文档内容
2025 年秋季高一年级期中考试
数学试卷
考试时间：2025年11月19日上午08：00-10：00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】根据元素与常用数集 关系，以及集合与集合的关系，判断正确结果即可.
【详解】0是自然数，所以A正确；
是无理数，所以B错误；
中有一个元素，不是空集，所以C错误；
， 都是点集，两点不同，所以集合不相等，所以D错误.
故选：A.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合 ，应用并集定义计算求解.
【详解】解得 ，则 .
故选：B.
3. 已知 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用特殊值法计算判断A，C，D，应用不等式的性质计算判断B.
【详解】对于A：当 时， ，A选项错误；
由题意 ，则 ，B正确；
对于C：取 ，所以 ，C选项错误；
对于D：取 ，所以 ，D选项错误；
故选：B.
4. 函数 的单调减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和幂函数的性质，即可求解.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，关于原点对称，
且满足 ，所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称，
根据幂函数的性质，当 时， 单调递减，
因为 的图象关于 轴对称，所以函数 在 单调递增，
所以函数 的单调减区间为 .
故选：C.
5. 已知 ，则 （ ）A. B. 0 C. 3 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值法根据抽象函数求函数值，直接代入求解即可.
【详解】令 则 ，当 时，代入表达式可知 .
故选：D
6. 已知命题 是 上的增函数，命题 ，使得 对于 恒成立，
则 是 的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】应用单调性定义结合特殊函数，再应用充分必要条件定义判断.
【详解】若 是 上的增函数，因为 ，所以 ，
，使得 对于 恒成立，充分性满足；
取 , 表示不超过x的最大整数，
当 时， ，命题B成立，
但是 在R上不是增函数，比如 ，
即命题A不成立，因此必要性不满足，故 是 的充分不必要条件，
故选：A.
7. 2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式.此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对
抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求.在排练演习过程中，某队伍长 ，以速度
匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度均为 .则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了 ，则传令兵回到排尾时所走的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得传令兵所走的时间，进而求得 ，可求路程.
【详解】当传令兵回到排尾时所用时间为 ，
由题意 ，则 ，解得 ，
因为全队正好前进了 ，即 ，所以传令兵回到排尾时所走的路程为 .
故选：A.
8. 已知函数 ， 对于 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知 为奇函数，且在 上为增函数，将所求不等式化为 ，可得
出 在 上恒成立，即 对任意的 恒成立，结合 可求出 的取值范
围.
【详解】因为 的定义域为 ， ，
故函数 为奇函数，
当 时， ，则 在 上为增函数，故该函数在 上为增函数，
因为函数 在 上连续，故函数 是 上的增函数.
由 可得 ，则 恒成立.即 对任意的 恒成立，则 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设正实数 ， 满足 ，则（ ）
A. 的最小值为2 B. 有最小值为
C. 最大值为2 D. 有最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A、C、D，换元、结合二次函数的性质判断B.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ，故A正确；
对于B：因为正实数 ， 满足 ，所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，当 时， 有最小值为 ，此时 ，故B正确；
对于C： ，因为 ，
所以 ，即 最大值为 ，等号成立条件是 ， ，故C正确；
对于D： ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故D错误.
故选：ABC
10. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，其中 为常数，则下列说法正确
的是（ ）
A. 当 时， B. 是 上的增函数
C. 的值域为 D. 若方程 有4个根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求解析式可判断A； 时举反例可排除B； 时举反例可排除C；画出
的图像并且对 进行分类讨论可判断D.
【详解】当 时， ，又 ，故A正确；
取 ，则 ， ，所以 不是 上的增函数，故B错误；
取 ，则当 时， ， 时， ， 时， ，
此时 的值域为 ，不为 ，故C错误；
作出 图象，若 ，方程 至多2个根，故 ，
当 与 有四个交点时， ，解得 .故D正确.
故选：AD11. 已知集合 ， 满足 ， ，若 中的元素个数不是 中的
元素， 中的元素个数不是 中的元素，则下列说法正确的是（ ）
A. 可能为
B. 不可能有4个元素
C. 若 中有3个元素，则不同的集合 有15个
D. 符合题意的不同的集合 有44个
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 ，则 可判断 A；反证法可判断 B；若 中有 3 个元素，则
， ，可得集合 的所有可能情况判断C；由 中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7
个元素，据此计算可判断D.
【详解】若 ，则 ， 中的元素个数6是 中的元素，不符合题意，故A错
误.
若 中有4个元素，则 中也有4个元素，则4不在集合 中，不符合题意，
故B正确.
若 中有3个元素，则 ， ，共有 个不同的集合 ，故C正确.
依题意， 中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7个元素，
若 中只有1个元素时，则 中有7个元素，故 ， ，
所以对应的不同集合 分别有1个、
以此类推，可得 中只有2个、3个、5个、6个、7个元素时，
对应的不同集合 分别有6个、15个、15个、6个、1个，
所以符合题意的不同集合 有44个，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 为奇函数，则实数 的值为______【答案】0
【解析】
【分析】根据奇函数的性质 可得 ，从而可求解实数a的值.
【详解】依题意， ，即 ，
整理可得， ，解得 .
故答案为：0.
【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，已知函数 为奇函数，则必然满足 ，属基础
题.
13. 已知命题“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，列出不等式，求出结果.
【详解】当“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的真子集，即 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若对于任意的 ，则实数 的取值范围是
_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，当 时，得到 是 上的减函数，满足题意；当 时，转化为
对于 恒成立，设 ，结合二次函数的图象与性
质，列出不等式，即可求解.【详解】当 时，解得 ，可得 在 上单调递减，在 上单调递减，
如图（1）所示，此时函数 是 上的减函数，
则对任意 成立，符合题意；
当 时，如图（2）所示，
若 ，即 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
设 ，可得其图象开口向上，且对称轴为 ，
当 时，则满足 ，解得 ，不符合题意，舍去
当 时，则满足 ，
即 ，解得 ，解得 ，所以 ，
综上： ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、证明过程或演算步骤.
