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武威市2024 年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试数学试卷
考生注意：本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则
无效．
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列各数中，比
小的数是（ ）
A.
B.
C. 4
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0 大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大
其值越小进行求解即可．
【详解】解；∵
，
∴
，
∴四个数中比
小的数是
，
故选：B．
2. 如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看得到是图形是：
故选：C．
3. 若
，则
的补角为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据和为
的两个角互为补角，计算即可．
本题考查了补角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】
。
则
的补角为
．
故选：D．
4. 计算：
（ ）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：A．
5. 如图，在矩形
中，对角线
，
相交于点O，
，
，则
的长为（
）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形
的性质，得
，结合
，得到
是等边三角形，结合
，得到
，解得即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】根据矩形
的性质，得
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∵
，
∴
，
解得
．
故选C．
6. 如图，点A，B，C 在
上，
，垂足为D，若
，则
的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据
得到
，根据
得到
，根据直角三角形的两个锐
角互余，计算即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
故选C．
7. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有
七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图
形．如图2 给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x 尺，长桌的长为
y 尺，则y 与x 的关系可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是
，再根
据长桌的长等于小桌的长加上2 倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是
，
∴
，
故选：B．
8. 近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023 年中国农村网络零售额情况．
根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A. 2023 年中国农村网络零售额最高
B. 2016 年中国农村网络零售额最低
C. 2016—2023 年，中国农村网络零售额持续增加
D. 从2020 年开始，中国农村网络零售额突破20000 亿元
【答案】D
【解析】
【分析】根据统计图提供信息解答即可．
本题考查了统计图的应用，熟练掌握统计图的意义是解题的关键．
【详解】A. 根据统计图信息，得到
，
故2023 年中国农村网络零售额最高，正确，不符合题意；
B. 根据题意，得
，
故2016 年中国农村网络零售额最低，正确，不符合题意；
C. 根据题意，得
，
故2016—2023 年，中国农村网络零售额持续增加，正确，不符合题意；
D. 从2021 年开始，中国农村网络零售额突破20000 亿元，原说法错误，符合题意；
故选D．
9. 敦煌文书是华夏民族引以为傲
艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1 所示，它
以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10 步到60 步的矩形田地面积，极大地提
高了农田面积的测量效率．如图2 是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A 区域
表示的是长15 步，宽16 步的田地面积为一亩，用有序数对记为
，那么有序数对记为
对应
的田地面积为（ ）
A. 一亩八十步
B. 一亩二十步
C. 半亩七十八步
D. 半亩八十四步
【答案】D
【解析】
【分析】根据
可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
【详解】根据
可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故
对应的是半亩八十四步，
故选D．
10. 如图1，动点P 从菱形
的点A 出发，沿边
匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的
运动路程为x，
的长为y，y 与x 的函数图象如图2 所示，当点P 运动到
中点时，
的长为（
）
A. 2
B. 3
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，得到当
时，
，当点P 运动到点B 时，
，根据菱形
的性质，得
，继而得到
，当点P 运动到
中点
时，
的长为
，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，
直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当
时，
，
当点P 运动到点B 时，
，
根据菱形的性质，得
，
故
，
当点P 运动到
中点时，
的长为
，
故选C．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分．
11. 因式分解：
________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】
．
故答案为：
．
12. 已知一次函数
，当自变量
时，函数y 的值可以是________（写出一个合理的值即
可）．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据
，选择
，此时
，解得即可．
本题考查了函数值的计算，正确选择自变量是解题的关键．
【详解】根据
，选择
，此时
，
故答案为：
．
13. 定义一种新运算*，规定运算法则为：
（m，n 均为整数，且
）．例：
，则
________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据定义，得
，解得即可．
本题考查了实数新定义计算，正确理解定义是解题的关键．
【详解】根据定义，得
，
故答案为：8．
14. 围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方
如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D 中的一处即可，A，
B，C，D 位于棋盘的格点上）
【答案】A##C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D 处不能构成轴对称图形，放在A 或C 处可以，
