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专题 11 平行线成比例、相似三角形、位似
成比例线段
1．（23-24九年级上·湖南常德·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（ ）
A． B．1，2，3，4 C． D．
3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列四条线段中，能与 ， ， 这三条线段组成比例
线段的是（ ）
A． B． C． D．比例的性质
1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）若 ，则 ．
2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如果 ，那么 ．
3．（23-24九年级上·广东清远·期末）若 ，且 ，则 ．
4．（24-25九年级上·全国·期末）计算：
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
5．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果 ，
那么 ．
理由如下：
∵
∴ ， ， （第一步）
∴ （第二步）
(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中， 应用了______的基
本性质；
(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果 ，则 ______；
②已知 ，求 的值．由平行判断成比例的线段
1．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图， ，若 ， ，则 等于（ ）
A． B．3 C． D．4
2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，直线 ，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 与 相交于点 ，且 ，
， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．黄金分割
1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段 ，经过点 作 ，使 ，连接
AD，在AD上截取 ；在AB上截取 ，则 ．
2．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在这架小提琴中，点C是线段AB的黄金分割点（ ）．
若 ，则 cm．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是意大利著名画家达・芬奇（ 年）的名画
《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形 内，图中四边形 为正方形．已知点 为线段 的黄
金分割点，且 ， ．则 ．
4．（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正
方形 的边 取中点 ，以 为圆心，线段 为半径作圆，其与边 的延长线交于点 ，这样就
把正方形 延伸为黄金矩形 ，若 ，则 ．选择或补充条件使两个三角形相似
1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，线段 相交于点A，连接 ，请添加一个条件，
使 ，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可）
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图， 、 分别是 的边 、 上的点，请你添加一个条
件，使 与 相似，你添加的条件是 ．
3．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，在 中，点 在 上（不与点 ， 重合），连接 ．
只需添加一个条件即可证明 与 相似，这个条件可以是 (写出一个即可) ．
4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知 ，请添加一个条件 ，使得．
利用相似三角形的性质求解
1．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）若 ， ， ， 面积为10，则
的面积为 ．
2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在 中，点D，E分别在 ， 上，且 ，若
， ， ， ，则 与 之间的距离是 ．
3．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图 中，点 是 中点，连接 交 于点 ，若
的面积为 ，则 的面积为
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在 中，点 是 的中点，连接 相交于点 ，
则 的周长与 的周长之比 ．由平行截线求相关线段的长或比值
1．（23-24九年级上·广东河源·期末） 是 的中线，E是 上一点， ， 的延长线交
于F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线 、 、 分别交直线 于点A、B、C、交直线 于点
D、E、F，如果 ， ，那么 ．3．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，直线 交于点O， ．若 ， ，
．则 的值为 ．
4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在 中， 是 的中点，点 在 上，连接 并延
长交 于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
5．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）如图，在 中，F为 的中点，过点F作 于点E，交
的延长线于点D，若 ， ， ，则 的长为 ．
6．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图， 相交于点E， 在一条直线
上． ．(1)求 的值；
(2)求 的长．
相似三角形动点多解题
1．（23-24九年级上·河南开封·期末）在 中， ， ， ，动点 从点 开
始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，如果 、
两点分别从 、 两点同时出发，那么当 与 相似时， 的面积是 ．
2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形 中， ，点 是对角线BD的中点，
点 从点 出发沿着边按由 的路径运动，到达终点 停止，当以点 、 、 为顶点的三角
形与 相似时，则线段 的长为 ．
3．（22-23九年级上·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ，点P从点A开始沿边
向点B以 的速度移动，点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动．若点P、Q分别从
点A、B同时出发，问经过 秒钟， 与 相似．相似三角形的判定和性质
1．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在 中， 为直角， 于D．在
中，E是 的中点． 的延长线与 的延长线交于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中， ，点 分别是 边上的点，且
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 时，求 的长．
3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形 中，E、F分别是边 、CD上的点，
， ，连接 并延长交 的延长线于点G．
(1)求证： ；
(2)若正方形的边长为4，求 的长．
4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在矩形 中，点E在 边上，连接 ，过点D作射线
的垂线，垂足为F，连接 ．(1)如图（1），若 ，求 的长；
(2)如图（2），若E为 中点．
①求证： ；
②当 时，判断 是否正确，如判断正确，无需写出理由；若判断错误，请直接写出正
确结果 等于多少．
5．（23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1， ，求证： ．
【深入探究】如图2，等边 中， ， 是 上的动点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转
得到 ，连接 ，当点 从 运动到 时，求点 的运动路径长．
【应用拓展】如图3，等腰 中， ， 于 ， 是 上的一点，连接 ，将
绕着点 逆时针旋转 得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的值为_______．
在平面直角坐标系中画位似图形
1．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
及平面直角坐标系 ．(1)将直接写出 关于x轴对称的 各点的坐标：A ，B ，C ；
1 1 1
(2)以点O为位似中心，位似比为2∶1，在第四象限将 放大为原来的2倍得到 ，请作出
；
(3)在（2）的条件下，若 上的点P(x,y)位似的对应点为点 ，则点 的坐标为 ．
2．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知： 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、
、 （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出 绕原点 顺时针旋转 得到的 ，点 的坐标是___________；
(2)以点 为位似中心，在网格内画出 ，使 与 位似，且位似比为 ，点 的坐标是
___________；
(3) 的面积是___________平方单位．
3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为， ，(0,2)．
(1) 与 是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；
(2)以点 为位似中心，将 放大为原来的2倍得到 （其中 与A， 与B， 与C是
对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．
4．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为 ．
(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将 放大为原来的两倍，画出 ；
(2)A点的对应点 的坐标是 ； 的面积是 ；
(3)在 上有一点 ，按（1）的方式得到的对应点 坐标是 ．在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图， 和 是以点O为位似中心的位似图形，若
， 的面积等于3，则 的面积 ．
2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图， 与 位似，点O为位似中心， ， 的
面积为2，则 的面积为 ．
3．（22-23九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点坐标分别是
，已知矩形 与矩形 位似，位似中心是原点 ，且知形
的面积等于矩形 面积的 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
