文档内容
2012年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题12小题，1-6每小题2分，7-12每小题2分，共30分）
1．（2分）（2012•河北）下列各数中，为负数的是（ ）
A．0 B． 2 C．1 D．
﹣
2．（2分）（2012•河北）计算（ab）3的结果为（ ）
A．ab3 B．a3b C．a3b3 D．3ab
3．（2分）（2012•河北）图中几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）（2012•河北）下列各数中，为不等式组 解的是（ ）
A． 1 B．0 C．2 D．4
﹣
5．（2分）（2012•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列
结论正确的是（ ）
A．AE＞BE B． = C． D．△ADE △CBE
∠D= ∠AEC ∽
6．（2分）（2012•河北）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上
C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上
7．（3分）（2012•河北）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，
是（ ）
第1页（共25页）A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
8．（3分）（2012•河北）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）
A．（x+2）2=3 B．（x 2）2=3 C．（x 2）2=5 D．（x+2）2=5
﹣ ﹣
9．（3分）（2012•河北）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、
C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
10．（3分）（2012•河北）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．2（x+1）
11．（3分）（2012•河北）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b
（a＞b），则（a b）等于（ ）
﹣
A．7 B．6 C．5 D．4
12．（3分）（2012•河北）如图，抛物线y =a（x+2）2 3与y = （x 3）2+1交于点A（1，3），过
1 2
﹣ ﹣
点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y 的值总是正数；
2
②a=1；
③当x=0时，y y =4；
2 1
﹣
第2页（共25页）④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2012•贺州）﹣5的相反数是 ．
14．（3分）（2012•河北）如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=
．
15．（3分）（2012•河北）已知y=x 1，则（x y）2+（y x）+1的值为 ．
﹣ ﹣ ﹣
16．（3分）（2012•河北）在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两
枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是
直角三角形的概率是 ．
17．（3分）（2012•河北）某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第
一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（ +1），第二位同学报（
+1），第三位同学报（ +1），…这样得到的20个数的积为 ．
18．（3分）（2012•河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共
边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，
如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 ．
第3页（共25页）三、解答题（本大题8小题，共72分）
19．（8分）（2012•河北）计算：| 5| （ ﹣3）0+6×（ ﹣ ）+（﹣1）2．
﹣ ﹣
20．（8分）（2012•河北）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条
是外环公路AD DC CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：
﹣ ﹣
CD=10：5：2．
（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，
平均速度是80km/h，结果比去时少用了 h，求市区公路的长．
21．（8分）（2012•河北）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了
5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计
算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
第4页（共25页）（1）a= ， = ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算
方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
22．（8分）（2012•河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反
比例函数y= （x＞0）的函数图象经过点D，点P是一次函数y=kx+3 3k（k≠0）的图象与该
﹣
反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3 3k（k≠0）的图象一定过点C；
﹣
（3）对于一次函数y=kx+3 3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值
﹣
范围（不必写出过程）．
23．（9分）（2012•河北）如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的△EAB和
△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 ；AE和ED的位置关系为 ；
（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，
连接GH，HD．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，
GH⊥HD．
②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写
CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
第5页（共25页）24．（9分）（2012•河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为
正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：
cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与
薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格
中的数据．
薄板的边长（cm） 20 30
出厂价（元/张） 50 70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）
25．（10分）（2012•河北）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，
CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，
运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边
所在的直线）相切时，求t的值．
26．（12分）（2012•河北）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC= ．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= ，AC= ，△ABC的面积
S = ；
△ABC
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为
E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S =0）
△ABD
（1）用含x，m，n的代数式表示S 及S ；
△ABD △CBD
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并
写出这个最小值．
第6页（共25页）第7页（共25页）2012 年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12小题，1-6每小题2分，7-12每小题2分，共30分）
