文档文本内容
2023 学年第二学期九年级调研测试数学（问卷）
（本试卷分选择题和非选择题两部分，共 6页，满分 120分，考试用时 120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇（街）、学校、试室
号、姓名、座位号及准考证号，并用 2B铅笔填涂准考证号．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的
相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能
超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．本次考试不允许使用计算器．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束将问卷与答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 10题，每题 3分，满分 30分，在每题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目的要求）
1. -2的倒数是（ ）
1
1
A. -2 B. - C. D. 2
2 2
【答案】B
z
x
【解析】 x
k
.
c
【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积o为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）
m
求解．
1
【详解】解：-2的倒数是- ，
2
故选：B．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
第1页/共24页【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点
旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
n瘪a
3. 数学上一般把 记为（ ）
a×a×a××a
A. an B. n+a C. na D. na
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘方的意义解答即可．
n瘪a
【详解】解：数学上一般把 记为an．
a×a×a××a
故选A．
【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a×a×a...×a计作an，这种求几个相
同因数的积的运算，叫做乘方，乘方z的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数．
x
x
k
4. 下列计算正确的是（ ）
.
c
o
A. ( 3ab3)2 =9a2b6 m B. a2×a3 =a6
C. 5a-2a=3 D. (a+b)2 =a2 +b2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，利用积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则及完全平方公式
逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、 ( 3ab3)2 =9a2b6，则A符合题意；
B、a2×a3 =a5，则B不符合题意；
C、5a-2a=3a，则C不符合题意；
D、(a+b)2 =a2 +b2 +2ab，则D不符合题意；
第2页/共24页故选：A．
5. 已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. a>b B. a-b>0 C. a - b <0 D. ab<0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算；由数轴可知，a<0<b, a > b ，然后利用实数的运算法则
判断即可；熟知实数与数轴的对应关系并熟练的判断大小是关键．
【详解】解：由数轴可知，a<0<b, a > b
\a<b， a - b >0，ab<0，故A、C错误，D正确；
\a-b<0，故B错误；
故选：D．
6. 如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，O的半径为
1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则ÐAPB等于（ ）
z
x
x
k
.
c
o
m
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理求解即可．
1
【详解】ÐAPB= ÐAOB=45°，
2
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，熟记同圆中一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．
7. 一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b<0，则这个函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
第3页/共24页【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵b<0，
∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC；②∠BAD＝∠BCD；
③AC⊥BD；④∠BAD＋∠ABC＝180°中，正确 个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据平行四边形的性质依次分析各选项即可作出判断.
z
x
∵平行四边形ABCD x
k
.
c
∴OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD＋∠ABC＝o180°，但无法得到AC⊥BD
m
故选C.
考点：平行四边形的性质
点评：平行四边形 判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知
识点，一般难度不大，需熟练掌握.
9. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i=1: 3，堤宽 AC =30米，则坡面 AB的长度是（ ）
A. 20 3米 B. 30米 C. 10 3米 D. 10米
【答案】A
第4页/共24页【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的
比是银师的关键．
根据坡度的概念求出BC，再根据勾股定理求出AB．
【详解】解：迎水坡AB的坡度i =1: 3，
\BC:AC=1: 3，
AC =30米，
\BC =10 3米，
由勾股定理得：AB= BC2 +AC2 = (10 3)2 +302 =20 3（米)，
故选：A．
10. 已知关于x的一元二次方程 (k -1)x2 +k2x+1=0有两个实数根x，x，且满足
1 2
(x +1)(x +1)=2，则k的值是（
）
1 2
A. k =-1 B. k =1 C. k =-2 D. k =1或k =-2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根z与系数的关系，由 (x +1)(x +1)=2可知x ×x +(x +x )+1=2，
x
1 2 1 2 1 2
x
k
.