故答案为：A 或C．
15. 如图1 为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2 是棚顶的竖直高度y（单
位：
）与距离停车棚支柱
的水平距离x（单位：
）近似满足函数关系
的
图象，点
在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长
，高
的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当
时，y 的值，若此时y 的值大于
则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
在
中，当
时，
，
∵
，
∴可判定货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
16. 甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1 是一块扇
面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形
和扇形
有相同的圆心O，且圆心角
，若
，
，则阴影部分的面积是______
．（结果用π 表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了扇形面积公式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】∵圆心角
，
，
，
∴阴影部分的面积是
故答案为：
．
三、解答题：本大题共6 小题，共46 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 计算：
．
【答案】0
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算计算即可．
本题考查了二次根式
混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
∴不等式组的解集为
．
19. 先化简，再求值：
，其中
，
．
【答案】
，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，
再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当
，
时，原式
．
20. 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，
图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人
民的智慧．如图1 的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分
点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知
和圆上一点M．作法如下：
①以点M 为圆心，
长为半径，作弧交
于A，B 两点；
②延长
交
于点C；
即点A，B，C 将
的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2 中将
的圆周三等分（保留作图痕迹，不写
作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接
，
，
，若
的半径为
，则
的周长为______
．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2）连接
，设
的交点为D，根据两圆的圆心线垂直平分公共弦，得到
，根据
的半径为
，
是直径，
是等边三角形，计算即可．
本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握作图和圆的性质是解题的关键．
【小问1 详解】
根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C 是求作的
的圆周三等分点．
【小问2 详解】
连接
，设
的交点为D，
根据两圆的圆心线垂直平分公共弦，得到
，
∵
的半径为
，
是直径，
是等边三角形，
∴
，
，
∴
，
∴
的周长为
，
故答案为：
．
21. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙
两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1 个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；
若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：
（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概
率计算公式求解即可；
（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论．
【小问1 详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12 种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有7 种，
∴甲获胜的概率为
；
【小问2 详解】
解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有5 种，
∴乙获胜的概率为
，
∵
，
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
22. 习近平总书记于2021 年指出，中国将力争2030 年前实现碳达峰、2060 年前实现碳中和．甘肃省风能
资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重
要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已
知一风电塔筒
垂直于地面，测角仪
，
在
两侧，
，点C 与点E 相距
（点C，H，E 在同一条直线上），在D 处测得简尖顶点A 的仰角为
，在F 处测得筒尖顶点A 的
仰角为
．求风电塔筒
的高度．（参考数据：
，
，
．）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点
作
于G，连接
，则四边形
是矩形，可得
，
，再证明四边形
是矩形，则
，
，进一步证明
三点共线，得到
；设
，解
得到
；解
得到
；则
，解得
，即
，则
．
【详解】解：如图所示，过点
作
于G，连接
，则四边形
是矩形，
∴
，
，
∵
，
∴
，
由题意可得
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
∴
三点共线，
∴
；
设
，
在
中，
，
∴
∴
；
在
中，
，
∴
∴
；
∴
，
解得
，
∴
，
∴
，
∴风电塔筒
的高度约为
．
四、解答题：本大题共5 小题，共50 分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
23. 在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手
的得分（单位：分，满分10 分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是
；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手
统计
量
甲
乙
丙
平均
数
m
中位
数
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n 的值：
_______，
_______；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认
应该推荐哪位选手，请说明理由．
【答案】（1）
；
