【答案】 3 【解析】 【分析】P在平面、内的射影A、B分别落在半平面,内，且PA3,PB4,我们易求出 AB的 第 4 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 长，利用四点共圆及圆周角定理的推理，我们易得到P到l的距离即为 PAB的外接圆直径，利用正弦定  理，求出圆的直径即可得到答案 . 【详解】解：如图，平面PAB交l于D,则PAl,PBl,PAPB Pl 平面 PAB，则 l  AD,l  BDADB是二面角﹣l﹣的平面角， ∵在120°的二面角﹣l﹣内有一点P， ∴ADB120,APB60,A,P,B,D四点共圆. 又∵PA＝3，PB＝4， ∴AB＝ PA2 PB2 2PAPBcosAPE ＝ 13， 因为PA平面，则PAl,同理PBl， PB  PA P，所以l平面PAB， 又PD平面PAB，所以PDl P到l的距离为PD，即为 PAB的外接圆直径，  13 AB 2 39 由正弦定理得2R＝ ＝ 3 ＝ ， sinAPB 3 2 2 39 故答案为： ． 3 12. 在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子 第 5 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 中不能达到的空间体积是_________cm3. 40 【答案】56 π 3 【解析】 【分析】小球不能到达的位置为正方体的8个顶点附近和12条棱附近的部分组成. 1 【详解】顶点部分不能到达部分为棱长为1的正方体减去半径为1的球体的 ，如下图， 8  4 1 4 所以8个顶点部分体积为 13 π13  88 π，  3 8 3 1 棱部分不能到达部分为底面是边长为1，高为4的长方体减去底面半径为1，高为4的圆柱体的 ，如下 4 图，  1 12条棱部分不能到达的体积是 12 π11  4124812π，  4 4 40 所以不能到达的体积为8 π4812π56 π. 3 3 40 故答案为：56 π 3 二、选择题（本大题共有 4题，每题 4分，满分 16 分）每题有且只有一个正确答案，考生应 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4分，否则一律得零分 13. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行 C. 如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 D. 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 第 6 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】解：对于A：如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行或相交，故A 错误； 对于B：如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行或相交，故B错误； 对于C：如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行或该直线在此平面内，故C错 误； 对于D：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，此为面面垂直的性质定 理，故D正确； 故选：D 14. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长 为12，则原圆锥的母线长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果. 【详解】由题意可得，几何体如下图所示： CD 1 取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为  ，且CD//AB,BD12， AB 4 CD ED l12 1 设圆锥的母线长为l，根据相似比可得    ，解得l 16， AB EB l 4 即原圆锥的母线长为16. 故选：A. 第 7 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 15. 已知三棱柱ABC- ABC 的6 个顶点都在球O的球面上，且 AB3,AC 4,AB AC，AA 12， 1 1 1 1 则球O的半径为 （ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得三棱柱 ABC- ABC 为直三棱柱，将直三棱柱 ABC- ABC 补成长方体 1 1 1 1 1 1 ABDCABDC ，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解. 1 1 1 1 【详解】∵三棱柱ABC- ABC 的6个顶点都在球O的球面上， 1 1 1 则三棱柱ABC- ABC 为直三棱柱， 1 1 1 又∵ABAC，则可将直三棱柱ABC- ABC 补成长方体ABDCABDC ， 1 1 1 1 1 1 1 ∴直三棱柱ABC- ABC 的外接球即为长方体ABDCABDC 的外接球， 1 1 1 1 1 1 1 故球O的直径为AD AB2  AC2  AA2 13 1 1 ∴球O的半径为6.5. 故选：C. 16. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内， 则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以 下判断正确的是（ ） 第 8 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可知①为真命题，利用线面垂直可得②为真命题. 【详解】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以MN //BD， 因为MN平面ABD，BD平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确； 如图，取AC中点E，则AC  BE,AC  DE （菱形对角线垂直）， 又BEDE  E，且两直线在平面内，所以AC 平面BDE， 因为BD平面BDE，所以ACBD， 因为MN //BD，所以AC MN ，所以②正确； 故选：A． 三、解答题（本大题共有 5题，满分 42分） 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤 17. 如图，在正方体ABCDABC D 中，AB3，求： 1 1 1 1 （1）异面直线AD与AC所成角的大小； 1 （2）求点C到平面ABC D 的距离． 1 1 第 9 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】（1）arctan 2 3 2 （2） 2 【解析】 【分析】（1）找到ACB即为异面直线AD与AC所成角，求出各边长，得到答案； 1 1 3 2 （2）作出辅助线，证明出BC 面ABC D ，求出点C到平面ABC D 的距离为CO . 