然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟c知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式
o
m
是关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 (k-1)x2 +k2x+1=0有两个实数根x，x，
1 2
k2 1
Ｂk-1¹0,x +x = ,x ×x =
1 2 1-k 1 2 k-1
(x +1)(x +1)=2
1 2
\x ×x +(x +x )+1=2
1 2 1 2
1 k2
Ｂ + +1=2
k-1 1-k
(1-k)(1+k)
\ =-(1+k)=1
k-1
第5页/共24页\k =-2
经检验k =-2时，D >0，符合题意；
故k的值为-2
故选：C．
二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分）
11. 要使二次根式 3-a有意义，则a的值可以是___．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．掌握被开方数不
小于零的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可知
3-aＬ0
解得a£3
故答案为：3（答案不唯一）
12. 因式分解：2x2 -18=______．
【答案】2（x+3）（x﹣3）
【解析】
z
x
【分析】先提公因式2后，再利用平方差x公式分解即可．
k
.
c
【详解】2x2 -18=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． o m
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
【点睛】考点：因式分解．
13. 某校九年级（1）班对全班50名学生进行了“一周（按7天计算）做家务劳动时间（单位：小时）”
的统计，并整理成频率分布表如下：
一周做家务劳动时间（单位：小时） 0 1 2 3 4 5
频率 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1
①该班学生一周做家务劳动时间为3小时的有____名同学；
②该班学生一周做家务劳动时间的中位数为____小时．
【答案】 ①. 15 ②. 3
【解析】
第6页/共24页【分析】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是能够读懂统计表并从中整理出进一步解题的有关信
息．
（1）根据频率=频数÷总数，可求出一周做家务劳动时间为3小时的学生数量；
（2）根据中位数的定义把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位
数，即可求出答案．
详解】解：（1）0.3÷50=15（名)，
故答案为：15．
（2）根据题意可知共50人，其中第25和第26人的平均数是中位数，
将数据从小到大排列，第25个和第26个为3、3，
所以这组数据的中位数为：(3+3)÷2=3，
故答案为：3．
14. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是-2，则
点B在数轴上表示的数是____．
【答案】4
z
【解析】 x
x
k
.
【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点c间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
o
m
8-x 5-3
根据题意，设点B在数轴上表示的数为x，再根据平行线分线段成比例定理，可得 = ，即
x-(-2) 3-0
24-3x=2x+4，求解即可．
【详解】解：由图可知，A点在直尺的0刻度上，点B在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图
中的虚线相互平行，
点A在数轴上表示的数是-2，
设点B在数轴上表示的数为x，
8-x 5-3
\ = ，即24-3x=2x+4，
x-(-2) 3-0
解得：x=4，
即点B在数轴上表示的数为4，
故答案为：4．
15. 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为
第7页/共24页4
α，tanα＝ ，则圆锥的底面积是_____平方米．(结果保留π)
3
【答案】36π
【解析】
AO 4
【详解】解：∵AO=8，tanα= = ，∴BO=6，∴圆锥的底面积是π×62=36π平方米．故答案为36π．
BO 3
16. 如图，在RtアABC 中，AC = BC，ÐACB=90°，O为斜边 AB的中点，P为ABC形外一点，
ÐBPC =60°，①若AC =2，则OC =____；②若PB=6 3，PO=7 2，则PC的值为____．
【答案】 ①. 2 ②. 4
【解析】 z
x
x
k
【分析】（1）直接利用斜边上的中线和勾股定理求解即可；
.
c
o
（2）将OBP绕点O旋转90度得到アOCP¢，m 连接PP¢，过点P¢作P¢D^ PC，旋转结合勾股定理求出
PP¢的长，根据四边形的内角和，结合旋转推出ÐP¢CD=30°，利用含 30 度角的直角三角形的性质，求
出P¢D,CD的长，勾股定理求出PD的长，用PD-CD求出PC的长．
【详解】（1）连接CO，
∵AC = BC，ÐACB=90°，O为斜边 AB的中点，
第8页/共24页∴AB= 2AC=2 2，
∵O为斜边AB的中点，
1
∴OC ^ AB，OC = AB=OB= 2；
2
故答案为： 2；
（2）∵OC ^ AB，OC =OB，
∴OCB为等腰直角三角形，
将OBP绕点O旋转90度得到アOCP¢，连接PP¢，过点P¢作P¢D^ PC，
z
x
x
k
.