15. 黄冈市某高中“校园农场”于2025年9月正式投入使用，现打算围成如图所示的长方形田地种植萝卜，
其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成.（1）若田地的面积为 ，要使围成田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？总长最小
是多少？
（2）现有 长的篱笆，要使田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？面积最大是多少？
【答案】（1）长和宽分别为 和 ；总长最小为
（2）长和宽分别为 和 ；面积最大为
【解析】
【分析】（1）设长方形长和宽分别为 ， ，可得 ，利用基本不等式可求 ；
（2）设长方形田地的长和宽分别为 ， ，其中 ， ，可得 ，利用基本不等式可求
得面积的最大值.
【小问1详解】
为
设长方形长和宽分别 ， ，其中 ， .由题意，得 .
由基本不等式， ，当且仅当 ， 时取等.
即长和宽分别为 和 .总长最小为 .
【小问2详解】
设长方形田地的长和宽分别为 ， ，其中 ， .则 .
由基本不等式 ，解得 ，
当且仅当 ， 时取等号.
即长和宽分别为 和 .面积最大为 .
16. 已知集合 ，集合 .（1）若集合 中有且仅有3个整数，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）分类讨论，根据集合中的3个整数，求出范围即可；
（2）根据集合B中元素特点，由 求 范围即可.
【小问1详解】
当 时， ，此时 中有 三个整数，则 ；
当 时， ，此时 中有1，2，3三个整数，则 .
综上所述， 或 .
【小问2详解】
表示偶数集，
当 时，集合 中包含2，则 ；
当 时，集合 中包含0，则 .
当 时，集合 中不包含偶数，
所以 或 .
17. 定义在 上的函数 同时满足三个条件：① ；②
对于任意 恒成立；③ 恒成立.
（1）证明： 是奇函数；（2）证明： 是 上的增函数；
（3）请直接写出一个符合题意的函数 ，不用说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3） （答案不唯一，满足 的函数均可）
【解析】
【分析】（1）令 ，令 ，可证明结论；
（2）任取 ，由已知可得 ，可证结论；
（3）根据函数的性质可写出符合条件的函数.
【小问1详解】
由条件①，令 ，解得 ，所以 ，
令 ，解得 ，则 .
所以 ，所以 是奇函数；
【小问2详解】
任取 ，由条件②可知 ，即 ，
所以 ，所以 是 上的增函数；
【小问3详解】
如 ，
,
所以符合 ；
由 ，可知符合 ；
由 ，可知符合 恒成立.18. 已知函数 ，其中 为非零常数.
（1）写出 在 上的单调区间，；
（2）若 ，求函数 的值域；
（3）若 ，对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的最大值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查函数 的单调性、值域以及根据函数最值关系求解参数取值范围等知识点。
（1）根据对勾函数的性质直接得出 在 上的单调区间，
（2）先对 进行变形，再利用换元法，结合均值不等式求出换元后变量的取值范围，
最后根据二次函数的单调性求出值域，
（3）法 1：分别求出 在 上的最小值和 在 上的最小值，再根据条件
建立不等式，分情况讨论求解k的取值范围，进而得到k的最大值.
法2：根据题意将表达式化简，利用参变分离以及函数单调性即可求得实数 的最大值.
【小问1详解】
任取 ， 则 ；
①当 时，由 得到 ，所以 在上单调递增；
②当 时，
（i）当 时， ，所以
在 上单调递减；
（ii）当 时， ，所以 在
上单调递增；
综上所得，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减， 上单调递增.
【小问2详解】
当 ,
利用基本不等式当 时 ；当 时 ；
因为
所以 ，其中 或者 ，令 ，
则转化为求 ， 或者 ，
当 时，函数取到最小值0.值域为 .
【小问3详解】
法1：由题意 ， ，当 时， ，则 ，解得 ；
当 时， ，则 ，解得实数 不存在；
当 时， ，则 ，解得实数 不存在.
综上所述，实数 的最大值为 .
法2：由题意 ， ，
即 在 有解，分离变量后 在 有解，
设 ，则 ，其中 ，解得 .
综上所述，实数 的最大值为 .
19. 已知函数 ， .
（1）已知对于定义域内任意实数 ， 恒成立，则 关于 对称，利用上述结
论证明：函数 存在对称轴；
（2）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（3）若 在 上最大值是2，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3） 或者
【解析】【分析】（1）分析可得 的对称轴为 ，根据所给定义，分别求 和 ，分析即可
得证.
（2）法1：当 ，分析此时 符合题意，当 时，求得两根，根据单调性，即
可得答案；法2：根据题意得 在 上恒成立，分析计算，即可得答案.
（3）分析可得 在 上最大值只可能在 ， ， 中出现，分别讨论三个最
大值时，求出m的范围，综合即可得答案.
【小问1详解】
因为 的对称轴为 ，
由图象变换可知， 的对称轴为 .
证明如下： ，
，
所以 ，所以 存在对称轴 .
【小问2详解】
法1：当 ，即 时， 恒成立，
此时 ，符合题意；
当 ，即 时， 有两个实根 ，
在 ， 上单调递增，即 ，
解得 .综上所述， .
法2：因为 和 在 上都是单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 ，解得 .
【小问3详解】
由 ，得 ，且 .
因为 在 上最大值只可能在 ， ， 中出现，
当 取最大值时， ，经检验，符合题意；
当 取最大值时， 或 ，经检验，符合题意；
当 取最大值时， ，经检验，符合题意.
综上所述，实数 的取值范围是 或者 .