1．（2分）（2012•河北）下列各数中，为负数的是（ ）
A．0 B． 2 C．1 D．
﹣
考点：正数和负数．
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分析：根据负数就是正数前面带负号的数即可判断．
解答：解：A、既不是正数，也不是负数，故选项错误；
B、是负数，故选项正确；
C、是正数，故选项错误；
D、是正数，故选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了负数的定义，是基础题．
2．（2分）（2012•河北）计算（ab）3的结果为（ ）
A．ab3 B．a3b C．a3b3 D．3ab
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：由积的乘方：（ab）n=a 菁优网版权所n有 bn（n是正整数），即可求得答案．
解答：解：（ab）3=a3b3．
故选C．
点评：此题考查了积的乘方性质．注意积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂
相乘．
3．（2分）（2012•河北）图中几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
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分析：主视图是从正面看所得到的图形，结合所给几何体及选项即可得出答案．
解答：解：从正面观察所给几何体，得到的图形如下：
．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三
种视图混淆而错误的选其它选项．
第8页（共25页）4．（2分）（2012•河北）下列各数中，为不等式组 解的是（ ）
A． 1 B．0 C．2 D．4
﹣
考点：不等式的解集；解一元一次不等式组．
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专题：计算题．
分析：分别求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即可．
解答：
解： ，
由①得，x＞ ，
由②得，x＜4，
∴不等式组的解集为 ＜x＜4．
四个选项中在 ＜x＜4中的只有2．
故选：C．
点评：本题考查了不等式组的解集和解一元一次不等式，能找到各不等式的解集的公共部分
是解题的关键．
5．（2分）（2012•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列
结论正确的是（ ）
A．AE＞BE B． = C． D．△ADE △CBE
∠D= ∠AEC ∽
考点：垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定．
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分析：根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解答：解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，
∴AE=BE， = ，故A、B错误；
∠AEC不是圆心角，
∵
∴∠D≠ ∠AEC，故C错误；
CEB= AED，∠DAE=∠BCE，
∵∠ ∠
∴△ADE △CBE，故D正确．
∽
故选D．
点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定，难度不大，是基础题．
6．（2分）（2012•河北）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上
C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上
第9页（共25页）考点：可能性的大小．
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分析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接
应用求概率的公式．
解答：解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是 ，
所以掷一枚质地均匀的硬币10次，
可能有5次正面向上；
故选B．
点评：本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2012•河北）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，
是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
考点：作图—基本作图．
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专题：作图题．
分析：根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后
再根据作一个角等于已知角的作法解答．
解答：解：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法， 是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选D．
点评：本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关
键．
8．（3分）（2012•河北）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）
A．（x+2）2=3 B．（x 2）2=3 C．（x 2）2=5 D．（x+2）2=5
﹣ ﹣
考点：解一元二次方程-配方法．
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专题：计算题．
分析：方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．
解答：解：方程移项得：x2+4x= 1，
﹣
配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．
故选A．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到
右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平
方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
9．（3分）（2012•河北）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、
C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（ ）
第10页（共25页）A．70° B．40° C．30° D．20°
考点：翻折变换（折叠问题）．
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分析：由平行四边形与折叠的性质，易得CD∥MN∥AB，然后根据平行线的性质，即可求得
∠DMN=∠FMN=∠A=70°，又由平角的定义，即可求得∠AMF的度数．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，
∴AB∥CD∥MN，
A=70°，
∵∠
∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°，
∴∠AMF=180° ∠DMN ∠FMN=180° 70° 70°=40°．
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
故选B．
点评：此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质与折叠的性质．此题难度不大，注意数形
结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
10．（3分）（2012•河北）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．2（x+1）
考点：分式的乘除法．
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专题：计算题．
分析：
将分式 分母因式分解，再将除法转化为乘法进行计算．
解答：
解：原式= ×（x 1）
﹣
= ，
故选：C．
点评：本题考查了分式的乘除法，将除法转化为乘法是解题的关键．
11．（3分）（2012•河北）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b
（a＞b），则（a b）等于（ ）
﹣
第11页（共25页）A．7 B．6 C．5 D．4
考点：整式的加减．
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专题：计算题．
分析：设重叠部分面积为c，（a b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个正方形面积的差．
﹣
解答：解：设重叠部分面积为c，
a b=（a+c）﹣（b+c）=16 9=7，
﹣ ﹣
故选A．
点评：本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关