则：BP=CP¢=6 3,OP=OP¢=7 2,ÐPcOP¢=90°,ÐPBO=ÐP¢CO，
o
m
∴PP¢= OP2 +OP¢2 =14，
∵ÐCOB=90°,ÐCPB=60°，
∴ÐOCP+ÐOBP=360°-90°-60°=210°，
∴ÐOCP+ÐOCP¢=360°-90°-60°=210°，
∴ÐPCP¢=360°-(ÐOCP+ÐOCP¢)=360°-210°=150°，
∴ÐP¢CD=30°，
在RtP¢CD中，ÐP¢CD=30°,CP¢=6 3，
1
∴P¢D= CP¢=3 3，CD= 3CP¢=9，
2
∴PD= PP¢2 -P¢D2 =13，
第9页/共24页∴PC = PD-CD=4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理，旋转等知识点，综合性质强，难
度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是通过旋转构造特殊三角形．
三、解答题（本大题共 9题，满分 72分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
ì3x-(x+1)£5
ï
17. 解不等式组：í x
x> -1
ï
î 2
【答案】-2<x£3
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不
到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
ì3x-(x+1)£5Ｒ
ï
【详解】解：í x
x> -1Ｓ
ï
î 2
由①得：x£3，
由②得：x>-2，
z
∴原不等式组的解集为：-2<x£3． x
x
k
.
18. 如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．若cCE=10cm，求DF的长．
o
m
【答案】10cm
【解析】
【分析】先根据条件判定两三角形全等，再对应三角形全等条件求解．
【详解】解：∵CE⊥DF，
∴∠CDF+∠DCE=90°，
又∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，
第10页/共24页∴∠CDF=∠BCE，
在正方形ABCD中
又∵BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE=DF，
∵CE=10cm，
∴DF=10cm．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形对的性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判
定两个三角形全等，再对应三角形全等条件求解．
19. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要
2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．
（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．
1
【答案】（1）随机 （2）
6
【解析】
【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；
（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
z
【小问1详解】 x
x
k
.
解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机c事件；
o
m
【小问2详解】
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，
2 1
所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率= = ．
12 6
【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树
状图的方法是解本题的关键．
20. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖
第11页/共24页了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城
市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢
马速度的2倍，求规定时间是多少天．
【答案】7天
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度
的2倍列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为 x 天，则慢马送的时间为
(x+1)
天，快马送的时间为
(x-3)
天，根据题意，
得：
900 900
´2= ，
x+1 x-3
解得：x =7，
经检验：x =7是原方程的解，且符合题意，
答：规定时间是7天．
æa2 +4 ö a2 -4
21. 已知T =ç -4 ÷÷
è a ø a+2
（1）化简T．
（2）若a为二次函数y=2x2 -4x+5的最小值，求此时的T值．
z
x
x
a-2 k
【答案】（1）T = .
a c
o
m
1
（2）T =
3
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和知识点是解题的关键．
（1）先将括号内的分式通分化简，再将除法运算转化为乘法运算即可；
（2）先对二次函数进行配方即可求出最小值，再代入求解．
【小问1详解】
æa2 +4 ö a2 -4
解：ç -4 ÷÷
è a ø a+2
a2 -4a+4 a+2
= ×
a (a+2)(a-2)
第12页/共24页(a-2)2
a+2
= ×
a (a+2)(a-2)
a-2
= ，
a
a-2
∴T = ．
a
【小问2详解】
解：y=2x2 -4x+5=2(x-1)2 +3³3，
∴二次函数y=2x2 -4x+5的最小值为3，即a=3，
3-2 1
∴T = = ．
3 3
22. 数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、
菱形、圆等．如图，在等腰ABC中，AB= BC．
（1）尺规作图：作ABC关于直线AC对称的アADC（保留作图痕迹，不写作法）；
z
x
（2）连接BD，交AC于点O，若BDx=2，四边形 ABCD周长为4 5，求四边形 ABCD的面积．
k
.