1 1 1 1 1 2 【小问1详解】 因为AD//BC ， 所以ACB即为异面直线AD与AC所成角， 1 1 因为BC 3，由勾股定理得AB3 2，AC 3 3， 1 1 AB 故tanACB 1  2， 1 BC 所以ACBarctan 2； 1 【小问2详解】 连接BC交BC 于O，则BC  BC ， 1 1 1 1 因为AB⊥平面BCC B ，BC平面BCC B ， 1 1 1 1 1 所以AB BC ， 1 又因为B 1 C  BC 1 ，BC 1 AB= B，BC 1 ,AB平面ABC 1 D 1 ， 所以BC 面ABC D ， 1 1 1 第 10 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BC 3 2 所以线段OC为所求距离，所以点C到平面ABC D 的距离为CO 1  . 1 1 2 2 18. 沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空 间想象能力和逻辑推理能力. （1）写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理； （2）表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长 度，可适当用文字说明）. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）写出异面直线判定定理，再利用反证法证明即可； （2）先写出祖暅原理，再根据祖暅原理画出图形即可. 【小问1详解】 异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线. 证明过程： 已知：点A,B直线m，点A在平面外，B，直线n，且Bn， 求证：直线m,n为异面直线. 假设直线m,n在平面内， 则点B和直线n都在平面内， 而点B和直线n都在平面内， 由于经过直线和直线外一点有且只有一个平面， 所以,重合， 第 11 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 从而直线m 在平面内，这与已知条件矛盾， 所以直线m,n为异面直线. 【小问2详解】 祖暅原理：夹在两个平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面 的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 如图所示，图①几何体的为半径为R的半球， 图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥， 设与平面平行且距离为d的平面截两个几何体得到两个截面， 则图②与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分）， 在图①中，设截面圆的圆心为O ，易得截面圆O 的面积为π  R2d2 ， 1 1 在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d， 所以圆环的面积为π  R2d2 ，所以截得的截面的面积相等， 则图②几何体的体积即为图①半球的体积. 19. 如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶 液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α． 第 12 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)； （2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．  【答案】（1） ； 2 （2）45°﹒ 【解析】 【分析】(1)根据几何关系可知圆柱的母线与液面所在平面所成的角与α互余； (2)根据题意画出图形，结合图形，求出倾斜时容器内装的最大溶液体积，现有溶液体积小于或等于该体积 即可求出α的最大值． 【小问1详解】 如图， EF为液面，EF∥水平线，∴∠BEF＝β， ∵AD∥BC，∴∠DFE＝∠BEF＝β，   ∵∠ABC＝ ，∴α＋β＝ ， 2 2  图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为DFE  ． 2 第 13 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【小问2详解】 如图，过F作FQ∥CD交BC于Q， 在Rt△CDF 中，FCD，CD20，则DF  20tan， AF 3020tan． 此时容器内能容纳的溶液量为： 1  1  V V 圆柱FB  2 V 圆柱FC 102   (3020tan) 2 20tan   1000(3tan)， 容器中原有溶液量为102202000， 令1000(3tan)2000，解得tan1，45， 即的最大角为45°时，溶液不会溢出． 20. 如图， 在四棱锥PABCD中， PD 底面ABCD， 四边形ABCD为正方形， PD  DC， E,F 分别是AD,PB的中点． （1）证明：EF //平面PCD． （2）鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出 一个并证明；若不能，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 第 14 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）三棱锥PABD（或三棱锥PBCD），理由见解析 【解析】 【分析】（1）取PC的中点M ，连接DM,MF ，证明四边形DEFM 为平行四边形，可得EF//DM ，再 根据线面平行的判定定理即可得证； （2）连接BD，则三棱锥PABD为鳖臑，证明PD AD,PD BD，及AB平面PAD即可. 【小问1详解】 取PC的中点M ，连接DM,MF ， 1 因为F 为PB的中点，所以MF//BC且MF  BC， 2 1 因为E为AD的中点，所以DE//BC且DE  BC ， 2 所以MF//DE且MF  DE， 所以四边形DEFM 为平行四边形，所以EF//DM ， 又DM平面PCD，EF 平面PCD， 所以EF //平面PCD； 【小问2详解】 连接BD，则三棱锥PABD为鳖臑， 由四边形ABCD为正方形，可得△ABD为直角三角形， 因为PD 底面ABCD，AD,BD,AB面ABCD， 所以PD AD,PD BD,PD AB， 所以 PAD,  PBD都是直角三角形， 因为AB AD,ADPD D,AD,PD平面PAD， 所以AB平面PAD， 又PA平面PAD，所以PA AB， 所以 PAB为直角三角形，  所以三棱锥PABD的四个面都是直角三角形， 所以三棱锥PABD为鳖臑. 另解：三棱锥PBCD为鳖臑， 由四边形ABCD 为正方形，可得△BCD为直角三角形， 第 15 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 因为PD 底面ABCD，BC,BD,CD面ABCD， 所以PD BC,PD BD,PDCD， 所以 PCD,  PBD都是直角三角形， 因为BC CD,CDPD D,CD,PD平面PCD， 所以BC平面PCD， 又PC 平面PCD，所以PC  BC， 所以 PBC为直角三角形，  所以三棱锥PBCD的四个面都是直角三角形， 所以三棱锥PBCD为鳖臑. 21. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，ABBC ， AB AD，BC 2AB，E、F 分别为棱BC、BP中点． （1）求证：平面AEF∥平面DCP； （2）若平面PBC平面ABCD，直线AP与平面PBC 所成的角为45，且CP PB，求二面角 P ABD的大小． 