2025 年中考押题预测卷（全国通用卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．−2025的倒数是（ ）
1 1
A．2025 B．−2025 C．− D．
2025 2025
【答案】C
【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可．
( 1 )
【详解】解：∵−2025× − =1
2025
1
∴−2025的倒数是− ，
2025
故选：C
2．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，
对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
3．国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的
ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法
表示为（ ）
A．5.25×106 B．5.25×108 C．5.25×10−6 D．5.25×10−8
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位
数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：525000000=5.25×108．
故选：B．
4．如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．
结合图形，根据主视图的定义即可求得答案．
【详解】解：这个几何体的主视图为：．
故选：C．
5．为了让人工智能更好地理解情感，工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据
集．训练阶段，人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为（ ）
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式，根据愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集，以及播放出表达
高兴或悲伤情绪语音的结果有2种，代入概率公式进行计算，即可作答．
【详解】解：∵工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静4种情绪的语音数据集．
2 1
∴播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为 = ，
4 2
故选：B
6．如图，CD∥OB，交OA于点E．若∠AEC=130°，则∠O的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．130°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出∠CEO=50°，然后根据两直线平行，内
错角相等即可求解．
【详解】解：∵∠AEC=130°，
∴∠CEO=180°−∠AEC=50°，
∵CD∥OB，
∴∠O=∠CEO=50°．
故选B．
7．我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹
数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为¿，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，此题要理解图1中算筹所示的表示方法，依此即可推出图
2所示的方程组．
【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，
可推出图2所示的算筹表示的方程组：¿．
故选：A．
8．若一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．k≤1 C．k>1 D．k<1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当b2−4ac>0时，方程有
两个不相等的实数根；当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程没有实数
根．
由一元二次方程有两个不相等的实数根可知Δ=b2−4ac>0，代入解一元一次不等式即可．
【详解】解：由题意得，22−4×1×k>0，
解得k<1，
故选：D．
9．如图，AB是⊙O的直径，∠ADC=55∘，则∠AOC的度数为（ ）
A．55° B．70° C．110° D．100°
【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可知
∠AOC=2∠ADC，根据∠ADC的度数可求∠AOC的度数．
⏜ ⏜
【详解】解：∵∠ADC是⊙O中 所对的圆周角，∠AOC是⊙O中 所对的圆心角，
AC AC
∴∠AOC=2∠ADC=2×55°=110°．
故选：C．
10．小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1∶2．若烛焰AC的高
是4cm，则实像DB的高是（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据AC∥DB证明△AOC∽△BOD，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示：AB、CD相交于点O，
∵AC是烛焰的高，DB是实像的高，
∴AC∥DB，
∴△AOC∽△BOD，
∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1∶2，AC=4cm，
4 1
∴ = ，解得：BD=8cm．
BD 2
故选：B．11．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，以下结论中：①abc>0；②b2−4ac>0；③
2a−b=0；④4a−2b+c<0．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，需要具备一定的数形结合分析能力，理解抛物线的解析式
中参数a，b，c对图象的影响，综合抛物线的开口方向，对称轴的位置，函数图象与y轴的交点位置，
与x轴的交点个数，以及函数图象中一些特殊的值，即可判断各个选项．解题的关键是观察抛物线与
两条坐标轴的交点位置、交点个数以及对称轴的位置．
【详解】解：因为抛物线开口向下，
所以a<0；
