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2025 年中考第三次模拟考试（广东卷） 4．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若 ，则 的度数为
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 A． B． C． D．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
5．下列计算正确的是
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 A． B． C． D．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
6．某工厂为了解工人加工某工件的情况，随机抽取了部分工人一天加工该工件的个数进行了
第Ⅰ卷
统计，统计数据如表所示，则被抽取的工人一天加工该工件的中位数和众数分别是
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
一天加工该工件的个数 70 80 90 100 110
要求的.
（个
1． 的相反数是
工人人数 4 11 10 8 7
A．90，80 B．90，90 C．95，90 D．95，80
A． B． C． D． 7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形
拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是1，直角三
2．如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是
角形的两直角边长分别为 、 ，那么 的值是
A． B． C． D．
3．1846年，法国数学家、天文学家勒维耶 ，以自己的热忱独立完成 A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图 2，某桨轮船的轮子可看
了海王星位置的推算，并要求法国和德国的天文台进行观测．1846年9月23日晚间，海王星
作圆，被水面截得的弦 长为 ，轮子的吃水深度 为 ，半径 于点 ，则该桨
被发现，与勒维耶预测的位置相距不到1”，这是第一次用数学计算的方法发现了行星．海王
轮船的轮子直径为
星围绕太阳公转的轨道半长径为 ，数据4500000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分.
11．不等式组 的解集为 ．
12．已知 ， ，则多项式 的值为 ．
13．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图 ，是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水
A． B． C． D．
9．如图，在 △ 中， ， ， ．将△ 折叠，使点 与边 的中 机械．桔槔示意图如图 2 所示， 是垂直于水平地面的支撑杆， 米， 是杠杆，
米， ，当点 位于最高点时， ，此时，点 到地面的距离为
点 重合，折痕为 ，则线段 的长为
．
A． B． C．2 D．
14．如图，菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ， ，
10．如图，二次函数 图象的一部分与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴为
直线 ，结合图象给出下列结论：① ；② ；③关于 的一元二次方程
与 交于点 ，若反比例函数 经过点 ，则 ．
的两根分别为 和1；④若点 ， ， 均在二次函数图象上，
则 ；⑤ 为任意实数）．其中正确的结论有
15．如图， 是 的直径，将弦 绕点 顺时针旋转 得到 ，此时点 的对应点 落
在 上，延长 ，交 于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
第Ⅱ卷
16．计算： ．17．已知：如图，在△ 中， 是边 上一点．
求作：在边 上作一点 ，使得 ．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点 为圆心， 为半径画弧，再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧在
上方交于点 ，作直线 交 于点 ．
小亦：如图2，先作 的平分线 ，然后
四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分.
19．某中学在初一、初二两个年级举办“芯片知识知多少”课外知识积累大赛．为了解学生知
识积累情况，从这两个年级根据学籍编号随机抽取部分学生，并对他们的成绩进行了整理制作
成统计图．（说明：满分为 100 分，学生成绩 均为不小于 60 分的整数，分为四个等级：
， ， ， ．
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由．
素材一：如初一、初二两个年级学生成绩的频数分布直方图：
（2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明．
18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示
屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长 ，点 为摄像机旋转轴心， 为 的中点，
显示屏的上沿 与 平行， ， 与 连接，杆 ， ， ，
点 到地面的距离为 ．若 与水平地面所成的角的度数为 ．
（1）求显示屏所在部分的宽度 ；
（2）求镜头 到地面的距离．
（参考数据： ， ， ，结果保留一位小数）
素材二：初一年级学生成绩在 等级的数据（单位：分）如下：
80 84 85 86 87 87 87 87 89
素材三：如初一年级学生扇形统计图所示项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意
义．
数据收集1 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据．
（行驶费用） 车 车
每千米行驶费用 元 元
总行驶费用 7.5元 18.75元
根据以上信息，回答下列问题：
数据收集2 设：小明一家年平均行驶里程为
（1）本次调查抽取的初一学生成绩为 等级的学生人数最多（填“ ”或“ ”或“ ”
（其它费用） 车
或“ ” ； 保险 6500元 年
车机服务 1230元 年
（2）求初一扇形统计图中 等级对应扇形的圆心角度数；
车
（3）该校初一共有320名学生，全年级学生都参加本次大赛，请估计成绩为 等级的学生人
保险 2900元 年
数；
保养 元
（4）推荐两名同学参加上级举办的“芯片知识知多少”知识竞赛和化学实验活动，为祖国培
养复合型人才．为了选拔选手，化学老师给出如下题目：用酚酞溶液检测 4瓶因标签污损无法
项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、
项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程 ，帮小明家确定购
氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小明和小亮从中各选 1瓶溶液 车方案．
滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色
的概率．
21．一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分（如图 ．
20．
项目化学习——家庭购车计划分析单
项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新
车，看中了售价相同的 款纯电动汽车和 款燃油车．经过家庭会议之后分
析如下：
纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜， 燃油车：保险等费用较低，但
行驶费用低． 油费、保养等费用高．
项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其
中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中，
那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试：
， ， ，旋转角为 ．
【活动1】
如图2，先对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，然后再对折，得到折痕
【初步感知】
、 ，展开后折出对角线 ，对角线 与 、 、Ⅱ分别交于点 、 、 ，最后
沿 折叠，得到折痕 ，则点 将边 三等分． （1）如图1，将三角形纸片 绕点 旋转，连接 ， ，求 的值；
（1）请说出点 将边 三等分的理由． 【深入探究】
【活动2】 （2）如图2，在三角形纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在△ 的中线 的延长
如图3，先对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，然后把纸片展平，再次折 线上时，延长 交 于点 ，求 的长；
叠纸片，使点 落在 上的点 处，得到折痕 和线段 ． 【拓展延伸】
（2）请说出 被 、 三等分的理由； （3）在三角形纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点，能否构成以 为直角边
（3）如图4，在折叠过程中，不小心将点 往右去了一点，点 的对应点 落到了 下方， 的直角三角形．若能，求线段 的长度；若不能，请说明理由．
延长 交 于点 ．若正方形纸片的边长为 ，此时 ，则 ．
五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分.
22．如图，经过 ， 两点的抛物线交 轴正半轴于点 ，以 点为圆心， 长为半
径作 交 轴另一点于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求点 、点 的坐标；
（2）过 点作 的切线与抛物线交于点 ，若 点的纵坐标为 ，四边形 的面积为 ．
①求 与 的函数关系式；
②若△ 和△ 相似，求 取最大值时， 的值．