【答案】（1）证明见解析  （2） 3 【解析】 【分析】（1）证明EF //平面PCD，AE//平面PCD，即可证明结论； （2）根据面面垂直性质定理得APB45，进而得 AB PB，再根据题意证明PC 平面 ABP可得 第 16 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  PBC为直角三角形，再根据几何关系得PBC 60，进而根据PBC是二面角P ABD的平面角 求解即可. 【小问1详解】 证明：因为E、F分别为棱BC、BP中点， 所以，在 PBC中，EF //PC，  因为EF 平面PCD，PC 平面PCD， 所以，EF //平面PCD， 因为AD∥BC，BC 2AB，E为棱BC中点． 所以，AD//CE,ADCE， 所以，四边形ADCE是平行四边形， 所以，CD//AE 因为AE 平面PCD，DC 平面PCD， 所以，AE//平面PCD， 因为AEEF  E,AE,EF 平面AEF ， 所以，平面AEF∥平面DCP 【小问2详解】 解：因为平面PBC平面ABCD，平面PBC平面ABCD BC，ABBC ，AB平面ABCD， 所以，AB平面PBC 所以，APB是直线AP与平面PBC 所成的角， 因为，直线AP与平面PBC 所成的角为45， 所以，APB45， 所以AB PB， 因为PC,PB平面PBC ， 所以AB PC，AB  PB， 因为CP PB，AB  BP B，AB,BP平面ABP， 所以PC 平面ABP， 因为PB平面ABP， 所以PC  PB，即 PBC为直角三角形，  第 17 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以，在 PBC中，由BC 2AB2PB可得PC  3PB，  PC 所以，tanPBC   3，即PBC 60， PB 因为AB  PB，ABBC ， 所以，PBC是二面角P ABD的平面角， 所以，二面角P ABD的大小为60. 四、附加题（本题满分 10分，每小题各 5分） （芯苗班、楚材班必做，其它班选做） 22. 正方体中ABCDABC D ，过D 作直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为 1 1 1 1 1  π ，且直线l与直线BC 所成角为 ，则满足条件的直线l的条数为_________. 6 1 4 【答案】2 【解析】 【分析】作出辅助线，得到DD 为轴的圆锥母线（母线与DD 成60）是直线l的运动轨迹，D A为轴的 1 1 1 圆锥母线（母线与D A成45）是直线l的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线l的条数. 1 【详解】设立方体的棱长为1，过D 作直线l， 1  若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为 ， 6  即l与平面ABCD所成角为 ， 6 DD 为轴的圆锥母线（母线与DD 成60）是直线l的运动轨迹， 1 1 π 连接D A，由题意得D A∥BC ，直线l与直线BC 所成角为 ， 1 1 1 1 4 π 直线l与直线D A所成角为 . 1 4 此时D A为轴的圆锥母线（母线与D A成45）是直线l的运动轨迹， 1 1 两个圆锥相交得到两条交线. 故答案为：2 第 18 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 23. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接 触，因此它能像球一样来回滚动. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的 四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a. ① 能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a  3 ② 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为1 a   2   1  ③ 勒洛四面体中过A,B,C三点的截面面积为 2π 3 a2 4  2 6π  ④ 勒洛四面体的体积V  a3, a3    12 8   上述命题中正确的是__________ 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于a，进行判断；对于②，求出 6 BE a，OB a，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于③，勒洛四面体中过A,B,C三点的截 4 面为三个半径为a，圆心角为60的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，由此可判断；对于 ④，勒洛四面体的体积介于正四杨体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球体积之间，求出正四面体 ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积，从而求出答案． 【详解】对于①，由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值a，故①正确； 对于②，勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图， 第 19 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心， 由题意得该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE ， 则B,O,E三点共线， 设正四面体ABCD的外接球半径为r， 2 2  6   3  6 由题意得： ar  a r2，解得r  a，   3     3   4 6 BEa，OB a， 4 6  6  由题意得OE a a 1 a，故②错误；   4 4   对于③，勒洛四面体中过A,B,C三点的截面为三个半径为a， 圆心角为60的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积， 1 3 1  即3 πa22 a2  π 3 a2，故③错误； 6 4 2 对于④， 勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间， 3 2 3 3 正四面体底面面积为 a2，底面所在圆的半径为  a a， 4 3 2 3 2  3  6 正四面体的高为 a2  a  a，   3 3   第 20 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 3 6 2 正四面体ABCD的体积V   a2 a  a3， 1 3 4 3 12 设正四面体ABCD的外接球半径为r，则由题意得： 2 2  6   3  6  ar  a r2，解得r  a，   3     3   4 6 正四面体ABCD的外接球的体积为V  a3， 2 8 2 6 勒洛四面体的体积V 满足 a3 V  πa3，故④正确． 12 8 故答案为：①④． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问 题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相 等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些 元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 第 21 页 共 21 页