键．
12．（3分）（2012•河北）如图，抛物线y =a（x+2）2 3与y = （x 3）2+1交于点A（1，3），过
1 2
﹣ ﹣
点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y 的值总是正数；
2
②a=1；
③当x=0时，y y =4；
2 1
﹣
④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
考点：二次函数的性质．
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专题：压轴题；探究型．
分析：
根据与y = （x 3）2+1的图象在x轴上方即可得出y 的取值范围；把A（1，3）代入抛
2 2
﹣
物线y =a（x+2）2 3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y y 的值；根据
1 2 1
﹣ ﹣
两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
解答：
解：①∵抛物线y = （x 3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y
2 2
﹣
的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y =a（x+2）2 3得，3=a（1+2）2 3，解得a= ，故本小题错误；
1
﹣ ﹣
③由两函数图象可知，抛物线y =a（x+2）2 3解析式为y = （x+2）2 3，当x=0时，y =
1 1 1
﹣ ﹣
（0+2）2 3= ，y = （0 3）2+1= ，故y y = + = ，故本小题错误；
2 2 1
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
④∵物线y =a（x+2）2 3与y = （x 3）2+1交于点A（1，3），
1 2
﹣ ﹣
∴y 的对称轴为x= 2，y 的对称轴为x=3，
1 2
﹣
∴B（﹣5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
第12页（共25页）∴2AB=3AC，故本小题正确．
故选D．
点评：本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2012•贺州）﹣5的相反数是 5 ．
考点：相反数．
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分析：根据相反数的定义直接求得结果．
解答：解：﹣5的相反数是5．
点评：本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
14．（3分）（2012•河北）如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=
52° ．
考点：直角三角形的性质；对顶角、邻补角．
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分析：利用对顶角相等得到∠AOC的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求得角A即可．
解答：解：∵∠BOD=38°，
∴∠AOC=38°，
AC CD于点C，
∵ ⊥
∴∠A=90° ∠AOC=90° 38°=52°．
﹣ ﹣
故答案为52°．
点评：本题考查了直角三角形的性质及对顶角的性质，解题的关键是知道直角三角形两锐角
互余．
15．（3分）（2012•河北）已知y=x 1，则（x y）2+（y x）+1的值为 1 ．
﹣ ﹣ ﹣
考点：代数式求值．
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专题：整体思想．
分析：根据已知条件整理得到x y=1，然后整体代入计算即可得解．
﹣
解答：解：∵y=x 1，
﹣
∴x y=1，
∴（ ﹣ x y）2+（y x）+1
﹣ ﹣
=12+（﹣1）+1
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了代数式求值，注意整体思想的利用使运算更加简便．
16．（3分）（2012•河北）在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两
枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是
直角三角形的概率是 ．
第13页（共25页）考点：概率公式．
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分析：首先根据题意可得第三枚棋子有A，B，C，D共4个位置可以选择，而以这三枚棋子所
在的格点为顶点的三角形是直角三角形的位置是B，C，D，然后利用概率公式求解即
可求得答案．
解答：解：如图，第三枚棋子有A，B，C，D共4个位置可以选择，而以这三枚棋子所在的格点为
顶点的三角形是直角三角形的位置是B，C，D，
故以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是： ．
故答案为： ．
点评：此题考查了概率公式与直角三角形的定义．此题难度不大，注意概率=所求情况数与
总情况数之比．
17．（3分）（2012•河北）某数学活动小组的20名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第
一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加1，第一同学报（ +1），第二位同学报（
+1），第三位同学报（ +1），…这样得到的20个数的积为 2 1 ．
考点：规律型：数字的变化类．
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分析：根据已知得出数字变化规律，即可得出这样20个数据，进而得出这样20个数的积分
子与分母正好能约分，最后剩下21，即可得出答案．
解答：
解：∵第一同学报（ +1），第二位同学报（ +1），第三位同学报（ +1），…
∴这样20个数据分别为：（ +1）=2，（ +1）= ，（ +1）= …（ +1）= ，（ +1）=
，
故这样得到的20个数的积为：2× × ×…× × =21，
故答案为：21．
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出20个数据，进而得出20个数的积是解
题关键．
18．（3分）（2012•河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共
边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，
如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 6 ．
第14页（共25页）考点：平面镶嵌（密铺）．
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专题：应用题；压轴题．
分析：根据正六边形的一个内角为120°，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，继而
可求出这个正多边形的边数．
解答：解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
故答案为：6．
点评：此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的一
个内角的度数，有一定难度．
三、解答题（本大题8小题，共72分）
19．（8分）（2012•河北）计算：| 5| （ ﹣3）0+6×（ ﹣ ）+（﹣1）2．
﹣ ﹣
考点：实数的运算；零指数幂．
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专题：计算题．
分析：分别运算绝对值、零指数幂、及有理数的混合运算，最后合并即可得出答案．
解答：解：原式=5 1+（2 3）+1=4．
﹣ ﹣
点评：此题考查了实数的运算及有理数的混合运算，注意掌握零指数幂的运算及有理数的混
合运算法则，一定要细心解答．
20．（8分）（2012•河北）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条
是外环公路AD DC CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：
﹣ ﹣
CD=10：5：2．
（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，
平均速度是80km/h，结果比去时少用了 h，求市区公路的长．
考点：等腰梯形的性质．
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分析：（1）首先根据AB：AD：CD=10：5：2设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，再根据等
腰梯形的腰相等可得BC=AD=5xkm，再表示出外环的总长，然后求比值即可；
（2）根据题意可得等量关系：在外环公路上行驶所用时间+ h=在市区公路上行驶所
用时间，根据等量关系列出方程，解方程即可．
解答：解：（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，