因为对称轴在y轴左侧，
所以b<0；
因为抛物线与y轴交于正半轴，
所以c>0，
故abc>0，故①正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，
所以b2−4ac>0，故②正确；
b
因为抛物线对称轴为x=− =−1，即2a=b，
2a
所以2a−b=0，故③正确；
因为抛物线对称轴为x=−1，且当x=1时，y=0，
所以当x=−3时，y=0，
所以x=−2时，抛物线在x轴上方，故y=4a−2b+c>0，故④错误；
故选：C．12．如图，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，将正方形沿BE所在直线折叠后，点A的对应点F恰好
落在BC边的垂直平分线PQ上．若AB=6，则AE的长为（ ）
A．3√3 B．6−3√3 C．6√3−9 D．12−6√3
【答案】D
【分析】由折叠的性质及三角函数求得∠BFQ=30°，从而求得FQ求PF；再由折叠的性质及三角函
数求得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ABC=90°，BC=AB=6；
∵PQ垂直平分线段AB，
1
∴BQ= BC=3，∠APQ=90°；
2
∴四边形ABQP是矩形，
∴PQ=AB=6，∠BQF=90°；
由折叠知，AB=BF=6，∠EFB=∠A=90°，AE=EF；
BQ 1
在Rt△FBQ中，sin∠BFQ= = ，
BF 2
√3
∴∠BFQ=30°，FQ=BFcos∠BFQ=6× =3√3；
2
∴PF=PQ−FQ=6−3√3；
∵∠BFQ=30°，∠EFB=90°，
∴∠PFE=60°，
PF
∴AE=EF= =12−6√3，
cos∠PFE
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，锐角三角
函数；熟练掌握这些知识是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．若 √x−2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．【答案】x≥2
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：∵√x−2在实数范围内有意义，，
∴x−2≥0，
∴x≥2，
故答案为：x≥2．
14．在实数范围内分解因式：3m2−27= ．
【答案】3(m+3)(m−3)
【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，平方差公式因式分解等知识点，解题的关键是掌握因
式分解的方法．
先利用提公因式法进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：3m2−27=3(m2−9)=3(m+3)(m−3)
故答案为：3(m+3)(m−3)．
15．桔棉俗称“吊杆”（如图1），是我国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械．桔棉
示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，OA:OB=2:1，当点A运动到点A
1
处时，物体B运动到B 处．若A A =3.6m，则B，B 两点之间的距离为 m．
1 1 1
【答案】1.8
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
证明△AOA ∽△BOB 即可得解．
1 1
【详解】解：连接A A ，BB ，
1 1由题意可知：OA=OA ，OB=OB ，
1 1
OA OA
∴ = 1 ，
OB OB
1
又∵∠AOA =∠BOB ，
1 1
∴△AOA ∽△BOB ，
1 1
A A OA 2
∴ 1= = ，
BB OB 1
1
又A A =3.6m，
1
∴BB =1.8m，
1
故答案为：1.8．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD=3，AB=10，
则△ABD的面积是 ．
【答案】15
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出DE，再根据三角形面积公式计算
即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
1 1
∴S = AB⋅DE= ×10×3=15，
△ABD 2 2
故答案为：15．
17．化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1−10时，依次用天干甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷分子结构
式中“H”的个数是 ．【答案】20
【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律．根据题意，得到氢原子
的数目与碳原子数的规律，即可解答．
【详解】解：观察，发现规律：
甲烷：碳原子的数目x=1，氢原子的数目y=4，4=2×1+2；
乙烷：碳原子的数目x=2，氢原子的数目y=6，6=2×2+2；
丙烷：碳原子的数目x=3，氢原子的数目y=8，8=2×3+2；
..．
∴y与x之间的关系式为y=2x+2；
则壬烷分子结构式中“H”的个数：2×9+2=20，
故答案为：20．
k
18．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y= (x>0)上有一动点A，连接OA并延长至点B，使得
x
OA=AB，点C在x轴上，连接BC交双曲线于点D，延长AD交x轴于点E．若∠ADC=∠OCD，
3
OC=5，tan∠DEC= ，则k的值为 ．
4
【答案】18
1 5
【分析】取CB中点F，连接AF，由中位线定理可得AF= OC= ，AF∥OC，进而可得
2 2
∠AFD=∠DCE，结合题意得∠EDC=∠DCE，则CE=DE，进而得∠AFD=∠EDC=∠ADF，5 3
则AD=AF= ，过点D作DG⊥OC，过点A作AH⊥OC，tan∠DEC= ，则DG=3a，可得
2 4
4 3 ( 3)
DE=CE=5a，cos∠DEC= ，sin∠DEC= ，再通过解直角三角形求得A a+3,3a+ ，
5 5 2
( 3)
D(5+a,3a)，可得(a+3) 3a+ =(5+a)3a=k，解得：a=1，即可求解．
2
【详解】解：取CB中点F，连接AF，
∵OA=AB，即A为OB的中点，
∴AF为△BOC的中位线，
1 5
∴AF∥OC，AF= OC= ，
2 2
∴∠AFD=∠DCE，
