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2024-2025 学年高一协作体期中联考
数学试卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集概念求出答案.
【详解】
.
故选：D.
2. 命题“
”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据命题否定的定义判断.
【详解】特称命题的否定是全称命题，
因此命题“
”的否定是
故选：D.
3. 已知函数
由下表给出，则
等于（ ）
x
1≤x<2
2
2<x≤4
f(x)
1
2
3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义求值.
【详解】由已知，因为
，所以
，
故选：C．
4. 若实数
满足
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC，令
，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证.
【详解】对于ABC，令
，显然满足
，同时
，
，
，故ABC
错误；
对于D，若
，则
，故D 正确.
故选：D.
5. 已知函数
则
的值为（ ）
A
4
B. 5
C. 8
D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.
【详解】因为
所以
，
所以
.
故选：B
6. 用一段长为
cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】设矩形的长为
，宽为
，则有
，再利用基本不等式即可得解.
【详解】设矩形的长为
，宽为
，
，
则
，即
，
所以这个模型的面积为
，
当且仅当
时取等号，
所以这个模型的最大面积为
.
故选：C.
7. 若函数
在区间
内存在最大值，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可.
【详解】函数
图象的对称轴为直线
，
由函数
在区间
内存在最大值，得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
8. 已知关于
的不等式组
恰有两个整数解，则实数
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论
，
即可.
【详解】由
，解得
或
，
由
，解得
或
，
当
时，
的解为
，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以
，解得
，
当
时，
的解为
，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
故选：C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6 分，部分选对按比例得分，有选错的得0 分.
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
【答案】BC
【解析】
【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.
【详解】A 选项中：
与
对应关系不同，
故不是同一函数，故A 不正确；
B 选项中：
与
定义域都为R，且对应关系相同，
故是同一函数，故B 正确；
C 选项中：当
时，
，当
时，
，所以
，
故
与
是同一函数，故C 正确；
D 选项中：函数
的定义域为
，函数
的定义域为R，两个函数定义域不同，
故不是同一函数，故D 不正确.
故选：BC．
10. 下列说法正确的有（ ）
A. “
，使得
”的否定是“
，都有
”
B. 若命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是
C. 若
，则“
”的充要条件是“
”
D. 已知
，则
的最小值为9
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可；
对于B，根据假命题相关知识求解即可；
对于C，根据充要条件相关知识判断即可；
对于D，根据基本不等式相关知识进行判断即可.
【详解】对于A，“
，使得
”的否定是“
，都有
”，故A 正确；
对于B，若命题“
”为假命题，则
无实根，
则
，得
，则实数
的取值范围是
，故B 正确；
对于C，若
，则由
不能推出
，故“
”不是“
”的充要条件，故C 错误；
对于D，
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为9，故D 正确.
故选：ABD
11. 已知函数
，且对任意的
，当
时，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
在
上是减函数
D.
在
上的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据赋值法即可求解AB，根据单调性的定义即可求证C，根据单调性，结合赋值法即可求解D.
【详解】
，令
，则
，
解得
，故A 正确，
令
，
，则
，
因为
，解得
；故B 错误，
令
，
，且
，
则
，即
因为当
时，
，故
，
所以
，
故
，所以
在
上是增函数；故C 错误，
令
，则
令
得
由于
在
上是增函数，故
在
单调递增，故最小值为
，故D 正确，
故选：AD
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.
定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式分母不为
可求结果.
【详解】因为
中
，所以
，
所以定义域为
，
故答案
：
.
13. 函数函数
的单调减区间是________，在区间
的最大值是_______．
【答案】 ①.
.
②4
【解析】
【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值．
【详解】由题意
，它的图象是开口向下的抛物线，
对称轴是直线
，因此减区间是
，
在区间
上，
时，
递增，
时，
递减，因此
，
故答案为：
；4.
14. 已知函数
，若
，
，
使得不等式
成立，实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意将问题转化为
，成立，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】若对任意
，存在
，使得不等式
成立，
即只需满足
，
，对称轴
在
递减，在
递增，
，对称轴
，
①
即
时，
在
递增，
恒成立；
②
即
时，
在
递减，在
递增，
，所以
，故
；
③
即
时，
在[0，1]递减，
，
所以
，解得
，综上
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进
行总结，即可求出结果.