c
【答案】（1）见解析 （2）4 o
m
【解析】
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，AB为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD、CD即可；
（2）先根据轴对称的性质，得AC^BD，OB=OD，则可求得OB=1，再根据（1）知四边形ABCD为
菱形，根据菱形的周长可求得AB= 5，由勾股定理，可求出OA=2，从而求得AC =2OA=4，然后由
菱形的面积公式可求解．
【小问1详解】
解：如图，アADC 即为所求，
第13页/共24页由作图可知：AD=CD= AB，
∵AB= BC
∴AD=CD= AB= BC
∴四边形ABCD为菱形，
∴ABC与アADC关于直线AC对称．
【小问2详解】
解：如图，
∵ABC与アADC关于直线AC对称．
z
∴AC^BD，OB=OD， x
x
k
1 1 .
∴OB= BD= ´2=1， c
o
2 2 m
由（1）知四边形ABCD为菱形，
∴AC =2OA，
∵四边形ABCD周长为4 5，
1
∴AB= ´4 5= 5，
4
( )2
由勾股定理，得OA= AB2 -OB2 = 5 -12 =2，
∴AC =2OA=4．
1 1
∴四边形ABCD的面积= AC×BD= ´4´2=4．
2 2
【点睛】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握
菱形的判定与性质是解题的关键．
第14页/共24页8
23. 如图，Rt△ABO中，ÐABO=90°，AB=2，反比例函数 y = - 的图象经过点A．
x
（1）求点A的坐标．
（2）直线CD垂直平分AO，交 AO于点C，交 y轴于点D，交 x轴于点 E，求线段OE的长．
【答案】（1）A(-2,4)
（2）OE =5
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等角的三角函数值相等，熟练掌握知识点是解题的
关键．
8
（1）点A 横坐标为-2直接代入 yz x = - 即可；
x x
k
.
c OC AB
（2）先求AO= 22 +42 =2 5，证明出Ð o 1m= Ð2，则由正弦值相等得： = 即可求解．
OE OA
【小问1详解】
解：AB =2，
\点A的横坐标为-2，
8
A点在反比例函数y = - 的图象上，
x
8
\y=- =4，
-2
\A(-2,4)．
【小问2详解】
解：Q A(-2,4)
∴AB=2，BO=4，
第15页/共24页∴AO= 22 +42 =2 5，
∵CD垂直平分AO，
1
∴OC = AO= 5，CD^ AO，
2
∵ÐDOE =90°，
∴Ð1+Ð3=90°=Ð2+Ð3，
∴Ð1=Ð2，
∴sinÐ1=sinÐ2，
OC AB 5 2
∴ = ，即： = ，
OE OA OE 2 5
解得：OE =5．
z
x
x
k
.
c
24. 已知抛物线：y = x2 +bx-3(a ¹0) 的对 o m称 轴是直线x=1，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），
与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在线段BC上，且CD= 2，求sinÐCAD的值；
（3）抛物线向右平移m个单位（m > 1），平移后A、B的对应点分别是 A、B ，点E在 y轴的负半轴
1 1
上，且以点O、A 、E为顶点的三角形与OAC相似．点F 是平移后的抛物线上的一点，若四边形
1
AEFB是平行四边形，求m的值．
1 1
【答案】（1）y=x2-2x-3
5
（2）
5
第16页/共24页14
（3）m=2或m=
3
【解析】
b
【分析】（1）由- =1，得b=-2，即可求解；
2´1
（2）先证明アADC 是直角三角形，即可求解；
（3）先利用相似用m的代数式表示出点E的坐标，再由平行四边形的对边相等，建立方程求解即可．
【小问1详解】
b
解：由题意得：- =1，
2´1
∴b=-2，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；
【小问2详解】
解：y=0，则x2 -2x-3=0，解得x =-1,x =3，
1 2
∴A(-1,0),B(3,0)
，
当x=0时，y=-3，∴C(0,-3)
，
∴OB=OC =3，而ÐBOC =90°，
z
x
∴ÐOCB=ÐOBC =45°， x
k
.
