四川字节精准教育联盟 2026 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 ，集合 ，则 ( )
A={x∈Z|(x−2)(x2−3)=0} B={x|x2<6} A∩B=
A. {−√3,√3,2} B. {3,2} C. {2} D. ⌀
i
2.已知复数z= ，则z⋅z=( )
1+2i
1 1 4 4
A. B. i C. D. i
5 5 25 25
3.已知等差数列 的前 项和 ， ，等比数列 满足 ， ，则 ( )
{a } 4 S =16 a −a =4 {b } b =a b =a b =
n 4 5 3 n 2 2 3 5 6
A. 81 B. 243 C. 27 D. 729
4.某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型 其中 为感染人数， 为初始
y=N ekt ( y N
0 0
感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数).已知发现疫情第1天感染人数为
120人，第3天感染人数为270人.若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情
后第()天启动.(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln10≈2.3)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 的展开式中， 的系数为( )
(x−y+3) 5 x3 y
A. 80 B. 60 C. −80 D. −60
6.已知 是定义在 上的偶函数，且对任意 ，总有f(x )−f(x ) ，则不等
f(x) R x ,x ∈[0,+∞),x ≠x 1 2 <0
1 2 1 2 x −x
1 2
式f(2m−1)<f(m)的解集为( )
1
A. (−∞, )∪(1,+∞) B. (1,+∞)
3
1
C. ( ,1) D. (−∞,1)
3
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1 1x2 y2 4
7.设O为坐标原点，F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点，点P在C上，cos∠F PF = ，则
1 2 9 6 1 2 5
|OP|=( )
25 5√3 14 √35
A. B. C. D.
3 3 5 2
8.已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数 的最小值为( )
f(x)=e(a+1)x+ax x∈(0,+∞),f(x)≥lnx a
1 1
A. −1 B. −1 C. e−1 D. e2−1
e2 e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分
10分.随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分(单位：分)如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7.
下列说法正确的是( )
A. 该样本的70%分位数为7分 B. 该样本的极差为5分
C. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8
π
10.将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
4
g(x)的图象，则( )
π
A. 函数g(x)的图象的一条对称轴为直线x=
2
π
B. 函数g(x)的图象的一个对称中心为( ,0)
2
π
C. 函数g(x)的周期为
2
1 π π
D. 不等式g(x)≥ 的解集为[− +2kπ, +2kπ](k∈Z)
2 3 3
11.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A 处
1
(A ∉平面ABCD)，若M为线段A C的中点，平面A DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A E与平
1 1 1 1
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2 1面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某个位置，使得BM⊥A D
1
B. △A EC面积的最大值为2√2
1
C. sinα=√2sinβ
D. 三棱锥A −EDC体积最大时，三棱锥A −EDC的外接球的表面积16π
1 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若a>0,b>0，且ab=a+b，则ab的最小值是 ．
13.已知圆 ： ，圆 ： ， ， 分别是圆 ， 上的动
C x2−4x+ y2−6 y+12=0 C (x−3) 2+(y−4) 2=9 M N C C
1 2 1 2
点，P为x轴上的动点，则点P到M，N两点的距离之和的最小值为 ．
14.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个
球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
人教 版选择性必修二第 页中提到：欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 且与 互素
A 8 φ(n)(n∈N∗) n n
的正整数的个数，例如：
φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(8)=4，φ(9)=6，φ(27)=18.正偶数与2n不互素，所有正奇数
与 互素，比 小的正奇数有 个，所以 ；
2n 2n 2n−1 φ(2n)=2n−1
求 ， ， 的值；
(1) φ(6) φ(10) φ(3n)
1
(2)已知数列{a }满足a = n⋅φ(3n)，求{a }的前n项和S ；
n n 2 n n
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3 1若数列{4S −1} 的前 项和为 ，对任意 ，均有 ( 3) 恒成立，
(3) n (n∈N∗) n T n∈N∗ λ⋅ T + −2n+3≥0
2n−1 n n 2
求实数λ的取值范围．
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．
16.(本小题15分)
甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并
规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢.假设在每局比赛中不存在平局，且甲
2
每局获胜的概率为 ，各局比赛相互独立.已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了X局后比赛结束．
5
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；
(2)求X的分布列及期望．
17.(本小题15分)
ln(x+1) 1
已知函数f(x)= (x>0)，g(x)=f(x)+f( )．
x x
(1)令h(x)=xf(x)，求h(x)在点(e−1,h(e−1))处的切线方程；
(2)讨论g(x)在(0,1)上的单调性；
x
(3)证明：(i)当x>0时，ln(x+1)> ；
x+1
(ii)1<g(x)≤2ln2．
18.(本小题17分)
已知双曲线
的方程为x2 y2
， 是一个定点．
E − =1(a>0,b>0) M(1,1)
a2 b2
(1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；
(2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．
(i)当M是△OPQ的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；
(ii)当OP⊥OQ时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．
19.(本小题17分)
如图①，在▵ABC中，AB=3，点D是边AB上一点，且AD=2DB，DC=2．
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4 1(1)若DC平分∠ACB时，求∠ACB的大小；
(2)如图②，将△ADC沿DC翻折至▵PDC，使平面PDC⊥平面BDC．
(i)当三棱锥P−BDC的体积最大时，求三棱锥P−BDC的外接球的表面积；
(ii)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值．
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5 1参考答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.D
6.A
7.B
8.B
9.BCD
10.BD
11.BCD
12.4
13.5√2−4
61
14.