∵∠ADC=∠OCD，
∴∠EDC=∠DCE，则CE=DE，
5
∴∠AFD=∠EDC=∠ADF，则AD=AF= ，
2
过点D作DG⊥OC，过点A作AH⊥OC，
3
∵tan∠DEC= ，设DG=3a，
4
4 3
∴¿=4a，则DE=CE=√DG2+GE2=5a，cos∠DEC= ，sin∠DEC= ，
5 5
∴CG=CE−≥=a，则OG=5+a，OE=OC+CE=5+5a，
∴D(5+a,3a)，5
∵AE=AD+DE= +5a，
2
3( 5) 3
∴AH=AE⋅sin∠DEC= 5a+ =3a+ ，
5 2 2
4( 5)
EH=AE⋅cos∠DEC= 5a+ =4a+2，
5 2
则OH=OE−EH=(5+5a)−(4a+2)=a+3，
( 3)
∴A a+3,3a+ ，
2
( 3) k
∵A a+3,3a+ ，D(5+a,3a)在y= (x>0)上，
2 x
( 3)
∴(a+3) 3a+ =(5+a)3a=k，解得：a=1，
2
∴k=(5+1)×3=18，
故答案为：18．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题-第24题每题8分，第25题-第26题每题10分，共68分．解答
应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：
(1) −1
−(π−1) 0+√9； （2）解不等式组：¿．
2
【答案】（1）4；（2）2<x<3
【分析】本题主要考查实数混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和确定不等式组解集
的方法是解答本题关键．
（1）原式分别计算负整数指数幂、零次幂和算术平方根，然后计算加减法即可；；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）
(1) −1
−(π−1) 0+√9
2
=2−1+3
=4
（2）¿，由①得x>2，
由②得x<3，
∴不等式组的解集为2<x<3．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知
DC∥AB．
(1)求证：△AEF≌△DEC；
(2)若AD∥BC，AE=2，求BC的长．
【答案】(1)见详解
(2)4
【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形
的判定方法是解题的关键．
（1）由点E为AD的中点可得DE=AE，由两直线平行，内错角相等，得出∠DCE=∠AFE，利用
AAS即可证明；
（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形ABCD是平行四边形，从而得到
BC=AD，由点E为AD的中点可得AD=2AE=4，即可求得BC的长．
【详解】（1）证明：∵点E为AD的中点，
∴ DE=AE，
∵ DC∥AB，
∴ ∠DCE=∠AFE，
在△DCE和△AFE中，
¿，
∴ △DCE≌△AFE(AAS)；
（2）解：∵ DC∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD，
∵点E为AD的中点，AE=2，
∴ AD=2AE=4，∴ BC=AD=4．
21．（8分）【项目背景】
数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史，从《九章算
术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．
【数据搜集与整理】
某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学
文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：
A．90≤x≤100，B．80≤x<90，C．70<x<80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
【数据分析与运用】
（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数：
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出
一条理由即可）；
（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为
“优秀”(x≥90)的总共有多少人？
【答案】（1）88，87，40；（2）144°；（3）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析；（4）
640人
【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．（1）根据中位数和众数的定义计算即可得解；
（2）用360°乘以“B组”所占的比例计算即可得解；
（3）根据中位数和众数分析即可得解；
（4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解．
【详解】解：（1）八年级C组的人数为10×20%=2人，而八年级B组有4人，
则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，
处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
88+88
∴八年级学生成绩的中位数a= =88，
2
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数b=87，
10−4−10×20%
由题意可得：m%= ×100%=40%，
10
∴m=40；
故答案为：88，87，40；
（2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为360°×(1−20%−40%)=144°；
（3）八年级学生数学文化知识较好，
理由如下：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数
和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好；
（4）该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”(x≥90)的总共有
3
800× +1000×40%=240+400=640（人）．
10
答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”(x≥90)的总共有640人.