c
过点D作DG ^ y轴，则DGC 为等腰直角 o 三m 角形，
2
∴DG =CG = CD=1，
2
∴D(1,-2)
，
∴BD= (3-1)2 +4 =2 2，AD= 22 +22 =2 2，而 AB=4，
第17页/共24页∴BD2+AD2 = AB2，
∴ÐADB=ÐADC =90°，
∴而AC = AO2 +OC2 = 10，
CD 2 5
∴在RtアCAD中， sinÐCAD= = = ．
AC 10 5
【小问3详解】
解：由题意得：A (-1+m,0) ，B (3+m,0) ，
1 1
由y=x2-2x-3得 y=(x-1)2 -4，
故平移后解析式为：y=(x-1-m)2
-4
∵ÐAOC =ÐAOE =90°，
1
∴以点O、A 、E为顶点 三角形与OAC相似，
1
OA OC
有 = ，
OA OE
1
1 3
∴ = ，
-1+m OE
∴OE =3m-3，
z
∴E(0,3-3m)
，
x
x
k
.
c
OA OC o
m
当 = ，
OE OA
1
1 3
则 = ，
OE -1+m
-1+m
∴OE = ，
3
æ 1-mö
∴E ç 0, ÷ ，
è 3 ø
①当E(0,3-3m) 时，四边形AEFB是平行四边形，
1 1
则EF = AB =4，
1 1
∴F(4,3-3m)
∴代入y=(x-1-m)2 -4得：(4-1-m)2
-4=3-3m，
第18页/共24页解得m=2或m=1（舍）；
æ 1-mö
当E ç 0, ÷时，
è 3 ø
四边形AEFB是平行四边形，
1 1
则EF = AB =4，
1 1
æ 1-mö
∴F
ç
4,
÷
è 3 ø
1-m
∴代入y=(x-1-m)2 -4得：(4-1-m)2 -4= ，
3
14
解得：解得m= 或m=1（舍），
3
14
综上：m=2或m= ．
3
【点睛】本题是二次函数与相似三角形、平行四边形的综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函
数，相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
25. 【读一读】
一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图
形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组
合、图形之间的关系、图形的计算等问题．课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路．
z
x
【算一算】 x
k
.
c
当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是o几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．如图，在
m
ABC中，AB= AC，点M、N分别为边AB、BC的中点，连接MN．
（1）如图1，若ÐBAC =90°，BC =2 2，先将BMN绕点B顺时针旋转a（a为锐角），得到
アBEF ，当点A、E、F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF、ME．
①填空：ÐBMN =______（填度数），BME是______三角形（填类别）；
第19页/共24页②求CD的长．
（2）如图2，若ÐBAC <90°，将BMN 绕点B顺时针旋转a，得到アBEF，连接 AE、CF．当旋
转角a满足0°<a<360°，点C、E、F在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究ÐBAE与
ÐABF 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①90°，等边；②3 2- 6
（2）ÐBAE =ÐABF 或ÐBAE+ÐABF =180°．
【解析】
【分析】（1）①AB= AC ，点M ，N 分别为边AB，BC的中点，则MN 是ABC的中位线，即可求出
ÐBMN 度数；
1
由旋转得ÐAEB=ÐBEF =90°，在RtアABE中，M 是斜边AB的中点，则ME = AB=MB，因此
2
BM =ME = BE，即可证明；
DN AN 2
②连接AN，证明ADNＦBDE，则 = = = 2，设DE = x，则DN = 2x，在RtアABE