25
15.解：(1)因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以φ(6)=2，
因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以φ(10)=4，
所有不超过正整数3n的正整数有3n个，其中与3n不互素的正整数有1×3，2×3，3×3，⋯，
3n−1×3，共3n−1个，
所以所有不超过正整数3n，且与3n互素的正整数的个数为3n−3n−1=2×3n−1个，
即 ；
φ(3n)=2×3n−1
1
(2)a = n⋅φ(3n)=n×3n−1
n 2
，
S =1×30+2×31+3×32+⋯+(n−1)×3n−2+n×3n−1
n
，
3S =1×31+2×32+3×33+⋯+(n−1)×3n−1+n×3n
n
两式相减得
1
−2S =1+31+32+33+⋯+3n−1−n×3n= (3n−1)−n×3n，
n 2
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6 11 1
S = (2n−1)3n+ ；
n 4 4
4S −1 (2n−1)3n+1−1
(3)由(2)可知 n = =3n
2n−1 2n−1
3(1−3n) 3 3，
T = = ×3n−
n 1−3 2 2
( 3) 得 2 2n−3恒成立，
λ⋅ T + −2n+3≥0 λ≥ ×
n 2 3 3n
2 2n−3
令b = × ，
n 3 3n
2 2n−1 2 2n−3 2 −4n+8
则b −b = × − × = × ，
n+1 n 3 3n+1 3 3n 3 3n+1
可得b >b ；当n>2时，b <b ，当n=2时，b =b ，
2 1 n+1 n n+1 n
2 2n−3 2
所以b = × 的最大值为b =b = ，
n 3 3n 2 3 27
2
故λ≥ ．
27
16.解：(1)情况1：在接下来的比赛中，甲连赢4局，则甲获胜，
2 2 2 2 16
概率为 × × × = ；
5 5 5 5 625
情况2：在接下来的比赛中，甲嬴3局，乙赢1局，则甲获胜，
2 3 96
概率为C3 ⋅( ) 3 ⋅ = ，
4 5 5 625
16 96 112
∴甲获得这次比赛胜利的概率为 + = ；
625 625 625
(2)由题意得X的可能取值为2，4，
X=2时，在接下来的比赛中，乙连嬴2局，
3 3 9 9 16
∴P(X=2)= × = ，P(X=4)=1−P(X=2)=1− = ，
5 5 25 25 25
∴X的分布列为：
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7 1X 2 4
9 16
P
25 25
9 16 82
X的期望为E(X)=2× +4× = ．
25 25 25
x
17.x−ey+1=0 g(x)在(0,1)单调递增 证明：(i)令t(x)=ln(x+1)− (x>0)，则
x+1
1 1 x
t′(x)= − = >0，
x+1 (x+1) 2 (x+1) 2
所以t(x)在(0,+∞)上单调递增，所以t(x)>t(0)=0，即当x>0时t(x)>0，
x 1
所以当x>0时，ln(x+1)> ；(ii)由(i)可知当x>0时，f(x)> ，故
x+1 x+1
1 1 1
g(x)=f(x)+f( )> + =1
x x+1 1 ，
+1
x
1 1 1 1
由于g(x)=f(x)+f( )，则g( )=f( )+f(x)，故g(x)=g( )，
x x x x
1 1
由(2)可知g(x)在(0,1)单调递增，y= 在(1,+∞)单调递减，故g( )在(1,+∞)单调递减，即g(x)在
x x
(1,+∞)单调递减，
故g(x)≤g(1)=2ln2，所以1<g(x)≤2ln2
b
18.解：(1)双曲线E的渐近线方程为y=± x，若点M在双曲线E的渐近线上，
a
b c √ b
则 =1，所以 = 1+( ) 2=√2；
a a a
(2)设P，Q的坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，因为点M在双曲线E上，
1 1 2 2
1 1
所以 − =1，
a2 b2
因为 ， 在双曲线
上，所以x2 y2 x2 y2
，
(i) P Q E 1− 1=1, 2− 2=1
a2 b2 a2 b2
(x +x )(x −x ) (y + y )(y −y ) y −y b2 (x +x )
作差可得 1 2 1 2 − 1 2 1 2 =0 ，即 1 2= 1 2 ，
a2 b2 x −x a2 (y + y )
1 2 1 2
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8 10+x +x 0+ y + y