22．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增
加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变.
(1)求2，3两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范围内，
这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯
获利4800元？
【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为20%
(2)该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量=一月份的销售量×(1+
月均增长率) 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
[ 6 ]
（2）设每台售价定为y元，则每台的销售利润为(y−30)元，四月份可售出 576+ (40−y) 台，
0.5
利用总利润=每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可
得出结论．
【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：400(1+x) 2=576，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%．
（2）设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
[ 6 ]
依题意，得：(y−30) 576+ (40−y) =4800，
0.5
整理，得y2−118 y+3040=0，
解得y =38，y =80（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
23．（8分）如题2图、题3图是题1图所示的某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴
的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时
（如题2图），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启（如题3图）
时，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动，B到达E时，C恰好到达F，此时
两门完全开启，已知AB=CD=50cm．
(1)如题3图，当∠ABE=60°时，求门打开的宽度BC；
(2)当门打开的宽度与A向AM方向滑动的距离相等时，求此时门打开的宽度BC．【答案】(1)50cm
(2)40cm
【分析】此题考查了含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识的应用，读懂题意是关键．
1
（1）根据含30°角的直角三角形的性质得到BE= AB=25cm，则CF=BE=25cm，即可得到门打
2
开的宽度BC；
（2）设BC=x，则AE=BC=x,在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，据此列方程即可求出答案．
【详解】（1）解：在Rt△ABE中，∠ABE=60°，
∴∠EAB=30°，
∵AB=CD=50cm．
1
∴BE= AB=25cm ,EF=AB+CD=100cm，
2
∴CF=BE=25cm，
∴BC=EF−BE−CF=100−25−25=50cm，
答：门打开的宽度BC为50cm；
（2）设BC=x，
∵AE=BC，
∴AE=BC=x,
在Rt△ABE中，
AE2+BE2=AB2，
1
∵BE= (100−x)，
2
2
[1 ]
∴ (100−x) +x2=502 ，
2
解得x=0（不合题意，舍去）或x=40，
答：当门打开的宽度与A向AM方向滑动的距离相等时，求此时门打开的宽度40cm．
24．（8分）某种装置由两个厚度均为1的圆弧形金属块紧密嵌套而成，其截面示意图如图1所示，其中
AE´B，CP´D所在圆的圆心均为O，两段优弧所对的圆心角均为240°，AE´B所在圆的半径为4．将该
装置放置在水平桌面MN上，与桌面MN相切于点P．装置内部存有一定量的液体，液面记为EF，已
知EF∥MN，外侧金属块固定不动，内侧金属块可转动一定的角度．(1)求优弧CP´D的长；
(2)当内侧金属块转动到如图2所示的位置时，连接AC，BD，求证：AC=BD；
(3)已知装置内部液体的液面EF=4√3，当内侧金属块转动到液面的一端E恰好与点A重合时，如图
