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2022年广东省中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．|﹣2|＝（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．计算22的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．下列图形中有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
4．如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（ ）
A． B． C．1 D．2
6．在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
7．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，一定正确的是（ ）
▱
A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC
9．点（1，y ），（2，y ），（3，y ），（4，y ）在反比例函数y＝ 图象上，则y ，y ，y ，y 中最小的是
1 2 3 4 1 2 3 4
（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
10．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2 r．下
列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．C是常量 π
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．sin30°＝ ． π
12．单项式3xy的系数为 ．
13．菱形的边长为5，则它的周长是 ．
14．若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ ．
15．扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留 ）为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共18分．
π
第1页（共10页）16．（8分）解不等式组： ．
17．（8分）先化简，再求值：a+ ，其中a＝5．
18．（8分）如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：△OPD≌△OPE．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则
多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
20．（9分）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数
关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（12分）如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝ ，AD＝1，求CD的长⊙度． ⊙
23．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，
0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
第2页（共10页）第3页（共10页）2022年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．|﹣2|＝（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：根据绝对值的意义：|﹣2|＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键．
2．计算22的结果是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【分析】应用有理数的乘方运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：22＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则进行求解是解决
本题的关键．
3．下列图形中有稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
4．如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】利用平行线的性质可得结论．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角角相等”是解决本题的关
键．
5．如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】由题意可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE的
长度．
【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，BC＝4，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝ ×4＝2，
第4页（共10页）故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题
的关键．
6．在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
【解答】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的平移规律是解答本题
的关键．
7．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】应用简单随机事件概率计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
P（A）＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求解是解
决本题的关键．
8．如图，在 ABCD中，一定正确的是（ ）
▱
A．AD＝CD B．AC＝BD C．AB＝CD D．CD＝BC
【分析】根据平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题
的关键．
9．点（1，y ），（2，y ），（3，y ），（4，y ）在反比例函数y＝ 图象上，则y ，y ，y ，y 中最小的是
1 2 3 4 1 2 3 4
（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
【分析】根据k＞0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关
系可作判断．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y ），（2，y ），（3，y ），（4，y ）在反比例函数y＝ 图象上，且1＜2＜3＜4，
1 2 3 4
∴y 最小．
4
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象的增减性是解答此题的
关键．
10．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2 r．下
列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B． 是变量 C．r是变量 D．C是常量 π
【分析】根据变量与常量的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得π，
在C＝2 r中．2， 为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C．
【点评】π本题主要考π查了常量于变量，熟练掌握常量与变量的定义进行求解是解决本题的
第5页（共10页）关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．sin30°＝ ．
【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
【解答】解：sin30°＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟练掌握特殊角三角函数值进行求解是解决
本题的关键．
12．单项式3xy的系数为 3 ．
【分析】应用单项式的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：单项式3xy的系数为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了单项式，熟练掌握单项式的定义进行求解是解决本题的关键．
13．菱形的边长为5，则它的周长是 2 0 ．
【分析】根据菱形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵菱形的四边相等，边长为5，
∴菱形的周长为5×4＝20，
故答案为20．
【点评】本题考查菱形的性质、解题的关键是记住菱形的四边相等，属于中考基础题．
14．若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，计算即可得出答案．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，应用二元一次方程的解的定义进行求解是解
决本题的关键．
15．扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留 ）为 ．
【分析】应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
π π
【解答】解：S＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ． π
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解即可得
出答案． π
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共18分．
16．（8分）解不等式组： ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解： ，
由①得：x＞1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为1＜x＜2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17．（8分）先化简，再求值：a+ ，其中a＝5．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到最简结果，把a的值代入计算即
可求出值．
第6页（共10页）【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
当a＝5时，原式＝ ＝ ＝11．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：△OPD≌△OPE．
【分析】根据角平分线性质得出PD＝PE，即可利用HL证明Rt△OPD≌Rt△OPE．
【解答】证明：∵∠AOC＝∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则
多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【分析】设有x人，该书单价y元，根据“如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，
则少了4元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设学生有x人，该书单价y元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：学生有7人，该书单价53元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
20．（9分）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数
关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 2 5
y 15 19 25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
第7页（共10页）所以y与x的函数关系式为y＝2x+15；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
【点评】本题主要考查了函数关系式及函数值，熟练掌握函数关系式及函数值的计算方法
进行求解是解决本题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（12分）如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝ ，AD＝1，求CD的长⊙度． ⊙
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为 O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB⊙＝∠CDB，
∴ ，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝ ，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝ ．
即CD的长为： ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握
相关性质定理是解答本题的关键．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，
0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
第8页（共10页）【分析】（1）根据A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，
即可求解；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，设P（m，0），则PA＝1﹣m，易证△PQA∽△BCA，利用相似三角
形的性质即可求出QE的长，又因为S△CPQ ＝S△PCA ﹣S△PQA ，进而得到△CPQ面积和m的
二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，
0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴OC＝3 AB＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴ ，即 ，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ ＝S△PCA ﹣S△PQA
第9页（共10页）＝ PA•CF﹣ PA•QE
＝ （1﹣m）×4﹣ （1﹣m）（1﹣m）
＝﹣ （m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ 有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，
相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此
题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题．
第10页（共10页）