DE BE 1
中，BE =1，AE = 3，则AD= 3-x，在RtアADN中，AD2 = DN2 + AN2，勾股定理求得x=2- 3，
则CD=DN+CN =3 2- 6；
（2）当点C，E，F 在同一直线上时，且点E在FC上时，设ÐABC =ÐACB=q，则ÐBAC =180°-2q，
z
得出 ÐBEC+ÐBAC =180° ，则 Ax， B ， E ， C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出
x
k
ÐEAC =ÐEBC =a-q，表示ÐBAE与 . cÐABF ，即可求解；当F 在EC上时，可得A，B，E，C在
o
m
同一个圆上，设ÐABC =ÐACB=q，则ÐBAC =ÐBEF =180°-2q，设ÐNBF =b，则ÐEBM =b，
则a+b=360°，表示ÐBAE 与ÐABF ，即可求解．
【小问1详解】
解：①点∵M、N分别为边AB、BC的中点，
\MN 是ABC的中位线，
1
\MN = AC，MNＹAC ，
2
∴ÐBMN =ÐBAC =90°，
将BMN 绕点B顺时针旋转a(a为锐角），得到アBEF，
\BE = BM ，BF = BN ；ÐBEF =ÐBMN =90°，
点A，E，F 在同一直线上，
第20页/共24页\ÐAEB=ÐBEF =90°，
在RtアABE中，M 是斜边AB的中点，
1
\ME = AB=MB，
2
\BM =ME=BE，
\BME 是等边三角形，
故答案为：90°，等边；
②如图所示，连接AN，
AB=AC ，ÐBAC =90°，BC =2 2，N 为BC中点，
2 1
\ AB= BC=2，ÐACB=ÐABC =45°，AN ^ BC， AN = BC = 2，
2 2
∵M为AB中点，由旋转得BE = BM =1，
z
x
ÐADN =ÐBDE，ÐANB=ÐBED=90x°，
k
.
c
\アADNＦアBDE， o
m
DN AN 2
\ = = = 2，
DE BE 1
设DE = x，则DN = 2x，
在RtBEA中，BE =1,AB=2，则AE = 22 -12 = 3，
∴AD= 3-x，
在RtアADN中，AD2 = DN2 + AN2，
\( 3-x)2 =( 2x)2 +( 2)2，
解得：x=2- 3 或x=- 3-2 （舍去），
\CD=DN+CN = 2x+ 2 =3 2- 6；
第21页/共24页【小问2详解】
解：如图所示，当点C，E，F 在同一直线上时，且点E在FC上时，
AB=AC，
\ÐABC =ÐACB，设ÐABC =ÐACB=q，则ÐBAC =180°-2q，
MN是ABC的中位线，
\MN AC，
\ÐMNB=ÐMBN =q，
将BMN 绕点B顺时针旋转a，得到アBEF，
\アEBFＨアMBN ，ÐMBE =ÐNBF =a，
\ÐEBF =ÐEFB=q，
z
x
\ÐBEF =180°-2q， x
k
.
c
点C，E，F 在同一直线上， o
m
\ÐBEC =2q，
\ÐBEC+ÐBAC =180°，
\A，B，E，C在同一个圆上，
第22页/共24页\ÐEAC =ÐEBC =a-q，
\ÐBAE=ÐBAC-ÐEAC=(180°-2q)-(a-q)=180°-a-q，
ÐABF =a+q，
\ÐBAE+ÐABF =180°，
如图所示，当F 在EC上时，
z
x
x
k
.
c
o
m
ÐBEF =ÐBAC，BC = BC，
\A，B，E，C在同一个圆上，设ÐABC =ÐACB=q，则ÐBAC =ÐBEF =180°-2q，
将BMN 绕点B顺时针旋转a，得到アBEF，设ÐNBF =b，则ÐEBM =b，则a+b=360°，
\ÐABF =q-b，
ÐBFE=ÐEBF =q，ÐEFB=ÐFBC+ÐFCB，
\ÐECB=ÐFCB=ÐEFB-ÐFBC=q-b，
EB=EB，
第23页/共24页\ÐEAB=ÐECB=q-b，
\ÐBAE =ÐABF，
综上所述，ÐBAE =ÐABF 或ÐBAE+ÐABF =180°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判
定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性
质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
z
x
x
k
.
c
o
m
第24页/共24页
