2026年延安中学高二数学第一次月考试卷
2026.03
一、填空题(每小题3分，共36分)
1.抛物线y2=x的准线方程为____
2.直线x-2y-1=0的倾斜角的大小为____
3. 已知球的表面积为4π,则该球的体积为_____.
4.直线x-3y+1=0与直线x+y-5=0的夹角的大小为___
5.如图，正方体ABCD-A?B?C?D?中，E为AB的中点，F为正方形BCC?B?的中心，则直线EF与侧面
BB?C?C所成角的正切值是________
D
C
A B
E
F
D?
C?
A?
B?
f(x)=cos则f(3)=_
6.已知函数
7.直线x+y+3=0被圆(x-3)2+(y+4)2=4
截得的弦长等于_____
mf(2+b)-f(2=4,
8.若] 则f'(2)=______
巩4
y=x+÷(x>0)
9.已知倾斜角为 的直线l与曲线 相切于点P,则点P的横坐标为_____
10.如图所示，(直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P,则球在地面上的投影为以球与地面切点F为
一个焦点的椭圆，已知是A?A?椭圆的长轴，PA?垂直于地面且与球相切，PA?=6,则椭圆的离心率为___.
P
A?
A?
F=1(4>0.b-0)
11. F,F?是双曲线
的左、右焦点，过F的直线1与双曲线的左、右两支分别交于
A、B两点，若 AB|:BF?|: AF?|=3:4:5,则双曲线的离心率为_____
_+1c-4+2=0
=
12.已知实数a、b、c、d满足 则(a-c)+(b-d)的最小值为_____.
二、选择题(每小题3分，共12分)
13.下列求导正确的是(
A(m10)=1
D(sin2x)=cos2x
C(xe)=(x+1)e
14.“m=-1”是直线l:mx+2v+2=0与直线l,:x+(m-1)y+1=0平行的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
15.函数y=xlnx(
+
A.严格增函数
B.在
上是严格减函数
上是严格增函数，在
C.严格减函数
D.在 上是严格减函数，在 上是严格增函数
4={M|MP=d
16.设P为曲线C:y2=4x上的任意一点，记P到C的准线的距离为d.若关于点集
和
B={(x.v)(x-1)2+()-12=r2
,给出如下结论：
①任意r∈(0,+の),AoB中总有2个元素；②存在r∈(0,+∞),使得A∩B=.
其中正确的是(
A.①成立，②成立
B.①不成立，②成立
C.①成立，②不成立 D.①不成立，②不成立
三、解答题(共52分)
17 已知函数f(x)=2x3-ax2+b;(1)若函数f(x)在x=1处取得极小值-4,求实数a,b的值；
(2)写出当a<0时函数y=f(x)的单调区间；
18.如图，在直三棱柱ABC-A?B?C中，己知AA?=BC=AB=2,AB⊥BC.
C?
B?
A?
B
C
A
(1)求四棱锥A?-BCC?B?的体积；
(2)求二面角B?-A?C-C?的大小.
1(3)=一-(3)=im
19.已知函数
(1)求函数V=g(x)在x=1处的切线方程；
(2)函数y=mf(x)+2g(x)(其中m∈R,m≠0)是否存在极值点?若存在，求出极值点；若不存在，
说明理由；
20.如图的封闭图形的边缘由抛物线I和垂直于抛物线对称轴的线段AB组成；已知AB=4,抛物线的顶
点到线段AB所在直线的距离为2;
C D
A B
F
E
(1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘；
(2)在该封闭图形上截取一个矩形CDEF,其中点C,D在线段AB上，点E,F在抛物线I上；己知圆柱
以CF为母线、矩形CDEF为其展开的侧面，求该圆柱的体积的最大值；
(3)求证：抛物线T的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上；
21 己知P(x?,y???焦距为4√2的双曲线(=1(a>0,b>0)上一点，过P的一条直线7与双曲
线C的两条渐近线分别交于P(x,y?),P?(x?,y?),且30P=OP+2OP,过P作互相垂直的两条直线l与l?,与V轴分别交于A,B两点，其中l?与x轴交点的横坐标是
(1)若双曲线C的虚轴长为4,求该双曲线的方程；
(2)求证：x?x?一y?y?为定值，并写出该定值；
(3)判断以AB为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由；一、填空题(每小题3分，共36分)
1.对照抛物线的标准万程y2=2px(p>0),
4
得抛物线y2=x中，2p=1,所以
4
所以抛物线y2=x的准线方程为
x=2y=1=0=y=
2.