（2）甲 （3）应该推荐甲选手，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数，众数，方差与稳定性之间的关系：
（1）根据平均数与众数的定义求解即可；
（2）根据统计图可知，甲的成绩的波动比乙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好；
（3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可．
【小问1 详解】
解：由题意得，
；
把丙的五次成绩按照从低到高排列为：
，
∴丙成绩的中位数为
分，即
；
故答案为：
；
；
【小问2 详解】
解：由统计图可知，甲的成绩的波动比乙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲；
【小问3 详解】
解：应该推荐甲选手，理由如下：
甲的中位数和平均数都比乙的大，且甲的成绩稳定性比乙好，
∴应该推荐甲选手．
24. 如图，在平面直角坐标系中，将函数
的图象向上平移3 个单位长度，得到一次函数
的
图象，与反比例函数
的图象交于点
．过点
作x 轴的平行线分别交
与
的图象于C，D 两点．
（1）求一次函数
和反比例函数
的表达式；
（2）连接
，求
的面积．
【答案】（1 ）一次函数
的解析式为
；反比例函数
的解析式为
；
（2）
【解析】
分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律
，再把点A 的坐标分别代入对应的一次函数解析
式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D 的坐标，进而求出
的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【小问1 详解】
解：∵将函数
的图象向上平移3 个单位长度，得到一次函数
的图象，
∴
，
把
代入
中得：
，解得
，
∴一次函数
的解析式为
；
把
代入
中得：
，解得
，
∴反比例函数
的解析式为
；
【小问2 详解】
解：∵
轴，
，
∴点C 和点D 的纵坐标都为2，
在
中，当
时，
，即
；
在
中，当
时，
，即
；
∴
，
∵
，
∴
．
25. 如图，
是
的直径，
，点E 在
的延长线上，且
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）当
的半径为2，
时，求
的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接
，
，证明
垂直平分
，得出
，证明
，得
出
，说明
，即可证明结论；
（
2
）
根
据
是
的
直
径
，
得
出
，
根
据
勾
股
定
理
求
出
，根据三角函数定义求出
，证明
，得出
即可．
【小问1 详解】
证明：连接
，
，如图所示：
∵
，
∴
，
∵
，
∴点O、B 在
的垂直平分线上，
∴
垂直平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
是
的切线；
【小问2 详解】
解：∵
的半径为2，
∴
，
∵
是
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，
平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
26. 【模型建立】
（1）如图1，已知
和
，
，
，
，
．用等式写出线
段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形
中，点E，F 分别在对角线
和边
上，
，
．用等
式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形
中，点E 在对角线
上，点F 在边
的延长线上，
，
．用等式写出线段
，
，
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1 ）
，理由见详解，（2 ）
，理由见详解，（3 ）
，理由见详解
【解析】
【分析】（1）直接证明
，即可证明；
（2）过E 点作
于点M，过E 点作
于点N，先证明
，可得
，结合等腰直角三角形的性质可得：
，
，
即
有
，
，
进
而
可
得
，即可证；
（3）过A 点作
于点H，过F 点作
，交
的延长线于点G，先证明
，
再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
【详解】（1）
，理由如下：
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
（2）
，理由如下：
过E 点作
于点M，过E 点作
于点N，如图，
∵四边形
是正方形，
是正方形的对角线，
∴
，
平分
，
，
∴
，
即
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
，
∴四边形
是正方形，
∴
是正方形
对角线，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
即有
；
（3）
，理由见详解，
过A 点作
于点H，过F 点作
，交
的延长线于点G，如图，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵在正方形
中，
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的
性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数
量关系，是解答本题的关键．
27. 如图1，抛物线
交x 轴于O，
两点，顶点为
．点C 为
的中点．
（1）求抛物线
的表达式；
（2）过点C 作
，垂足为H，交抛物线于点E．求线段
的长．
（3）点D 为线段
上一动点（O 点除外），在
右侧作平行四边形
．
①如图2，当点F 落在抛物线上时，求点F 的坐标；
②如图3，连接
，
，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）①
②
【解析】
【分析】（1）根据顶点为
．设抛物线
，把
代入解析式，计算求
解即可；
（2）根据顶点为
．点C 为
的中点，得到
，当
时，
，
得到
．结合
，垂足为H，得到
的长．
（3）①根据题意，得
，结合四边形
是平行四边形，设
，结合点F 落在抛物线
上，得到
，解得即可；
②过点B 作
轴于点N，作点D 关于直线
的对称点G，过点G 作
轴于点H，连接
，
，
，利用平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
【小问1 详解】
∵抛物线的顶点坐标为
．
设抛物线
，
把
代入解析式，得
，
解得
，
∴
．
【小问2 详解】
∵顶点为
．点C 为
中点，
∴
，
∵
，
∴
轴，
∴E 的横坐标为1，
设
，
当
时，
，
∴
．
∴
．
【小问3 详解】
①根据题意，得
，
∵四边形
是平行四边形，
∴点C，点F 的纵坐标相同，
设
，
∵点F 落在抛物线上，
∴
，
解得
，
(舍去)；
故
．
②过点B 作
轴于点N，作点D 关于直线
的对称点G，过点G 作
轴于点H，连接
，
，
，
则四边形
是矩形，
∴
，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
故当
三点共线时，
取得最小值，
∵
，
∴
的最小值，就是
的最小值，且最小值就是
，
延长
交y 轴于点M，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故
的最小值是
．
【点睛】本题考查了二次函数待定系数法，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，
勾股定理，轴对称，三角形不等式求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称，三角形不等
式求线段和的最小值是解题的关键．