3，求点B到桌面MN的距离．
【答案】(1)8π
(2)见解析
(3)10
【分析】本题考查了圆的切线的性质，弧长公式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三
角形的性质．
（1）由已知可得优弧CP´D在圆的半径为6，所对的圆心角为240°，根据弧长公式计算即可；
（2）连接OA，OB，OC，OD，由题意知∠AOB=∠COD，再证明△AOC≌△BOD(SAS)即可；
（3）连接OP，交EF于点G，连接OA，OB，OF，由题意知OP⊥MN，EF∥MN，进而得
EG √3
EG=FG=2√3，解直角三角形得sin∠EOG= = ，∠EOG=60°，∠EOF=120°，推出
OA 2
∠BOF+∠FOG=180°，证明点B，O，G，P在同一条直线上，点B到桌面MN的距离即为BP的
长度，即可求解．
【详解】（1）解：∵AE´B所在圆的半径为4，圆弧形金属块的厚度均为1，
∴CP´D所在圆的半径为6，
∵优弧CP´D所对的圆心角为240°，
240π×6
∴l = =8π；
CP´D 180
（2）解：连接OA，OB，OC，OD，如图，由题意∠AOB=∠COD=360°−240°=120°，
∴∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD；
（3）解：连接OP，交EF于点G，连接OA，OB，OF，如图，
由题意，OP⊥MN，EF∥MN，
∴OP⊥EF，
∴EG=FG=2√3，
EG √3
∴在Rt△EOG中，sin∠EOG= = ，
OA 2
∴∠EOG=60°，
∴∠FOG=∠EOG=60°，∠EOF=120°，
∵AE´B所对的圆心角为240°，
∴∠BOF=240°−120°=120°，
∴∠BOF+∠FOG=180°，
∴点B，O，G，P在同一条直线上，
∴点B到桌面MN的距离即为BP=4×2+2=10．
25．（10分）综合与实践【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在△ABC中，AB=CB，AC≠AB，∠ABC=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点
D，E的对应点分别是点B，C．
【初探感知】（1）如图1，∠E=____________°；
【深入领悟】（2）如图2，当线段DE经过点C时，求证：AD⊥BC；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在BC的延长线上时，过点E作EG∥BD，
交BA的延长线于点G．请你判断线段AG和CD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）67.5；（2）见解析；（3）AG=CD，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理．
（1）根据旋转的性质得到∠E=∠C，由△ABC是等腰三角形，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据旋转的性质得到AE=AC,∠ACB=∠E=67.5°,∠ADE=∠ABC=45°，进而得到
∠ACE=∠E=67.5°，由平角的定义即可计算出∠DFC=90°，即可得出结论；
（3）延长BG,DE交于点 H，由旋转的性质得，AD=AB=DE=BC，
∠ADE=∠ABC=45°,∠ACB=∠AED=67.5°，进而得到HD=BD，推出HE=CD，根据
EG∥BD，推出∠H=∠HGE,∠GEA=∠HGE−∠GAE=22.5°，得到¿=AG，即可证明结论．
【详解】解：（1）根据旋转的性质得到∠E=∠C，
∵ AB=CB，∠ABC=45°，
180°−∠ABC
∴ ∠E=∠C= =67.5°；
2
（2）证明：由旋转的性质得：AE=AC,∠ACB=∠E=67.5°,∠ADE=∠ABC=45°，
∴∠ACE=∠E=67.5°，
∴∠BCE=135°，
∴∠DFC=∠BCE−∠ADE=135°−45°=90°，
∴AD⊥BC；
（3）AG=CD，
理由：如图3，延长BG,DE交于点 H，由旋转的性质得，AD=AB=DE=BC，∠ADE=∠ABC=45°,∠ACB=∠AED=67.5°，
∴∠ADB=∠ABC=45°，
∴∠BDE=90°，
∴∠H=45°=∠ABC,∠GAE=∠AED−∠H=22.5°，
∴HD=BD，
∴HD−DE=BD−BC即HE=CD，
∵EG∥BD，
∴∠HGE=∠ABC=45°，
∴∠H=∠HGE,∠GEA=∠HGE−∠GAE=22.5°，
∴HE=≥,∠GEA=∠GAE，
∴¿=AG，
∴AG=CD．
26．（10分）综合与探究