urctaun-
一|
所以直线x-2y-1=0的斜率为
,故其倾斜角的大小为
3.已c设球体的半径为R,根据已知有：4πR2=4π,解得R=1,所以球体体积为：
m二
π
故答案为：
4.设直线x-3y+1=0与直线x+y-5=0的夹角为θ,
方法一：根据两直线夹角的余弦公式，可得
mcco
所以直线x-3y+1=0与直线x+y-5=0的夹角为
方法二：设直线x-3y+1=0的倾斜角为α,直线x+y-5=0的倾斜角为β,a,β∈(0,π)
tano=0
一|m
即
由x-3y+1=0,得 ,所以直线x-3y+1=0的斜率为
由x+y-5=0,得v=-x+5,所以直线x+y-5=0的斜率为-1,即 tan β=-1<0
直线x-3y+1=0与直线x+y-5=0的夹角为arc tan 2.
5.如图所示，连接BF,
在正方体ABCD-A?B?C?D中，可得EB⊥平面BCC?B,
所以∠EFB即为EF与平面BB?C?C所成的角，设正方体ABCD-AB?C?D?的棱长为2,则EB=1,BF=√2,
tan LEEB=6
在直角△EFB中，
2
故答案为：
D
C
A B
E
F
D?
C?
A?
B?
f(x)=cos2x∈R
6.函数
f()=-m2()=2m
所以
5)==“=
所以
7.圆(x-3)2+(y+4)2=4的圆心为(3,-4),半径r=2.
二3-4+13。二
圆心(3,-4)到直线x+y+3=0的距离
故直线x+y+3=0被圆(x-3)2+(y+4)2=4截得的弦长等于2√r2-d2=2√2
m(2+3)-(2=4,
8.因为 所以
2+)-12)-2+)-12]-m2+)-12)=4
(2+方)-2=12
所以1 即f'(2)=12.
y=x+-(x>0),得y=1-(x>0)
9.由
VL=1— =tan3=-1
设P(x?,y?则
=去x=√2
得10.如图，是球O的一个截面，圆O分别与A?A?、PA?相切于点F、E,
P
0
E
A
A?
F
因为P4=6.球的丰径为2 所以PE=4 tan EPO=PE?2
所以
所以 4.4二P4 tanLAPA=6?=8
因为A?A?是椭圆的长轴长，所以2a=8,所以a=4,
根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知，
球O与A?A?相切的切点F为椭圆的一个焦点，
所以A?F=2=a-c,所以c=a-2=4-2=2,
所以离心率
故答案为：
11.解：∵ AB|:|BF?|:|AF?I=3:4:5,不妨令|AB|=3,BF?I=4,|AF?I=5,
∵:| AB2+|BF?I2=AF?I2,∠ABF?=90°,
又由双曲线的定义得：BF|-|BF?|=2a,|AF?I-|AF?I=2a,
|AF|+3-4=5-|AF|,|AFI=3.
BFI-BF?|=3+3-4=2a,
∴a=1.
在Rt△BF?F?中，F?F?2=|BFI2+|BF?2=62+42=52,
∵|FF?I2=4c2,4c2=52,c=√13.
.
= 13
∴双曲线的离心率
故答案为：√13
6na+1=7+2=0:b=d=c+2
12.
n
设P(a,b),Q(c,d),则点P在曲线
上，Q在直线y=x+2上，
上切线斜率为1的切点为(x?,V?
