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2024 级高二第二学期期中学业质量检测
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若函数 在 处可导，且 ，则 （ ）．
A． B． C．1 D．3
2．某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（ ）．
A．15种 B．20种 C．35种 D．300种
3．对于事件A和B， ， ， ，则 （ ）．
A．0.3 B．0.48 C．0.5 D．0.6
4．射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设
每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）．
A．0.63 B．1.4 C．2.1 D．4.2
5．若函数 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．现将3名人工智能课程教师，3名编程竞赛教练，4名创客空间导师全部分配到三所不同的中学中，要
求每所中学都要有这三类教师，则不同的安排种数为（ ）．
A．864 B．1296 C．2592 D．5184
7．春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同
颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有
（ ）．
A．240种 B．360种 C．420种 D．720种
8．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其
“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（ ）．A．第2026行中第1012个数和第1014个数相等
B．
C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则
D．第7行的第8个数、第8行的第8个数、第9行的第8个数及第10行的第8个数之和等于第11行的第
9个数
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列说法正确的是（ ）．
A．已知随机变量 ，则
B．设随机变量X等可能取1，2，3，⋯，10，则
C．设随机变量X服从两点分布，若 ，则成功概率
D．若随机变量 的概率分布为 且a是常数，则
10．下列各项中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件
奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开
之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在
已知甲选择了1号箱，用 表示i号箱有奖品 ，用 表示主持人打开j号箱子 ，
下列结论正确的是（ ）．
A．B．主持人打开3号箱的概率
C．若 ，且甲更改选择，则他获奖的概率均为
D．若 ，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ，则 ______．
13． 是函数 与 的公切线，则 ______．
14．已知关于x的方程 在 上有解，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
某企业开展内部知识竞赛，参赛的员工需要从8道题中随机抽取3道来回答．竞赛规则规定：每题回答正
确得6分，回答不正确得 分．
（Ⅰ）已知甲员工每题回答正确的概率均为0.6，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲答对的题目个
数为X，求X的期望和方差；
（Ⅱ）已知员工乙能正确回答8道题中的5道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．
16．（本小题15分）
已知 的展开式中共有10项．
（Ⅰ）求展开式中 的系数；
（Ⅱ）当 时，求 被4整除的余数．
17．（本小题15分）
已知函数 ．
（Ⅰ）讨论 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，求函数 在 上的最小值．
18．（本小题17分）亳州百草园为了让游客有更好的游玩体验，特推出代步自行车租用服务已知有脚踏自行车A与电动自行车
B两种车型，采用分段计费的方式租用．A型车每30分钟收费10元（不足30分钟的部分按30分钟计算），
B型车每30分钟收费20元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙、丁四人，分别相互独
立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙、丁不超过30分钟还车的概率分别为 ， ，
， ，并且四个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙、丙均租用A型车，丁租用B型车．
（Ⅰ）求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
（Ⅲ）设甲、乙、丙、丁四人所付费用之和为随机变量 ，求 的概率分布列．
19．（本小题17分）
设 ， （其中 为 的导函数）．
（Ⅰ）证明：将A中元素适当排序后能构成等差数列；
（Ⅱ）设 ，求 的最小值 ；
（Ⅲ）设 ， ，试比较 与 的大小，并说明理由．2024 级高二第二学期期中学业质量检测数学试卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D D A B C D ACD ACD BC
1．B
2．C
【详解】选一名指挥，可以从15名男队员中选，有15种选法；也可以从20名女队员中选，有20种选法．
根据分类加法计数原理，总选法数为 种．故选：C．
3．D
【详解】 ，所以 ．
又 ，所以 ．
4．D
【详解】由题意可知，射击3次得分X的可能取值为0，1，1，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每
次射击击中目标与否互不影响，
所以，射击3次得分 ， ，
设 ，所以 ．
5．A
【详解】令 得：
设 ，则 ，令 得 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以在 处取得极大值 ，如图．6．B
【详解】求不同的安排种数需要分成3步，先把4名创客空间导师按 分成3组，并分配到三所学校，
有 种方法，再把3名人工智能课程教师分配到三所学校，有 种方法，最后把3名编程竞赛教练分
配到三所学校，有 种方法，
由分步乘法计数原理得不同的安排种数为 ．故选B．
7．C
【解析】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E，
用三种颜色：区域 和 相同， （种），
用四种颜色：区域 或 相同，共有2种，再选取四种颜色 ，及 （种），
用五种颜色： （种）．一共有 （种）．
8．D
