文档内容
专题 16 三角形相似
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1. 已知三个数2， ，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）．
A. B. 或 C. ， 或 D. ， 或
【答案】D
的
【分析】运用比例 基本性质，将所添的数当作比例式a：b=c：d中的任何一项，进行计算即可，
【详解】设添加的这个数是
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ， 解得 ．
故选D．
2．（2022·山东临沂）如图，在 中， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ， ，可得 再建立方程即可．【详解】解： ， ，
，
解得： 经检验符合题意故选C
3. 如图，点 是线段 的黄金分割点（ ），下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫
做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比．
【详解】解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段，
根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；
AC2=AB•BC，故B错误，
，故C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意．
故选B．
4．（2022·重庆）如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ．若 的周长为4，则
的周长是（ ）A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设 的周长是x，
∵ 与 位似，相似比为 ， 的周长为4，
∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．
5．（2022·湖南湘潭）在 中（如图），点 、 分别为 、 的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证出 是 的中位线，由三角形中位线定理得出 ， ，证出
，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
【详解】解： 点 、 分别为 、 的中点， 是 的中位线， ， ，
， ．故选：D．
6．（2022·贵州贵阳）如图，在 中， 是 边上的点， ， ，则 与
的周长比是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有 ，则可得 ，问题得解．
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
8．（2022·湖北十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量
零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 AOB和 COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再
△ △根据外径的长度解答．
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．
9．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD
＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（ ）3 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）6
【答案】C
【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为
△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG= ，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，则OB= ，
∴OC= ，∴OD= ，…∴OG= ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故选：C．
10．（2022·四川眉山）如图，四边形 为正方形，将 绕点 逆时针旋转 至 ，点 ，
， 在同一直线上， 与 交于点 ，延长 与 的延长线交于点 ， ， ．以下
结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证
明 ，得到 ，即 ，利用 是等腰直角三角形，求出
，再证明 即可求出 可知③正确；过点E作 交FD于点M，求出
，再证明 ，即可知④正确．
【详解】解：∵ 旋转得到 ，∴ ，
∵ 为正方形， ， ， 在同一直线上，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
设正方形边长为a，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
过点E作 交FD于点M，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若 ≠0，则 ＝__．
【答案】
【分析】设 ＝k，可得a＝2k，b＝3k，c＝4k，再代入求值即可得到答案．【详解】设 ＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为：
12. 如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使 ABC∽△ADE．
△
【答案】∠D=∠B（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE
∴∠DAE=∠BAC
∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时 ABC∽△ADE．
故答案为：∠D=∠B（答案不唯一）． △
13．（2022·北京）如图，在矩形 中，若 ，则 的长为_______．
【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形 中： ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，故答案为：1．
14. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地
面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边
DF离地面的高度 ， ，则树AB的高度为_______cm.
【答案】420
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 BC的长，再加上AC即
可得解．
【详解】解：在△DEF和△DBC中，
∠D=∠D,
∠DEF=∠DCB，
∴△DEF∽△DCB，
∴ ，
解得BC=300cm，
∵ ，
∴AB=AC+BC=120+300=420m，
即树高420m．
故答案为：420.
15．（2022·四川宜宾）如图， 中，点E、F分别在边AB、AC上， ．若 ， ，
，则 ______．【答案】
【分析】易证 AEF∽ ABC，得 即 即可求解．
△ △
【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴ AEF∽ ABC，
△ △
∴ ，即
∵ ， ， ，∴ ，∴EF= ，故答案为： ．
16．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相
交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．
【答案】【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求
出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到 ，
即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴ ，
∴BF=4，
∴ ，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ABP的周长 ，
故答案为： ．三、简答题（共46分）
17．（7分）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
【答案】见解析
【分析】根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似．可证明三角形相似．
【详解】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，
∴ ， ，
∴
又∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
18．（7分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知 ABC三个顶点分别为A(﹣2，
1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．
（1）画出 ABC关于x轴对称的 ABC ；
1 1 1
（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出 ABC ，使 ABC 与 ABC位似，且位似比为2，并写
2 2 2 2 2 2
出A，B，C 的坐标．
2 2 2【答案】（1）△ABC 为所求作，画图见详解 ；（2）A （4，-2），B （-2，-4），C （8，-8），
1 1 1 2 2 2
△ABC 为所求作，画图见详解．
2 2 2
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标的特征，分别写出A、B、C三点关于x轴的对称点A、B、C
1 1 1
的坐标，然后分别描点，依次连接这三点即得符合要求的三角形；
（2）根据位似图形在x轴下方，结合位似比2，把A、B、C的横纵坐标分别乘-2，即得到A、B、C 的坐
2 2 2
标，描点得到△ABC ．
2 2 2
【详解】解（1）∵ ABC三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)． ABC关于x轴对称的
ABC ，
1 1 1
∴A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)关于x轴对称轴坐标为A（-2，-1），B（1，-2），C （-4,-4），
1 1 1
在平面直角坐标系中描出A（-2，-1），B（1，-2），C （-4,-4），
1 1 1
顺次连结AB， BC ， C A，
1 1 1 1 1 1
为
如下图， ABC 所求作；
1 1 1
△
（2） ABC 与 ABC位似，且位似比为2， ABC三个顶点分别为A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．
2 2 2A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)的位似点坐标为A（-2×（-2）,1×（-2））即（4，-2），
2
B（1×（-2），2×（-2））即（-2，-4），C （-4×（-2），4×（-2））即（8，-8）
2 2
在平面直角坐标系中描点A（4，-2），B（-2，-4），C （8，-8），
2 2 2
顺次连结AB， BC ，C A，
2 2 2 2 2 2
如下图，△ABC 为所求作
2 2 2
19．（8分）35．（2022·江西）如图，四边形 为菱形，点E在 的延长线上， ．
（1）求证： ；（2）当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)AE=9
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出 ， ，根据平行线的性质和等边对等角，结
合 ，得出 ，即可证明结论；
（2）根据 ，得出 ，代入数据进行计算，即可得出AE的值．
【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴ ， ，
， ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
(2)∵ ，
∴ ，即 ，解得： ．
20．（12分）（2022·浙江杭州）如图，在 ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，
已知四边形BFED是平行四边形， ．
（1）若 ，求线段AD的长．
（2）若 的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明 ，得到 即可求出；
（2）利用平行条件证明 ，分别求出 、 的相似比，通过相似三角形
的面积比等于相似比的平方分别求出 、 ，最后通过 求出．
【详解】(1)∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ；
(2)∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ， ，DE=BF，
∴ ，
∴ ∴ ，
∵ ，DE=BF，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
21．（12分）38．（2022·湖北武汉）问题提出：如图（1）， 中， ， 是 的中点，延
长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ，探究 的值．
（1）先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ，
延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的值（用含 的式子表示）．
【答案】(1)[问题提出]（1） ；（2）见解析
(2)[问题拓展]
【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得 ， ，
根据含30度角的直角三角形的性质，可得 ，即可求解；
（2）取 的中点 ，连接 ．证明 ，可得 ，根据 ，证明，根据相似三角形的性质可得 ，进而可得 ；
[问题拓展]方法同（2）证明 ，得出， ，证明 ，得到
，进而可得 ．
【详解】(1)
[问题探究]：（1）如图，
中， ， 是 的中点， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取 的中点 ，连接 ．∵ 是 的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
(2)
[问题拓展]如图，取 的中点 ，连接 ．∵ 是 的中点，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ ．
．