【定义】对于y关于x的函数，函数在x ≤x≤x (x <x )范围内有最大值m和最小值n，则m−n称为极
1 2 1 2
差值，记作R[x ,x ]=m−n．
1 2
【示例】如图（a），根据函数y=2x的图象可知，在−1≤x≤2范围内，该函数的最大值是4，最小
值为−2，即R[−1,2]=4−(−2)=6．请根据以上信息，完成下列问题：
6
(1)直接写出反比例函数y= 的R[1,3]的值为______；
x
(2)已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(2,−3)．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的R[−1,4]的值．
(3)已知函数y =kx(k>0)，函数y =(a−1)x2−4ax+a2−1的图象经过点(0,0)，且两个函数的
1 2
[ 3 ]
R 0, 相等，求k的值．
2k
【答案】(1)4
(2)①y=x2−6x+5；②见解析；③16
(3)k=4或3
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的增减性，画二次函数图象，待定系数法求解析式，
正确理解新定义是解题的关键．
（1）先判断出反比例函数的增减性，再分别求出自变量为1和3时的函数值，从而得到当1≤x≤3时，
2≤ y≤6，据此根据极差值的定义求解即可；
（2）①利用待定系数法求解即可；②根据①所求利用描点法画函数图象即可；③根据解析式判断出
函数的增减性，进而求出当−1≤x≤4时函数值的取值范围即可得到答案；[ 3 ]
（3）先判断出y =kx(k>0)的增减性，进而求出y 的最大值和最小值，则可得到R 0, 的值，再
1 1 2k
[ 3 ] [ 3 ]
利用待定系数法求出y 的解析式，根据y 的R 0, 等于y 的R 0, 求解即可．
2 2 2k 1 2k
6
【详解】（1）解：∵反比例函数解析式为y= ，6>0，
x
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
当x=1时，y=6，当x=3时，y=2，
∴当1≤x≤3时，2≤ y≤6，
∴R[1,3]=4；
（2）解：①∵二次函数y=x2+bx+5的图象经过点(2,−3)，
∴−3=22+2b+5，
∴b=−6，
∴二次函数解析式为y=x2−6x+5；
②如图所示函数图象即为所求；
③∵二次函数解析式为y=x2−6x+5=(x−3) 2−4，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,−4)
∴离对称轴越远函数值越大，
∵3−(−1)=4>4−3=1，
∴当−1≤x≤4时，函数值在x=−1时取得最大值，最大值为y=(−1−3) 2−4=12，∴当−1≤x≤4时，−4≤ y≤12，
∴R[−1,4]=12−(−4)=16；
（3）解：∵函数y =kx(k>0)的图象经过点(0,0)，
1
∴函数y 的图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，
1
3 3 3 3
∴当0≤x≤ 时，当x=0时，y 有最小值，最小为0，x= 时，y 有最大值，最大值为k· =
2k 1 2k 1 2k 2
[ 3 ] 3
∴函数y 的极差值为：R 0, = ；
1 2k 2
∵函数y =(a−1)x2−4ax+a2−1的图象经过点(0,0)，
2
∴a2−1=0，
解得，a=±1，
当a=1时，y =−4x，
2
∴函数y 的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，
2
3 3 3 6
∴当0≤x≤ 中，当x=0时，y 有最大值，最大为0，x= 时有最小值，最小值为−4⋅ =− ，
2k 2 2k 2k k
[ 3 ] ( 6) 6
∴函数y 的极差值为R 0, =0− − = ，
2 2k k k
[ 3 ]
∵两个函数的R 0, 相等，
2k
6 3
∴ = ，
k 2
解得，k=4；
当a=−1时，y =−2x2+4x=−2(x−1) 2+2，
2
∴二次函数y 的图象开口向下，对称轴直线为x=1，顶点坐标为(1,2)，
2
∴当x=1时，二次函数有最大值，最大值为1，当x≤1时，y随x的增大而增大，
3
当0≤x≤ 时，函数y =−4x2+4x的最小值为0，
2k 2
[ 3 ] 3 [ 3 ]
∵函数y =kx(k>0)的极差值R 0, = ，两个函数的R 0, 相等，
1 2k 2 2k3
∴y 的最大值为 ，
2 2
3
∴0< <1
2k
3
当−2x2+4x=
，
2
1 3
解得，x = ，x = （舍去）
1 2 2 2
1
∴x= ，
2
3 1
∴ = ，
2k 2
解得，k=3，
综上所述，k的值为3或4．