四、解答题：本大题共5 小题，共77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合
，
．
（1）若a=1，求
；
（2）在①
；②
中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解.
（2）分析条件两个条件都是
，列出不等式即可求出范围.
小问1 详解】
当
时，
，则
．
【小问2 详解】
选条件①②，都有
，
∴
解得
，
∴实数
的取值范围为
．
16. 解不等式
（1）
（2）
（3）关于
的不等式
的解集是
，求不等式
的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解一元一次不等式即可；
（2）根据分式不等式的解法计算即可；
（3）根据一元二次不等式的解集与其对应方程的解之间的关系可得
，进而所解的不等式为
，解一元二次不等式即可.
【小问1 详解】
由
，则
，解得
，故不等式的解集为
.
【小问2 详解】
，
又
，解得
或
，
因此不等式
的解集为
.
【小问3 详解】
依题意，关于
的不等式
的解集是
，
所以
，解得
，
不等式
即
，
即
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
17. （1）已知
是一次函数，且
，求
的解析式；
（2）已知
，求函数
的解析式；
（3）已知函数
满足
，求函数
的解析式.
【答案】（1 ）
或
；（2 ）
；（3 ）
，
.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设
，结合题意即可求解；
（2）设
，利用换元法求解析式即可；
（3）由题意得
，利用方程组法可得
，再利用换元法求
解析式即可.
【详解】（1）因为
为一次函数，可设
.
所以
.
所以
，解得
或
.
所以
或
.
（2）设
，则
，
，即
，
所以
，
所以
．
（3）由
①，
用
代替
，得
②，
得：
，
即
，
.
令
，则
，
.
则：
，
.
所以
，
.
18. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60 万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地
政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30 万元的无息贷款用来帮助其维
持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1 万件产品需投入4 万元的资料成本费，每年
的销售收入
（万元）与产品年产量
（万件）间的函数关系为
，该企
业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36 万元的人力成本费．
（1）写出该企业的年利润
（万元）关于产品年产量
（万件）的函数解析式；
（2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？
（3）该企业在维持生产
条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？
【答案】（1）
；
（2）年产量为9 万件时，企业获得的年利润最大为18 万元；
（3）5 年.
【解析】
【分析】（1）按
、
分类写出年利润
（万元）关于年产量
（万件）的函数解析式.
（2）结合二次函数的性质、基本不等式，按
、
分类，分别求出函数最大值后即可得解.
（3）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解.
【小问1 详解】
当
时，年利润
；
当
时，
；
所以
.
【小问2 详解】
由（1）知，当
时，
，
所以当
万件时，企业获得的利润最大为14 万元；
当
时，
，
当且仅当
万件时取等号，企业获得的利润最大为18 万元，而
，
所以年产量为9 万件时，企业获得的年利润最大为18 万元.
【小问3 详解】
设最短用
年后还清所有贷款，依题意，
，解得
，
所以企业最短用5 年还清所有贷款.
19. 已知函数
.
（1）若
，判断
在
上的单调性，并用定义法证明；
（2）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
（3）若对任意的
，任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
在
单调递增，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当
时，写出函数
的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）由参变量分离法可得
，求出函数
在[0,4)上的最大值，即可求得实数
的取值范
围；
（3）由已知可得出
，令
，可得出
，再令
，根据
，可求得实数
的取
值范围.
【小问1 详解】
证明：当
时，
，
任取
、
，且
，
则
，
，
，
，
所以，
，所以，函数
在
单调递增.
【小问2 详解】
解：由题
，因为
，则
，
所以，
，即
，
由（1）知，函数
在
单调递增，
所以，当
时，函数
取最大值，即
，
所以，
，则
，
因此，实数
的取值范围是
.
【小问3 详解】
解：对任意的
，任意的
，
恒成立，
即
，
令
，
因为
时，
，
则
，
所以，
对任意的
恒成立，
令
，则
，解得
，
所以，实数
的取值范围是
.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设
、
是所给区间上的任意两个值，且
；
（2）作差变形：即作差
，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方
向变形；
（3）定号：确定差
的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值
作差
变形
定号
下结论.