第15页（共25页）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD=5xkm，
∴AD+CD+CB=12xkm，
∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；
（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：
= + ．
解这个方程得x=1．
∴10x=10，
答：市区公路的长为10km．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及一元一次方程的应用，关键是理解题意，表示出
外环公路与市区公路的长，此题用到的公式是：时间=路程÷速度．
21．（8分）（2012•河北）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了
5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计
算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
（1）a= 4 ， = 6 ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出 乙 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，
计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
考点：方差；折线统计图；算术平均数．
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分析：（1）根据他们的总成绩相同，得出a=30 7 7 5 7=4，进而得出 =30÷5=6；
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
（2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；
（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙
将被选中．
解答：解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，
则a=30 7 7 5 7=4，
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
第16页（共25页）=30÷5=6，
故答案为：4，6；
（2）如图所示：
；
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
= [（7 6）2+（5 6）2+（7 6）2+（4 6）2+（7 6）2 =1.6．
﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣
由于 ＜ ，所以上述判断正确． ]
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙
将被选中．
点评：此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用
方差的意义比较稳定性即可．
22．（8分）（2012•河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反
比例函数y= （x＞0）的函数图象经过点D，点P是一次函数y=kx+3 3k（k≠0）的图象与该
﹣
反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y=kx+3 3k（k≠0）的图象一定过点C；
﹣
（3）对于一次函数y=kx+3 3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值
﹣
范围（不必写出过程）．
第17页（共25页）考点：反比例函数综合题．
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分析：（1）由B（3，1），C（3，3）得到BC⊥x轴，BC=2，根据平行四边形的性质得AD=BC=2，
而A点坐标为（1，0），可得到点D的坐标为（1，2），然后把D（1，2）代入y= 即可得到
m=2，从而可确定反比例函数的解析式；
（2）把x=3代入y=kx+3 3k（k≠0）得到y=3，即可说明一次函数y=kx+3 3k（k≠0）的
﹣ ﹣
图象一定过点C；
（3）设点P的横坐标为a，由于一次函数y=kx+3 3k（k≠0）过C点，并且y随x的增大
﹣
而增大时，则P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，由y= 得到
a＞ ，于是得到a的取值范围．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
B（3，1），C（3，3），
∵
∴BC⊥x轴，AD=BC=2，
而A点坐标为（1，0），
∴点D的坐标为（1，2）．
∵反比例函数y= （x＞0）的函数图象经过点D（1，2），
∴2=
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y= ；
（2）当x=3时，y=kx+3 3k=3k+3 3k=3，
﹣ ﹣
∴一次函数y=kx+3 3k（k≠0）的图象一定过点C；
﹣
（3）设点P的横坐标为a，
则a的范围为 ＜a＜3．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；
利用平行四边形的性质确定点的坐标；掌握一次函数的增减性．
23．（9分）（2012•河北）如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的△EAB和
△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 AE=ED ；AE和ED的位置关系为 AE⊥ED ；
（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，
连接GH，HD．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，
GH⊥HD．
②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写
CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
第18页（共25页）考点：位似变换；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
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分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得出△ABE △DCE，进而得出AE=ED，AE⊥ED；
≌
（2）①根据△EGF与△EAB的相似比1：2，得出EH=HC= EC，进而得出
△HGF DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；
≌△
②根据恰好使GH=HD且GH⊥HD时，得出△GFH HCD，进而得出CH的长．
≌△
解答：解：（1）∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰
三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，
∴△ABE △DCE，
≌
∴AE=DE，
∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
故答案为：AE=ED，AE⊥ED；
（2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
EGF与△EAB的相似比1：2，
∵△
∴∠GFE=∠B=90°，GF= AB，EF= EB，
∴∠GFE=∠C，
∴EH=HC= EC，
∴GF=HC，FH=FE+EH= EB+ EC= BC=EC=CD，
∴△HGF △DHC．
≌
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
HDC+ DHC=90°．
∵∠ ∠
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．
②根据题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，
∴∠FHG+∠DHC=90°，
FHG+ FGH=90°，
∵∠ ∠
∴∠FGH=∠DHC，
∴ ，
∴△GFH △HCD，
≌
∴CH=FG，
EF=FG，
∵
∴EF=CH，
第19页（共25页）EGF与△EAB的相似比是k：1，BC=2，
∵△
∴BE=EC=1，
∴EF=k，
∴CH的长为k．
点评：此题主要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质
得出对应角与对应边之间的关系是解题关键．
24．（9分）（2012•河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为
正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：
cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与
薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格
中的数据．
薄板的边长（cm） 20 30
出厂价（元/张） 50 70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ）
考点：二次函数的应用．
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分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y mx2，
﹣
进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
解答：解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，
则y=kx+n．
由表格中的数据，得 ，
解得 ，
所以y=2x+10；
（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：
p=y mx2=2x+10 mx2，
﹣ ﹣
将x=40，p=26代入p=2x+10 mx2中，
﹣
得26=2×40+10 m×402．
﹣
解得m= ．
所以p= x2+2x+10．
﹣
②因为a= ＜0，所以，当x= = =25（在5～50之间）时，
﹣ ﹣ ﹣
第20页（共25页）p最大值= = =35．
即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．
点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最
大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，
常用的是后两种方法．
25．（10分）（2012•河北）如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，
CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，
运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边
所在的直线）相切时，求t的值．
考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；解直角三角形．
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专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰
直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐
标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由
∠BCO=45°，用∠BCO BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角
﹣∠
三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，
由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用
∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及
特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单
位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由
∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由
OC=3，得到OP=3，用OQ OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
﹣
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时
的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由
PC=PA，且PA=9 t，PO=t 4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方
﹣ ﹣
程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
解答：解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
第21页（共25页）∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°= ，此时t=4+ ；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3 ，
此时，t=4+3 ，
∴t的值为4+ 或4+3 ；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
第22页（共25页）∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9 t）2，PO2=（t 4）2，
﹣ ﹣
于是（9 t）2=（t 4）2+32，即81 18t+t2=t2 8t+16+9，
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
点评：此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，
锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本
题的关键．
26．（12分）（2012•河北）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC= ．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH= 1 2 ，AC= 1 5 ，△ABC的面积S
△ABC
= 8 4 ；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为
E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S =0）
△ABD
（1）用含x，m，n的代数式表示S 及S ；
△ABD △CBD
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并
写出这个最小值．
第23页（共25页）考点：反比例函数综合题；勾股定理；解直角三角形．
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专题：压轴题．
分析：
探究：先在直角△ABH中，由AB=13，cos∠ABC= ，可得AH=12，BH=5，则CH=9，再解
直角△ACH，即可求出AC的值，最后根据三角形的面积公式即可求出S 的值；
△ABC
拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；
（2）首先由（1）可得m= ，n= ，再根据S +S =S =84，即可求
△ABD △CBD △ABC
出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可
知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；
（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于 且小于13为半径画圆时，与AC有两个
交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高
时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；
发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是
AC所在的直线．
解答：
解：探究：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC= ，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC BH=9．
﹣
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S = BC•AH= ×14×12=84．
△ABC
故答案为12，15，84；
拓展 （1）由三角形的面积公式，得S = BD•AE= xm，S = BD•CF= xn；
△ABD △CBD
（2）由（1）得m= ，n= ，
∴m+n= + = ，
AC边上的高为 = = ，
∵
∴x的取值范围是 ≤x≤14．
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴当x= 时，（m+n）的最大值为15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；
第24页（共25页）（3）x的取值范围是x= 或13＜x≤14．
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的
高的长为 ．
点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合
性较强，有一定难度．
第25页（共25页）