设曲线
二
递增，当x∈(e,+∞)时，y'<0,函数
x∈(0,e)时，y′>0,此时函数
,当
递减，故当x=e时，
即x。+Inx?-1=0,
上方，由
直线y=x+2在曲线
记f(x)=x2+Inx-1,显然f(x)在(0,+w)上是增函数，而f(1)=0,∴x?=1是f(x)=0的唯一解.
二1-0+
二=0.
Q.(1.0),卢Q到直线y=x+2的距离为
(a-c)2+(b-d)2的最小值为
y=x+2
y个
二
P
Q
0
X
二、选择题(每小题3分，共12分)
13.因为In10是常数，所以(In10)=0,
所以A错误；
=(x2)=(x2)=2x-(-1)x =2x+一
因为
,所以B错误；
(xe')=x'e+x(e')=e+xe3=(x+1)e,所以C正确；
因为
因为(sin2x)=cos2x?2x)=2cos 2x,所以D错误.
14.由直线l:mx+2y+2=0与直线l?.x+(m-1)y+1=0平行的充要条件是m--
m=21+1=0
,)-1
解得m=-1
,即
即
所以“m=-1”是直线lmx+2y+2=0与直线l?:x+(m-1)y+1=0平行的充要条件
=nx+1-=Inx+1
15.解：已知y=xlnx,x>0,则
令v'=0,即Inx+1=0,解得
当0
时，y<0,所以在
上是严格减函数，
+
时，y′>0,所以在 上是严格增函数，
故选：D.
16.曲线Cy2=4x的焦点F(1,0),
则|PF|=d,
由MP=d得，点M的轨迹是以P为圆心，d为半径的圆，
(x-12+(y-1)2=r2的圆心N(1,1),
当点P在原点处时，P(0,0),此时d=1,
此时点M的轨迹方程为x2+y2=1,
因为1+1=2>1,所以点N(1,1)在圆x2+y2=1外，
则存在r∈(0,+∞),使得两圆相离，即A∩B=,
故①错误，②正确.
故选：B.
三、解答题(共52分)
17.(1)函数f(x)=2x3-ax2+b的定义域为R,f'(x)=6x2-2ax,
由题可得f'(1)=0,即6-2a=0,所以a=3,
当a=3时，f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),
当x<0或x>1时，f"(x)>0:当0<x<1时，f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+0)上单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值，所以a=3;
又极小值为-4,所以f(1)=2-a+b=-1+b=-4,所以b=-3,
所以a=3,b=-3
(2)函数f(x)=2x3-ax2+b的定义域为R,
f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),
“
“0
当a<0时，了(x)=0的两相为0.“旦
3x<0
所以当 或x>0时，f'(x)>0;当 时，f'(x)<0,
兰0
“)
所以f(x)的单调递增区间为
和(0,+∞),单调递减区间为
18.(1)因为AB⊥BC,三棱柱ABC-A?B?C是直三棱柱，所以AB⊥BCC?B,从而A?B?是四棱锥
A?-BCC?B的高
22×2=8
四棱锥A?-BCC?B?的体积为
(2)如图建立空间直角坐标系
Z个
C
B.
A?
B
Cy
M
A
x
则A(2,0,0),C0,2,0),A?(2,0,2),B?(0,0,2),C?0,2,2)
设AC的中点为M,∵BM⊥AC,NMICC?,BM⊥平面A?C?C,即BM=(1,1,0)是平面A?C?C的
一个法向量
设平面A?B?C的一个法向量是n=(x,V,z),A?C=(-2,2,-2),A?B?=(-2,0,0)
n A?B=-2x=0,n A?C=-2x+2y-2z=0令z=1,解得x=0,y=1,n=(0.1,1)
设法向量n与BM的夹角为β,二面角B-A?C-C的大小为θ,显然θ为锐角
sv=cos p)=1M“
7t
二面角B?-A?C-C的大小为
e(x)=,0
19 (1)由g(x)=Inx,x>0,知
所以g'(1)=1,g(1)=0
所以函数y=g(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.