【详解】对于A，因“杨辉三角”的第2026行中第1012个数和第1014个数分别为 和 ，
因 ，故 ，故A错误；
对于B，因 ，…
，
则 ，故B错误；对于C，第20行数字的最大值为 ，第21行数字的最大值为 ，
所以 ，C错误；
对于D，因 ，而 ，故D正确．
9．ACD
【详解】对于A，因 ，则 ，
故 ，故A正确；
对于B，因 ，包含1，2，3，4，5五种情况，则 ，故B错误；
对于C，随机变量X服从两点分布，则 ，
又 ，解得 ，故C正确；
对于D，依题意， ，解得 ，故D正确．
故选：ACD．
10．ACD
【详解】对于选项A，因为 ，所以A正确；
对于选项B，根据组合数性质知道 ，所以B选项错误；
对于选项C， ， ，
因此 ，所以C选项正确；
对于选项D，全班n个男生n个女生，选取n个人留下来搞卫生 ，左边是从性别的角度考虑，用分类
加法得 ，所以 ．故选：ACD．
11．BC
【详解】对于A选项，奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，
故 ，故A错误；
对于B选项，奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故 ，
奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故 ，
奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故 ，
奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故 ，
由全概率公式可得： ，故B正确；
对于C、D选项，（1）若甲不更改选则时，由贝叶斯公式计算
．
从而 ．
（2）当甲更改选择时
①若甲改选2，甲中奖的概率为 ．
②若甲改选3，甲中奖的概率为 ．③若甲改选4，甲中奖的概率为 ．
， ，故选项C正确,
选项D错误．综上，选项BC正确．
12．【答案】34
【详解】令 得 ，
令 得 ，
得 ， ．
13．【答案】
【详解】设 的切点为 ，
∴ ，∴ ，∴切点为 ，∴ ，
同理可得 ，∴ ．
14．【答案】
【详解】 可以看成 到 的距离，
方程 可以看成直线 ．
所以
设 ，则 ，， ，
所以 单调，令 ， ， ，
因为 在 上单调递增，所以 ， ，
，
所以 ．
15．【解析】（1）设甲答对题目的数目为X，则 ，
可得 ， ．
（2）设乙答对的题目数为Z，可知Z的可能取值为0，1，2，3．
则 ，
所以Y的可能取值为 ，2，10，18．
； ；
； ．
所以Y的分布列为：
Y 10 25
P
16．【解析】（1）由题意可得 ， ，
∴ ，∴ 的系数是5376．
（2）当 时，即余数是3．
当 ， 被4整除的余数为3．
17．【详解】（1）易得 定义域为R．
当 ， ．
， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ， ．
ⅰ．若 ， ， ， ，
则 在 上递增，在 上递减．
ⅱ．若 ，令 或 ．
当 ，此时 ，
，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 ，此时 在R上单调递增，
当 ，此时 ，
，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时， 在 上递增，在 上递减，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在R上单调递增；
当 时 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）分析可得，
若 ，则 在 上单调递减，
；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则此时 ；
综上可得： 时， ；
时， ．
18．【解析】解：（1）记“甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元”为事件A，
即4人均不超过30分钟，
则 ．
答：求甲、乙、丙、丁四人所付的费用之和为50元的概率是 ．
（2）由题意，甲、乙、丙、丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为 ， ， ， ，
设“甲、乙、丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B，
则 ．
答：甲、乙、丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是 ．
（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量 的值为50，即为事件A，由（1）所以 ．
②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C，事件C又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲、乙、
丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件 和 ．
ⅰ.事件 对应的 的值为50，此时
．
ⅱ.事件 对应的 的值为70，此时， ．
③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件D，事件D又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲、乙、
丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲、乙、丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件 和
．
ⅰ.事件 对应的 的值为70，此时
．
ⅱ.事件 对应的 的值为80，此时
．
④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件E，事件E又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲、乙、
丙”和“超过30分钟的三人是甲、乙、丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件 和 ．
ⅰ.事件 对应的 的值为80，此时 ．
ⅱ.事件 对应的 的值为90，此时
．⑤记“4人均超过30分钟”为事件F，则随机变量 的值为100，
此时 ．
综上：随机变量的所有取值为50，70，80，90，100且
，
，
，
， ，
所以甲、乙、丙、丁四人所付费用之和的分布列为
50 70 80 90 100
P
19．（1） ，
．
将A中元素按照从小到大排列分别设为： ， ，…， ，…，
则 ， ，
∴ ， ．
所以将A中元素从小到大排序后能构成等差数列 ，首项是 ，公差是 ．
（2） ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，．
（3）由（1）可设 ， ，
，
， ，
所以 与 的大小关系等价于 与 的大小关系，
由（1）知： ，
（其中 ）．
由（2）知，当 时，
，
所以 ，
即 ，所以 ．