因为M是△OPQ的重心，所以 1 2=1, 1 2=1，即x +x =3，y + y =3，
3 3 1 2 1 2
又因为直线 的斜率为
，所以b2×3
，即 ，
PQ 2 =2 b2=2a2
a2×3
1 1 1
代入 − =1解得a2= ,b2=1，
a2 b2 2
所以双曲线E的方程为2x2−y2=1；
(ii)因为OP⊥OQ，直线PQ不可能垂直于y轴，所以设直线PQ的方程为x=my+n，
代入x2 y2
，化简得 ，
− =1 (b2m2−a2 )y2+2b2mny+b2n2−a2b2=0
a2 b2
所以
2b2mn b2n2−a2b2
，
Δ>0,y + y =− ,y y =
1 2 b2m2−a2 1 2 b2m2−a2
因为OP⊥OQ，所以x x + y y =0，即(m y +n)(m y +n)+ y y =0，
1 2 1 2 1 2 1 2
即 ，
(m2+1)y y +mn(y + y )+n2=0
1 2 1 2
n2 a2b2 1
化简得 = = =1，
1+m2 b2−a2 1 1
−
a2 b2
所以原点到直线 的距离 |n| ，存在定圆 与直线 相切．
PQ d= =1 x2+ y2=1 PQ
√1+m2
19.解：(1)因为AD=2DB，所以S =2S ，
△ADC △BDC
1 1
即 ×CA×CD×sin∠ACD=2× ×CB×CD×sin∠BCD，
2 2
若DC平分∠ACB，则sin∠ACD=sin∠BCD，所以AC=2BC．
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9 1设BC=a，则AC=2a，
a
因为CD=2，AD=2，所以cos∠ACD= ．
2
a 4+a2−1
由cos∠ACD=cos∠BCD，得 = ，
2 2×2×a
解得a=√3，即BC=√3,AC=2√3．
所以 (2√3) 2+√3 2 −32 1，
cos∠ACB= =
2×2√3×√3 2
又0 ∘<∠ACB<180 ∘，所以∠ACB=60 ∘；
(2)(i)设∠BDC=θ，作AO⊥DC，垂足为O，所以PO⊥DC，
因为平面PDC⊥平面BDC，平面PDC∩平面BDC=DC，PO⊂平面PDC，
所以PO⊥平面BDC.
又PO=AO=2sinθ，
1 1 1 2 2
所以V = S ×PO= × ×BD×CD×sinθ×2sinθ= sin2θ≤ ，
P−BDC 3 ▵BDC 3 2 3 3
当且仅当θ=90 ∘时取最大值，此时BD⊥CD，PD⊥BD，即BD，CD，PD两两垂直，
设三棱锥 的外接球半径为 ，则 ，
P−BDC R 2R=√PD2+BD2+CD2=√4+1+4=3
所以三棱锥P−BDC的外接球的表面积为4πR2=9π；
(ii)如图，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设∠BDC=∠ODA=θ，则A(0,2sinθ,0)，B(3cosθ,−sinθ,0)，
C(2cosθ+2,0,0)，P(0,0,2sinθ)，D(2cosθ,0,0)，
{ ⃗
则
DB=(cosθ,−sinθ,0)
,
⃗
DP=(−2cosθ,0,2sinθ)
{⃗ ⃗
设平面 的一个法向量为⃗ ，则 n⋅DB=0
PBD n=(x,y,z)
⃗ ⃗
,
n⋅DP=0
{ xcosθ−ysinθ=0
所以 ,
−2xcosθ+2zsinθ=0
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10 1令x=sinθ，则y=cosθ,z=cosθ，
所以⃗ ， ⃗ ，
n=(sinθ,cosθ,cosθ) PC=(2cosθ+2,0,−2sinθ)
设直线PC与平面PBD所成角为α，则
⃗ ⃗
⃗ ⃗ |PC⋅n| 2sinθ √1−cos2θ
sinα=|cos<PC,n>|= = =
⃗ ⃗ √8+8cosθ√1+cos2θ √2√1+cosθ√1+cos2θ
|PC|⋅|n|
1 √1−cosθ √2 √ 1−cosθ ，
= ⋅ = ⋅
√2 √1+cos2θ 2 1+cos2θ
令t=1−cosθ，则cosθ=1−t,(0<t<2)，
1−cosθ t 1 1 √2+1
= = ≤ =
所以1+cos2θ t2−2t+2 2 2√2−2 2 ，当且仅当t=√2时取等号，
t+ −2
t
所以 √2 √√2+1 √√2+1，
sinα≤ ⋅ =
2 2 2
√√2+1
故直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值为 ．
2
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11 1