V=mt(x)+2g(x)="+2Inx,其定人域为(0,+)
(2)函数
、2m22、
所以
若m<0,x2-m>0恒成立，所以y>0恒成立，所以函数y=mf(x)+2g(x)在(0,+0)上单调递增，
无极值点；
若m>02(x+7m)m)
因为x>0,所以x+√m>0,
所以当0<x<√m时，y′<0;当x>√m时，y>0
=mf(x)+2g(x)="+2Inx在(0.√m)上单调速减。在(m,+∞)
所以函数 上单调递增.
所以函数y=mf (x)+2g(x)在x=√m处取得极小值，其极小值点为√m,无极大值点.
综上，若m<0,函数y=mf(x)+2g(x)无极值点：若m>0,函数y=mf(x)+2g(x)的极小值点为√m,
无极大值点.
20.(1)如图，以抛物线厂的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为V轴建立坐标系，则抛物线的
顶点为O(0.0),A(-2,2),B(2,2)
设抛物线I的标准方程为x2=2py(p>0),
则4=2p×2,所以p=1,所以抛物线工的方程为x2=2y.所以图中封闭图形的边缘抛物线部分的方程为x2=2y(-2≤x≤2),线段AB部分的方程为
y=2(-2≤x≤2)
y
3
A D
C B
2
(2)
1
E
X
-3 3
-2 -1
1 2
①
=“
山题三 ((-u.2).D(a2),所一告(02
设题中圆柱的底面半径为r,则2πr=CD=2a,所以
=m2=“
所以该圆柱的底面面积为
r=12一)
所以该圆柱的体积为
(a)=0=1a 4af2-a2)-20(a+12)(a-2
(a)=4a2二“0a<2则
令
因为0<a<2,所以a+√2>0
所以当0<a<√2时，f'(a)>0;当√2<a<2时，f'(a)<0
所以f(a)在区间(0.√2
)上单调违增，在区间(√2.2)上单调递减
(12)=+(2)-(2
所以f(a)在x=√2处取得极大值，即最大值，最大值为
π
即该圆柱的体积的最大值为
(3)当x=0时，抛物线工的切线为x轴，没有与其垂直的切线.
二
所以可设抛物线T上的点 且抛物线I在P,P?处的切线互相垂直.由x2=2y,得
,所以y′=x.
=x,()一),),一(-1)
所以抛物线丁在P,P?处的切线方程分别为
代，÷=(x-1.)
且xx?=-1,所以
得
,化简得2x,x+2x2y+1=0①
=
=(一x)
得2x?x-2y-x2=0②
由
2(x2+1)y+(1+x2)=0,即(1+x2)(2v+1)=0
联立①②式，消去x,可得
因为1+x2≠0所以
所以抛物线工的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线
21.(1)设双曲线C的焦距为2c,则2c=4√2,c=2√2
若双曲线C的虚轴长为4,则2b=4,b=2
所以a2=c2-b2=4
所以该双曲线的方程为
(2)双曲线C的焦距为2c,则2c=4√2,c=2√2
所以a2+b2=c2=8
3,二，
3OP=OP+2OP,得
,即
由
=±
双曲线c=1(a=0,b≈0)
的渐近线方程为
二=x或y=xv.
则
=3(x?-2x2)或)。=3(x?-2x)
所以一
又点P在双曲线C上，所以
=x
x=“
化简得 ,所以
故x?N,一12=(u2+b2)=98=9
、
即x?x?-V?V?为定值，该定值为9
从(3)由题可知，1,l?斜率均存在，且不为零
,即
所以 ,所以A
所以D10v+
1一(一%)
=1
得x一=“
由点P在双曲线C上，所以
”=
所0 40—D0
设Q(x,y)是以AB为直径的圆上任意一点，由AQ·BQ=0,得
=一会=0
即
+)-8+1=0
是变量，所以要使
因为点P是动点，所以
二
须使
所以x2-8=0,所以x=±2√2
(2√2.0),(-2√2.0)
即以AB为直径的圆过定点，定点为y个
P?
A
M
x
0
P
B
P?Y
